初中数学复习几何模型专题讲解专题21 旋转型相似模型一、单选题1．如图，正方形ABCD 中，点F 是BC 边上一点，连接AF ，以AF 为对角线作正方形AEFG ，边FG 与正方形ABCD 的对角线AC 相交于点H ，连接DG ．以下四个结论：①EAB GAD ∠=∠；②AFC AGD ∆∆∽；③22AE AH AC =⋅；④DG AC ⊥．其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】 ①四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，∠EAB 、∠GAD 与∠BAG 的和均为90°，即可证明∠EAB 与∠GAD 相等；②由题意易得AD=DC ，AG=FG ，进而可得AC AF AD AG=，∠DAG=∠CAF ，然后问题可证；③由四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，可求证△HAF ∽△FAC ，则有AF AC AH AF=，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证． 【详解】解：①∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°-∠BAG ，∠GAD=90°-∠BAG ∴∠EAB=∠GAD∴①正确②∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形∴AD=DC ，AG=FG∴AD ，AG∴AC AD =AF AG=即AC AF AD AG = 又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴AFC AGD ∆∆∽∴②正确③∵四边形AEFG 和四边形ABCD 均为正方形，AF 、AC 为对角线∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF ∽△FAC ∴AF AC AH AF= 即2·AF AC AH =又∵AE∴22AE AH AC =⋅∴③正确④由②知AFC AGD ∆∆∽又∵四边形ABCD 为正方形， AC 为对角线∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG 在正方形另外一条对角线上∴DG ⊥AC∴④正确故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．二、解答题2．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC ∽△MCA ；（2）求证△ACF ∽△ABE ；（3）若DM =1，CM =2，求正方形AEFG 的边长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3． 【分析】 （1）由正方形的性质得45ACD AFG ∠=∠=︒，进而根据对顶角的性质得CFM ACM ∠=∠，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF AC AE AB=，再证明其夹角相等，便可证明ACF ABE ∽△△； （3）由已知条件求得正方形ABCD 的边长，进而由勾股定理求得AM 的长度，再由MFC MCA △∽△，求得FM ，进而求得正方形AEFG 的对角线长，便可求得其边长．【详解】解：（1）四边形ABCD 是正方形，四边形AEFG 是正方形，45ACD AFG ∴∠=∠=︒，CFM AFG ∠=∠，CFM ACM ∴∠=∠，CMF AMC ∠=∠，MFC MCA ∴△∽△；（2）四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，45BAC ∠=︒，AC ∴=，同理可得AF =，∴AFACAE AB ==45EAF BAC ∠=∠=︒，CAF BAE ∴∠=∠，ACF ABE ∴△∽△；（3）1DM =，2CM =，123AD CD ∴==+=，AM ∴=MFC MCA △∽△， ∴CM FMAM CM =2FM=，FM ∴=，5AF AM FM ∴=-=，∴AG即正方形AEFG ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质．3．如图，在Rt ABC ∆中，∠AC8=90°，∠BAC=a ，点D 在边AC 上（不与点A 、C 重合）连接BD ，点K 为线段BD 的中点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连结CK ，EK ，CE ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1．若a=45︒，则BCK ∆的形状为__________________；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE 绕点A 旋转，使得D ，E ，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2所示，求证：2BE AE CK -=；(3)若三角形ADE 绕点A 旋转至图3位置时，使得D ，E ，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE ，AE ，CK 三者之间的数量关系（用含a 的三角函数表示）【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK ；【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC ，∠EKC =90°即可； （2）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BF 于Q ，结合等腰直角三角形的性质利用SAS 可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得BC BGAC AE，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.