复变函数课程教学纲要
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《复变函数》课程教学纲要
一、课程概述
（一）课程学时与学分
课程代码：1302，开课专业：数学与应用数学（师范）专业，第5学期开课;
课程总学时68学时，4学分。
（二）课程性质
复变函数论是数学专业的一门重要的专业基础课。它是数学分析、高等代数等课程的进一步延伸,又是近代分析学的基础。它的思想方法是许多后续课程得以展开的保证。属于院专业必修课。
（三）教学目的
开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为掌握复变函数在自然科学中的广泛应用奠定良好的数学基础。
（四）本课程与其他课程的联系与分工
本课程是在学生学习了数学分析、高等代数及其概率论与数理统计的基础上开设的,并在之后开设离散数学,数值分析等进一步的数学课程的本科学习中起到基础和工具的作用,是学习数学和应用数学专业的必备课程。
二、课程教学的基本内容与要求
（一）教学要求
复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
（二）课程总学时数与课程学时分配
1、总学时: 174=68(学时)
2、学时分配表
章 次 内 容 学 时
引 言 复变函数论的基本思想 1
第一章 复数与复变函数 8
第二章 解析函数 9
第三章 复变函数的积分 9
第四章 解析函数的幂级数表示法 9
第五章 解析函数的洛朗展开与孤立奇点 9
第六章 留数理论及其应用 7
第七章 共形映射 9
第八章 解析延拓 7
合计 68
（三）教学内容
绪 论 复变函数论的基本思想
第一章 复数与复变函数
（一）教学目的及要求
1、 理解复数、区域、单连通区域、复连通区域、逐段光滑曲线、无穷远点、扩充复平面等概念。
2、 理解复数的性质、会应用模和辐角的性质，会作点集的图形。
3、 进一步认识复数域的结构，并联系中学的复数教学。
（二）教学重点与难点
重点: 复变函数及其极限与连续。
难点: 无穷远点及无穷远点邻域。
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、 复数发展史略；
2、 复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。
3、 复平面上的点集。
平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。
4、复变函数。
复变函数、单值函数、多值函数、极限、连续、一致连续、柯西收敛准则、复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系，闭区域上连续函数的性质。
5、复球面与无穷远点。
复平面、复数的向量式、三角式与指数式、复数的乘冥与n次方根、无穷远点与复球面、扩充复平面无穷远点的邻域。
第二章 解析函数
（一）教学目的及要求
1、 理解导数、解析函数的定义、性质及充要条件。
2、 理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。
3、 熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法。
4、 熟练掌握已知解析函数的实部或虚部，求该解析函数的方法。
5、 熟练求多值函数的交点、及满足条件的分交在指定点处的函数值。
6、 联系中学教学、认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同。
（二）教学重点与难点
重点: 解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数函数的定义及其主要性质。
难点: 交点的概念。
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、 解析函数的概念与柯西-黎曼方程。
复变函数的导数与微分、函数在一点解析的定义、函数在区域内解析的定义、C—R条件、解析函数的充要条件。
2、 初等解析函数
初等解析函数的定义、指数函数及其重要性质、三角函数与双曲函数。3、 初等多值函数。
根式函数、对数函数、一般幂函数与一般指数函数、具有多个有限支点的情形、反三角函数与反双曲函数。
第三章 复变函数的积分
（一）教学目的及要求
1、理解复积分的概念。
2、理解柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式，认识以上定理和公式的作用，知道证明方法。
3、理解刘维尔定理、摩勒拉定理和代数基本定理，知道证明方法。
4、熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分。
（二）教学重点与难点
重点: 柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。
难点: 计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、 复积分的概念、性质和计算。
2、 柯西积分定理。单连通区域的柯西积分定理、复连通区域的柯西积分定理。
3、 柯西积分公式与高阶导数公式、柯西积分定理与积分公式的应用。
4、 解析函数与调和函数的关系。
第四章 解析函数的幂级数表示法
（一）教学目的及要求
