第五章 构造有限元模型的若干问题第三章所述的岩土工程中常用的本构模型可用于以下四种类型的单元中：1. 平面应变单元2. 广义平面应变单元3. 轴对称单元4. 三维单元在应用平面应变单元时，只能用子午线作为线性的Drucker-Prager 模型。
考虑非线性变形的轴对称单元具有如下功能：初始变形是轴对称的，在进入非线性变形后，允许产生非轴对称变形，这个功能是十分有用的，比如桩基承受轴向力、水平力和弯矩时，它在r-z 平面上采用标准的插值函数，在与θ有关的方向上采用Fourier 级数插值函数，这类单元可以充分考虑不同方位上变形的差异，其计算结果更接近实际。
考虑流体在多孔介质中的作用时，需采用位移——孔隙压力耦合单元，耦合单元可应用于平面应变单元、轴对称/反对称单元、三维单元。
此时，位移与孔隙压力的插值函数可以不同，孔隙压力通常采用线性插值已经足够，位移则可选择线性插值或二次插值。
有限元与无限元相结合来求解考虑这个问题是一个有效的方法。
5-1 广义平面单元所谓广义平面单元是指位于两个受约束的平面之间的区域，这两个受约束的平面可以如同刚体一般绕轴相互转动，这个转动会导致沿厚度方向上的应变。
假定这个应变在厚度方向上与位置无关，则两个平面的相对移动仅仅在厚度方向上引起应变。
这样引起的应变以及一阶与二阶变量由下式定义：设P 0（x 0，y 0）为受约束平面上的一个固定点，P 0到另一个受约束平面的距离为z u t ∆+0，其中t 0是初始距离，z u ∆是变形过程中产生的位移，z u ∆为广义平面元节点自由度的一阶变量。
对于用广义平面元进行连结的某一区域而言，只有一个广义平面元节点自由度。
不同的连结区域可以有不同的广义平面应变节点，因此两个受约束的平面之间的这个区域可视为一个刚体，该区域中任何其它点（x ，y ）的纤维长度为：y x z Z x Y y u t t φ∆−−φ∆−+∆+=)()(000 （5-1-1）其中 10)(|)(x x x φ∆+φ∆=φ∆ （5-1-2）10)(|)(y y y φ∆+φ∆=φ∆ （5-1-3）0)(x φ∆与0)(y φ∆为i φ∆的初始值，由单元的*Solid section 选项赋值。
第二章发展方程的有限元分析W. B. J. ZIMMERMAN，B. N. HEWAKANDAMBYDepartment of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,Newcastle Street, Sheffield S1 3JD United KingdomE-mail:科学研究和工程应用中的偏微分方程（PDE）多源自复杂的平衡方程。
常见的偏微分方程主要来自质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒定律。
由于这些守恒定律是整个域上的积分方程，所以在连续性假设下，偏微分方程很容易用有限元方法近似描述。
本章介绍了COMSOL Multiphysics中典型的三种不同类型“时间－空间”系统偏微分方程——椭圆方程，抛物线方程和双曲线方程。
本章还对有限元方法进行了总体介绍，结合应用实例讲解有限元方法精确计算的特性，更深层次的内容将在后续章节中引出。
1. 简介在科学研究和工程应用中常会遇到满足守恒定律约束的偏微分方程，通常以积分形式出现。
所有由质量守恒、动量守恒、组分守恒和能量守恒控制的传递现象都会产生连续逼近的偏微分方程。
相信化工人员对传热、传质和动量传递现象不会感到陌生。
与前一章COMSOL Multiphysics化工实例中介绍的零维、一维空间系统相比，化工课程中通常不会出现超过二维或三维的偏微分方程计算。
从文献[1]中找到一个非常珍贵的例子。
实际上，很多常见的化工模型和公式都是由实际过程中更高维数的动力学过程简化而来的。
流体动力学中的阻力系数，传热传质系数，多相催化的Thiele模型，精馏塔设计中的McCabe-Thiele图等许多描述高维数系统传递现象或非稳态动力学过程的技术，都是半经验性的方法，也许可以用偏微分方程来描述这些过程，但是由于基本物理、化学现象的复杂性，这些方程通常很难求解。
所以对于初步的设计计算，这些快速计算的简化方法很受欢迎，但是对于细节设计、设计翻新、过程分析和优化过程，只有简化方法是不够的。
第一章材料的晶态结构17、18、21、23见作业2.晶体为何有各向异性？晶体各向异性源于其微观结构在不同方向上的差异，即沿晶格的不同方向，原子排列的周期性和疏密程度不尽相同，由此导致晶体在不同方向的物理化学特性也不同，这就是晶体的各向异性。
3.面心立方和密排六方点阵的原子都是最密排的，为什么它们形成了两种点阵？（不要求）密排六方和面心立方都是最密排结构，其区别在于二者的原子堆垛顺序不同。
面心立方和密排六方结构的最密排面分别为{111}和（001）.这两种晶面上的原子都是紧密排列的。
同层相邻的三个原子(刚球)的中心形成三角形。
三角形的中心是三个球的间隙，上下相邻层的原子就处于这一间隙形成的“低谷”中，上层或下层原子的球心与原来的三个原子的球心形成正四面体。
如果以某层原子球心所处的位置为A位置，与之相邻的层的原子球心所处的位置为B位置，则第三层的原子球心可处于两种不同的位置，即B层原子形成的“低谷”位置有两种：一种与A位置相同，仅高度不同；另一种与A位置完全不同，将其称为C位置。
第三层原子与第一层原子在不同高度上，位置重合或不重合。
如果堆垛顺序为ABCABCABC······，就形成面心立方。
如果堆垛顺序为ABABABAB······，就形成密排六方。
4.比较晶体、非晶体和准晶体在结构上的异同。
同：晶体长程有序，非晶体短程有序。
晶体与准晶体的原子排列都具有旋转对称性。
异：晶体可看成是相同的单胞按同样的规则堆垛形成。
而非晶体是长程无序的，无单胞，也没有原子排列的对称性。
准晶体是不同的单胞或形状相同取向不同的单胞按一定的规则周期性地重复堆垛形成，是介于晶体和非晶体之间的长程有序结构。
5．从晶体和非晶体的X射线衍射特征的区别解释其结构的区别。
晶体的X射线衍射在特定角度出现尖锐的衍射峰，说明其结构长程有序。