【详解】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK= 12 BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD= 12 BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE－AE= BE－BG=EG=EK＋KG =2CK．（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．∵DE⊥AE，∠ACB=90°，∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°∵∠EQA=∠CQB，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ACB中，tanα=BC AC，在Rt △ADE 中，tanα=E DE AE BG A ， ∴=BC BG AC AE， DE=AE·tanα ∴△CAE ∽△CBG ，∴∠ACE=∠BCG ，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB ，DE=BG ，∴KE=KG ，∴EG=2CK ，∵BE －BG=EG=2CK ，∴BE －DE=2CK ，∴BE －AE•tanα=2CK ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.4．（问题发现）（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B 、C 重合）将线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AE ，连结EC ，则线段BD 与CE 的数量关系是 ，位置关系是 ；（探究证明）（2）如图2，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，将△ADE 绕点A 旋转，当点C ，D ，E 在同一直线时，BD 与CE 具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为125．【分析】（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三角形全等的性质可求解；（2）连接BD，由题意易得∠BAD=∠CAE，进而可证△BAD≌△CAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；（3）如图，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根据相似三角形的性质及题意易证△BAE∽△CAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由：如图2，连接BD，∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，∴BD⊥CE；（3）如图3，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AB AC AE AD =，即AB AE AC AD=， ∵∠BAC ＝∠EAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD ，∴△BAE ∽△CAD ，∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠BEC ＝180°﹣（∠CBE +∠BCE ）＝180°﹣（∠CBA +∠ABE +∠BCE ）＝180°﹣（∠CBA +∠ACD +∠BCE ）＝90°，∴BE ⊥CE ，在Rt △BCD 中，BC ＝2CD ＝4，∴BD ==∵AC ⊥BD ，∴S △BCD ＝12AC •BD ＝12BC •AC ，∴AC ＝AE AD ，∴AF =45，CE ＝2CF ＝165=，∴BE 125==． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．5．（1）尝试探究：如图①，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点E 、F 分别是边BC 、AC 上的点，且EF ∥AB ． ①AF BE的值为_________；②直线AF 与直线BE 的位置关系为__________；（2）类比延伸：如图②，若将图①中的CEF ∆绕点C 顺时针旋转，连接AF ，BE ，则在旋转的过程中，请判断AF BE的值及直线AF 与直线BE 的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用：若3BC =，2CE =，在旋转过程中，当,,B E F 三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF 的长．【答案】（1）②AF BE ⊥；（2）AF BE=AF BE ⊥，证明见解析；（3）AF =-或AF =【分析】（1）①由锐角三角函数可得AC ，CF ，可得AF ＝AC−CF BC−CE ），BE＝BC−CE ，即可求AF BE=； ②由垂直的定义可得AF ⊥BE ；（2）由题意可证△ACF ∽△BCE ，可得AF AC BE BC==∠FAC ＝∠CBE ，由余角的性质可证AF ⊥BE ；（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF 的长．