1、 理解一致收敛、内闭一致收敛、幂级数、泰勒展式、收敛半径、收敛圆的概念。
2、 理解复变函数项级数的逐项可导性，与微积分学的相应定理比较，认识其条件结论的强弱。
3、 熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法。
4、 熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法。
5、 数量掌握解析函数零点和级别的求法。
（二）教学重点与难点
重点: 1、幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。
2、将函数在一点展成幂级数的方法。解析函数的唯一性定理。
难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数。
（三）教学方式
讲授, 练习。 （四）教学内容
1、复级数的基本概念。
复数项级数、函数项级数、一致收敛的柯西判别法、维尔斯特拉斯判别法、和函数的连续性、逐项积分、逐项微分。
2、 幂级数。
幂级数的定义、阿贝尔定理、收敛图、收敛半径、和函数在收敛圆内的解析性。
3、 解析函数的泰勒展式。
泰勒定理、初等函数的泰勒展式、解析函数的另一个充要条件。
4、 唯一性定理。
解析函数的零点的孤立性、解析函数的唯一性。
第五章 解析函数的洛朗展开与孤立奇点
（一）教学目的及要求
1、 理解罗朗级数、孤立奇点可去奇点、极点、本质奇点的概念。
2、 熟练掌握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式。
3、 熟练掌握判断奇点类别的方法。
（二）教学重点与难点
重点: 1、将函数展成罗朗级数的方法。
2、判别孤立奇点的方法。
3、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的性质。
难点: 1、孤立奇点类别的识别。
2、将函数在其孤立奇点去心邻域内展成罗朗级数。
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、 解析函数的罗朗展式。
罗朗级数的概念、罗朗级数的收敛域及其函数的解析性、解析函数在圆环上展成罗朗级数。
2、 解析函数的孤立奇点。
奇点、孤立奇点及其分类、函数在孤立奇点的去心邻域内的性质。
3、 解析函数在无穷远点的去心邻域内的性质。
函数在无穷远点的罗朗级数、无穷远点为孤立奇点的分类。
4、整函数与亚纯函数的概念。 第六章 留数理论及其应用
（一）教学目的及要求
1、理解留数的定义及留数定理、辐角原理及其应用。
2、熟练掌握留数的求法。
3、熟练掌握留数的应用
（二）教学重点与难点
重点: 留数的求法
难点: 留数的定义及留数定理
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、留数
留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数。
2、用留数定理计算实积分
3、辐角原理及其应用
对数留数、辐角原理、儒歇定理
第七章 共形映射
（一）教学目的及要求
1、理解解析变换、分式线性变换的概念及其性质。
2、掌握某些初等函数所构成的共形映射。
3、了解共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理。
（二）教学重点与难点
重点: 解析变换、分式线性变换的概念及其性质
难点: 某些初等函数所构成的共形映射
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、解析变换的特性
解析变换的保域性、保角性、单叶解析变换的共形性
2、分式线性变换
分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性、分式线性变换的保圆周性、分式线性变换的保对称点性、分式线性变换的应用 3、某些初等函数所构成的共形映射
幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的共形映射、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域。
4、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理
第八章 解析延拓
（一）教学目的及要求
1、理解解析延拓、完全解析函数、黎曼面等概念。
2、掌握透弧解析延拓、对称原理及解析延拓的幂级数方法
（二）教学重点与难点
重点: 有关解析延拓的概念
难点: 解析延拓的幂级数方法
（三）教学方式
讲授, 练习。
（四）教学内容
1、解析延拓的概念与幂级数延拓
解析延拓的概念、解析延拓的幂级数方法
2、透弧解析延拓、对称原理
透弧直接解析延拓、黎曼-施瓦茨对称原理
3、完全解析函数及黎曼面的概念
完全解析函数、单值性定理、黎曼面概念
三、教学方式与方法
以主题情境分析为基础,针对问题情境展开讨论。保证整个学习过程整体思路的畅通。将练习及习题分类，结合讲授内容进行讨论，完成。选择几个专题由学生报告学习体会。
四、课程考核与要求
考核方法：闭卷考试与平时成绩相结合，由教师掌握。采取百分制。
五、课程纲要制定程序
本课程纲要的制定是由师范学院院长梁晓俐教授、副院长牛平、数学系主任周毅、聂锡军、李艳红、于强、郑杰、于庆年共同研究初步定稿，由周毅老师具体执笔编写。
