2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 含解析
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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) 专题22两角和与差的正弦、余弦和正切公式
最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
基础知识融会贯通 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))
tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝2tan α1－tan2α. 【知识拓展】 1．降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2 . 重点难点突破 【题型一】和差公式的直接应用
【典型例题】 求值：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°等于（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：sin24°cos54°﹣cos24°sin54°＝sin（24°﹣54°）＝sin（﹣30°）＝﹣sin30°， 故选：C．
【再练一题】
若sinα，α∈（），则cos（）＝（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵sinα，α∈（）， ∴cosα， ∴cos（）（cosα﹣sinα）． 故选：A．
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 【题型二】和差公式的灵活应用
命题点1 角的变换 【典型例题】 已知tan（α）＝﹣2，则tan（）＝（ ） A． B． C．﹣3 D．3 【解答】解：∵tan（α）＝﹣2，则tan（）＝tan[（α）
]， 故选：A．
【再练一题】
若sin（）＝2cos，则（ ） A． B． C．2 D．4 【解答】解：∵sin（）＝2cos，∴sinαcoscosαsin2cos， 即 sinαcos3cosαsin，∴tanα＝3tan，
则， 故选：B．
命题点2 三角函数式的变换 【典型例题】 若，且，则（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵α，∴π＜2α， 又，∴cos2α． ∴，解得cosα，则sinα． ∴． 故选：D．
【再练一题】
已知sinα+3cosα，则tan（α）＝（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 【解答】解：∵（sinα+3cosα）2＝sin2α+6sinαcosα+9cos2α＝10（sin2α+cos2α），
∴9sin2α﹣6sinαcosα+cos2α＝0，
则（3tanα﹣1）2＝0，即．
则tan（α）． 故选：B．
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－
α
2＋β
等．
基础知识训练 1．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】已知α∈（22，），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ ）
A．55 B．55 C．255 D．255 【答案】A 【解析】 解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（76°﹣46°）＝sin30°12， 且α∈（22，），∴α∈（0，2），
联立，解得sinα55． 故选：A． 2．【福建省2019年三明市高三毕业班质量检查测试】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边过点(3,4)P.若角满足，则tan（ ） A．-2 B．211 C．613 D．12
【答案】B 【解析】 因为角的终边过点3,4P，所以4tan3， 又，
所以，即，解得2tan11. 故选B 3．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】（ ） A． B． C． D． 【答案】B
【解析】
， 故选：B
4．【河南名校联盟2018-2019学年高三下学期2月联考】已知，则=（ ）
A．35 B．45 C．210 D．7210 【答案】D 【解析】
∵， ∴12tan． ∴． 故选D． 5．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟考试】已知
，则sin ( ) A．255 B．55 C．45 D．35 【答案】A 【解析】
因为，
所以， 所以，且0,2 解得，故选A. 6．若，则tan ( )
A．17 B．17 C．1 D．1 【答案】D 【解析】 tan（α-β）＝3，tanβ＝2，
可得3，
∴， 解得tanα1． 故选：D． 7．【福建省三明市2019届高三质量检查测试】下列数值最接近2的是（ ）
A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：选项A：； 选项B：； 选项C：； 选项D：，
经过化简后，可以得出每一个选项都具有的形式， 要使得选项的数值接近2， 故只需要sin接近于sin45， 根据三角函数图像可以得出sin46最接近sin45， 故选D. 8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C
【解析】
由题得. 当在第一象限时，. 当在第三象限时，. 故选：C
9．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期第一次适应性考试(一模)】已知为
锐角，则sin的值为（ ） A．372212 B．321412 C．372212 D．321412 【答案】D 【解析】
因为为锐角
因为cos2 所以2大于90° 由同角三角函数关系，可得 所以 = 所以选D 10．【山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试】若，且是钝角，则（ ）
A．246 B．426 C．246 D．246 【答案】D 【解析】
因为是钝角，且，所以，故
， 故选:D 11．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】________． 【答案】2 【解析】
因为，
又，所以， 所以. 故答案为2
12．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考卷（六)】函数
的最大值为_______ 【答案】1 【解析】
, 所以，因此()fx的最大值为1. 13．【吉林省2019届高三第一次联合模拟考试】已知，则m______．
【答案】3 【解析】 由得：
整理得：3m 本题正确结果：3
14．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】已知,则＝_____．
【答案】17
【解析】
，则3cos5，所以4tan3，
则：， 故答案为：17． 15．【江西省新八校2019届高三第二次联考】在锐角三角形ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若
3sincbA，则的最小值是_______．
【答案】12 【解析】 由正弦定理可得： 得：
，即