【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴tan BC A AC ∠==，∴AC =，∵EF AB ∥，∴30CFE A ∠=∠=︒，∴tan CE CFE CF ∠==，∴CF =，∴)AF AC CF BC CE =-=-，BE BC CE =-，∴AF BE=， ∵90ACB ∠=︒，∴AF BE ⊥，AF BE ⊥；（2）AF BE=，AF BE ⊥ 如图，连接AF ，延长BE 交AF 于G ，交AC 于点H ，∵旋转，∴BCE ACF ∠=∠，∵AC =，CF =∴AC CF BC CE==BCE ACF ∠=∠， ∴ACF BCE ∆∆∽，∴AF AC BE BC==FAC CBE ∠=∠，∵90CBE BHC ∠+∠=︒，∴90FAC AHG ∠+∠=︒，∴AF BE ⊥；（3）①如图，过点C 作CG AF ⊥交AF 的延长线于点G ，∵AC =，CF =，3BC =，2CE =，∴AC =CF =∵30CFE ∠=︒，90FCE ∠=︒，∴60FEC ∠=︒，且,,B E F 三点在同一直线上，∴120CEB ∠=︒，∵旋转，∴120AFC BEC ∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒，且CG AF ⊥，∴12GF CF ==，3CG ==，∴AG ===，∴AF AG FG =-=；②如图，过点C 作CG AF ⊥于点G ，∵AC =，CF =，3BC =，2CE =，∴AC =CF =∵30CFE ∠=︒，90FCE ∠=︒，∴60FEC ∠=︒，∵旋转，∴60AFC BEC ∠=∠=︒，且CG AF ⊥，∴12GF CF ==，3CG ==，∴AG ==∴AF AG GF =+=．【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．6．△ABE 内接于⊙O ，C 在劣弧AB 上，连CO 交AB 于D ，连BO ，∠COB ＝∠E ．（1）如图1，求证：CO ⊥AB ；（2）如图2，BO 平分∠ABE ，求证：AB ＝BE ；（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O半径的长是【分析】（1）连接CE、OA，根据圆周角定理可得∠CEB=12COB，根据∠COB＝∠AEB可得∠COA=∠COB，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；（2）过点O作OF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得OD=OF，根据垂径定理可得BD=12AB，BF=12BE，根据勾股定理可得BD=BF，进而可得结论；（3）根据等腰三角形的性质可得∠AEB=∠EAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠DBO=∠AET，根据∠P＝2∠AET可得∠P=∠ABE，进而可得∠POB=∠PBO，即可证明OP=PB，由∠ETB=∠PDB=90°可证明△BET∽△PBD，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得OD的长，利用勾股定理求出OB的长即可得答案．【详解】（1）如图，连接CE、OA，∵∠COB和∠CEB分别是BC所对的圆心角和圆周角，∴∠CEB=12 COB，∵∠COB＝∠AEB，∴∠CEB=12∠AEB，∴∠COA=∠COB，∵OA=OB，∴OC⊥AB．（2）如图，过点O作OF⊥BE于F，∵OB平分∠ABE，OD⊥AB，OF⊥BE，∴OD=OF，BD=12AB，BF=12BE，∵∴BD=BF，∴AB=BE．（3）∵AB=BE，∴∠AEB=∠EAB，∵∠COB=∠AEB，∴∠COB=∠BAE，∵ET⊥AB，OC⊥AB，∴∠BAE+∠AET=∠COB+∠DBO，∴∠DBO=∠AET，∵OB 平分∠ABE ，∴∠ABE=2∠DBO=2∠AET ，∵∠P=2∠AET ，∴∠P=∠ABE ，∴∠AEB=∠OBO ，∵∠AEB=∠EAB ，∴∠POB=∠PBO ，∴OP=PB ，∵∠ETB=∠PDB=90°，∴△BET ∽△PBD ， ∴2BD PB OP OP ET BE AB BD===， ∵ET=18，OP=25，∴2BD 2=18×25，解得：BD=15，（负值舍去）∴=20，∴OD=OP-PD=5，∴⊙O 半径的长是【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键．7．矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点,M N 分别在边,BC AD 上，且3,2BM DN ==，连接MN 并延长，交CD 的延长线于点E ，点Q 为射线MN 上一动点，过点Q 作AQ 的垂线，交CD 于点P ．（1）特例发现，如图，若点P 恰好与点D 重合，填空：①DE =________；②QA 与QP 的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点Q 在MN 的延长线上，QA 与QP 能否相等？若能，求出DP 的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点G 是线段CD 上异于点D 一点，连接AG ，过点G 作直线GI AG ⊥，交直线MN 于点I ，是否存在点G ，使,AG GI 相等？若存在，请直接写出DG 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①4； ②QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，理由详见解析；（3）（3）,AG GI 能够相等，43DG =【分析】（1）①根据END EMC ，利用对应边成比例列式求出ED 长；②过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，设QG x =，利用AHQ QGD ，对应边成比例列式求出x ，得到这两个三角形其实是全等的，所以QA QP =；（2）过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ，构造“k ”字型全等三角形，设AF x =，再利用相似三角形的性质列式求解；（3）过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，同（2）构造“k ”字型全等三角形，DG y =，再利用相似三角形的性质列式求解．