1
一、“Y ”字型旋转：
模型I ：等边三角形的“Y ”字型旋转 因为在旋转角为60︒的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个正三角形的三个顶点，这样，对于条件中含有正三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为60︒的旋转变换处理．旋转中心可以选取正三角形的某个顶点．
B
P
'P C
A
B
C
'
P P
A
A B
C
P
'
P
模型II ：等腰直角三角形的“Y ”字型旋转 因为在旋转角为90︒的旋转变换下，任意一组对应点与旋转中心恰好构成一个等腰直角角形的三个顶点，这样，对于条件中含有等腰直角三角形的平面几何问题，我们即可以考虑用旋转角为90︒的旋转变换处理．旋转中心通常选取等腰直角三角形的直角顶点．
二、三角形中的费马点：
1．定义：在一个四边形内找一个点，使得这个点到四边形四个点的距离和最小，这个点即为四边形两条对角线的交点．
在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点我们称为三角形中的费马点．
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A
B C P
A
B C P
'
C '
P
A
B
C
P
'C '
P
2．性质：（1）费马点到三角形的三个顶点的距离和最小；
（2）费马点对应三边的三个张角都相等，且为120 ．
等边三角
形的“Y ”字型旋转
内“Y ”
A
B
C
P
A
B C
P
A
B C
P
A
B C
P
A
B C
P
A
B C
P
线“Y ”
A
B
C P
A
B
C
P
外“Y ”
A
B
C P
A
B
C P
A
B
C
P
模块一 “Y ”字型旋转
3
A
B
C P
A
B
C P
A
B
C
P
等腰直角
三角形的“Y ”字型旋转
内“Y ”
A B C
P
A
B C
P
线“Y ”
A B
C
P
A B
C
P
外“Y ”
A B
C
P
A B
C
P
A
B
C
P
（1）如图2-1，P 是等边ABC △内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC △的边长．
（2）如图2-2，在等边ABC △中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则θ为多少度？
（3）如图2-3，ABD △是等边三角形，在ABC △中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？
4
A
B
C P
A
B P C
A
C
B
D
图2-1 图2-2 图2-3
（1）如图3-1，在正方形ABCD 内有一点P ，且5PA =，2PB =，1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．
（2）如图3-2，已知在ABC △中，AB AC =，90BAC =︒∠，点D 是BC 上的任意一点，探究：BD ，CD 与AD 的关系，并证明你的结论．
（3）如图3-3，四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD △和直角CBD △，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．
P
D
C B
A
A
B
C D
A B
C D
图3-1 图3-2 图3-3
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如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作Rt ADE △，90AED ∠=︒，连接OE ，6DE =，82OE =，求AE 的长．
A
E
B
C D
O
A
E
B
C
D
O
F
如图，以Rt ABC △的斜边BC 为一边在ABC △同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果4AB =，62AO =，求AC 的长．
B F
C A O
E B
F C
A
O
E M
若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC △的费马点．如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB '△连接BB '．求证：BB '过ABC △的费马点P ，且'BB PA PB PC =++．
B'
C
B
A
E
P
C
B'
B
A
模块二 三角形中的费马点