【详解】（1）①∵//ND MC ，∴END EMC ，∴ED ND EC MC=， 835MC BC BM =-=-=，6DC =，265ED ED =+，解得4ED =， 故答案是：4；②如图，过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，可得HG AB ⊥，HG DC ⊥，∴90AHQ QGD ∠=∠=︒，∵AQ QD ⊥，∴90AQH DQG ∠+∠=︒，∵90QAH AQH ∠+∠=︒，∴QAH DQG ∠=∠，∴AHQ QGD ，∴AH HQ QG GD=， 设QG x =，8HQ x =-，∵//QG MC ，∴EQG EMC ， ∴QG EG MC EC =，4510x DG +=，得24DG x =-， ∴24AH x =-， 根据AH HQ QG GD =，得24824x x x x --=-，解得4x =， ∴4AH HQ QG GD ====，∴AHQ QGD ≅，∴AQ QD QP ==，故答案是：QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，163PD =， 如图，过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ，90,90,AQF PQG GPQ PQG AQF GPQ ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，又90,,,,AFQ PGQ AQ PQ FAQ GDP AF QG FQ PG ∠=∠=︒=∆≅∆∴==，设AF x =，则,,4QG x DG x EG x ===-，42,2EG ED x QG ND x -==∴=，解得43x =， 经检验，43x =是该分式方程的根， 42020204168,,333333FQ PG PD ∴=-=∴==-=；（3）,AG GI 能够相等，43DG =， 如图，过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，根据“k ”字型全等得,,8AKG GSI AK GS IS KG ∆≅∆∴===，设DG y =，则,8,2AK TS GS DT y IT y NT y ====∴=-=+，84tan ,22IT ED y INT NT ND y -∠==∴=+，解得43y =，故DG 的长为43．【点睛】本题考查“k ”字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造“k ”字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解．8．已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出BF AE的值； （2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E 在AD 上移动时，请直接写出点E 运动到什么位置时DF DC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）【答案】（1）1；（2）不成立，AE BF ＝2，理由见解析；（3）E 为AD 中点时，DF DC 的最小值 ＝sinα【分析】（1）取AC 的中点M ，连接EM ，BF ，可知△ABC 和△EFC 都是等边三角形，证明△ACE ≌△BCF （SAS ），可得结论．（2）连接BF ，证明△ACE ∽△BCF ，可得结论．（3）连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM ，易得∠ACE ＝∠BCF ，AC BC ＝EC CF ，证明△ACE ∽△BCF ，得出sinα＝EM AM 的最小值 ，则得出DF DC的最小值＝sinα． 【详解】（1）连接BF ，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴BFAE＝1．（2）不成立，结论：AEBF＝2．证明：连接BF，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴AC BC ＝CE CF ＝2， ∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴AE BF ＝AC BC ＝2． （3）结论：当点E 为AD 的中点时，DF DC 的值最小，最小值为sinα． 连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM ，∵AB=AC ，EC ＝EF ，∠BAC ＝∠FEC ＝2α，∴∠ACB ＝∠ECF ，∴△BAC ∽△FEC ，AC BC ＝EC CF， ∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ∽△BCF ，∵D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，∴DFEM＝BCAC＝22DCAM＝DCAM，∴DFDC＝EMAM，∵当E为AD中点时，又∵M为AC的中点，∴EM∥CD,∵CD⊥AD，∴EM⊥AD,此时，EMAM最小=sinα，∴DFDC的最小值＝sinα．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．9．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．【答案】（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC 三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当t+1=1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t=1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【详解】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴m ＝﹣1，n ＝3，∴A （﹣1，0），B （0，3），把（﹣1，0），（0，3）代入得，103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．（ II ）证明：令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴的交点为A （﹣1，0），C （3，0），∴OA ＝1，OC ＝3，∴对称轴为1312x -+==，顶点D （1，﹣1+2+3），即D （1，4），∴BC ==BD ==，224225CD ，∵CD 2＝DB 2+CB 2，∴△BCD 是直角三角形，且∠DBC ＝90°，∴∠AOB ＝∠DBC ，在Rt △AOB 和Rt △DBC 中，AO BD ==，BO BC == ∴AO BO BD BC=， ∴△BCD ∽△OBA ；（ III ）抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），（1）在0≤x ≤3范围内，当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝，t2＝1；或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即t=；④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．综上，t＝﹣1或t＝2．【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题．10．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF （旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；②若BD=7，AE=DF的长；（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．【答案】（1）①AE=BF；证明见解析；②（2）【分析】（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．【详解】（1）①AE=BF，理由如下：证明：∵ABCD为矩形，∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，∵△COD绕点O旋转得△EOF，∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF∵∠BOD=∠AOC=180°∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE即∠BOF=∠AOE∴△BOF≌△AOE（SAS），∴BF=AE②∵OB=OD=OF，∴∠BFD=90°∴△BFD为直角三角形，∴222BF DF BD+=，∵BF=AE∴DF==∵BD=7，AE=∴（2））∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=12AC=3，OB=OD=12BD=5，∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB∴OA OEOB OF=，且∠EOA=∠FOB∴△AOE ∽△BOF ，∴ 3,5AE OA BF OB == 5,AE =25,3BF ∴= ∵OB=OF=OD∴△BDF 是直角三角形，∴222,BF DF BD +=DF ∴==【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOE ∽△BOF 是解本题的关键．11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．（1）如图1，在四边形ABCD 中，80ABC ∠=︒，140ADC ∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠．求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；（2）如图2，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，30EFH HFG ∠=∠=︒．连接EG ，若EFG∆的面积为FH 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的FEH FHG ∆∆∽，得到FE FH FH FG=，过点E 作EQ FG ⊥，可得出EQ ，根据2FH FE FG =⋅即可求解；【详解】（1）证明：∵80ABC ∠=，BD 平分ABC ∠，∴40ABD DBC ∠=∠=，∴140A ADB ∠+∠=．∵140ADC ∠=，∴140BDC ADB ∠+∠=．A BDC ∠=∠，∴ABD DBC ∆∆∽∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”．（2）∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∴三角形EFH 与三角形HFG 相似．又EFH HFG ∠=∠，∴FEH FHG ∆∆∽， ∴FE FH FH FG=， ∴2FH FE FG =⋅．过点E 作EQ FG ⊥，垂足为Q ． 则3sin 60EQ FE FE =⨯=．∵12FG EQ ⨯=，∴12FG = ∴8FG FE ⋅=，∴28FH FE FG =⋅=，∴FH =．【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．12．如图1，在正方形ABCD 中，G 为线段BD 上一点，连接AG ，过G 作AG GE ⊥交BC 于E ，连接AE ．（1）求证：BG DG =；（2）如图2，4AB =，E 为BC 中点，P ，Q 分别为线段AB ，AE 上的动点，满足QE =，则在P ，Q 运动过程中，当以PQ 为对角线的正方形PRQS 的一边恰好落在ABE ∆的某一边上时，直接写出正方形PRQS 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）正方形PRQS的面积可以为：516，2049，1，14．【分析】（1）连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，证明△AGH≌△EGI可得AG=GE即△AGE为等腰直角三角形，再证明△ABE∽△AOG，可得2OG=，再结合正方形的性质可得2BD GD=+，从而可证明结论．（2）分正方形PRQS的一边恰好落在AE上，正方形PRQS的一边恰好落在AB上和正方形PRQS的一边恰好落在BE上三种情况讨论，画出对应图形，利用三角函数解直角三角形即可．【详解】解：(1)连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，∴∠AHG=∠BIG=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE=90°，∠BAC=∠ABD=∠CBD=45°，∠AOG=90°,AB=,BD=2OD，∴HG=GI（角平分线上的点到角两端距离相等），∠HGI=360°-∠BHG-∠BIG-∠ABE=90°，∵∠AGH=∠AGE-∠HGE=90°-∠HGE，∠IGE=∠IGH-∠HGE=90°-∠HGE,∴∠AGH=∠IGE，在△AGH和△EGI中，∵AHG BIG HG GI AGH IGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AGH ≌△EGI （ASA ）∴AG=GE,∴△AGE 为等腰直角三角形，∠EAG=45°，∴∠BAE=45°-∠EAC=∠CAG,∵∠ABC=∠AOG,∴△ABE ∽△AOG ，∴BE AB OG AO==∴2OG =，∴2())2BD OG GD GD GD =+==+，∴2BG BD DG DG DG DG =-=+-=（2）∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=4,∵E 为BC 中点，∴BE=2,AE ==∴1cos ,tan 52BE BAE BAE AB ∠==∠==, 设AP=x，则QE =①若正方形PRQS 的一边恰好落在AE 上，分两种情况如下图，若为正方形1111PR Q S ，则11cos AS AP BAE =⋅∠=，11111=A tan S Q PS S BAE x =⋅∠=，∴1111AE AS S Q Q E =++== 解得：54x =，22155())416S AS ===正； 若为正方形2222P R Q S ，则22cos AR AP BAE =⋅∠=，222tan P R AR BAE =⋅∠=∴22AE AR R E =+=+=解得：107x =，222220())49S P R x ===正； ②若正方形PRQS 的一边恰好落在AB 上，分两种情况如下图，若为正方形3333P R Q S ， 则33333331tan ,2R Q BAE R P R Q AR =∠==, ∴3322AR AP x ==,333R Q AP x ==，33cos AR AQ BAE==∠， 33AE AQ Q E =+==，解得1x =，2233()1S R Q x ===正；若为正方形4334P R Q S ， 则33343331tan ,2R Q BAE R P R Q AR =∠==， ∴342233AR AP x ==，3341133Q R AP x ==,33cos ARAQ x BAE ==∠ 则333AE AQ Q E x =+=+= 解得32x =，223311()()34S R Q x ===正． ③若正方形PRQS 的一边恰好落在BE 上，由QE =可知，Q 点和E 点不可能重合，若P 点和B 点重合，如下：此时AP=4，又2AS SQ SP==，∴184233AS =⨯⨯=，AQ AS ==，33QE ==≠,故舍去．综上所述：正方形PRQS 的面积可以为：516，2049，1，14． 【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形．（1）中能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键；（2）中能分类讨论，画出对应图形是解题关键．13．如图（1），在矩形ABCD 中，8,6AB AD ==，点,E F 分别是边,DC DA 的中点，四边形DFGE 为矩形，连接BG ．（1）问题发现在图（1）中，CE BG =_________； （2）拓展探究将图（1）中的矩形DFGE 绕点D 旋转一周，在旋转过程中，CE BG的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形DFGE 旋转至,,B G E 三点共线时，请直接写出线段CE 的长．【答案】（1）45；（2）CE BG 的大小无变化，证明见解析；（3）125CE =或125【分析】（1延长FG 交BC 于点H ，可根据题意分别求出CE ，BG 的长，即可求CE BG 的值； （2）连接BD DG ，，先由勾股定理计算DG 的值，再计算45DE DG =，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可；（3）采用分类讨论法解题，一种是点E 在线段BG 上，另一种是点E 在BG 的延长线上，据此分别求解即可.【详解】（1）解：延长FG 交BC 于点H ，则3490CH BH GH EC GHB ====∠=︒，，， 5BG ∴=，45CE BG ∴=， 故答案为：45（2）CE BG的大小无变化. 证明：如图（1），连接,BD DG ，由题意可知：1EDG ∠=∠，∴122EDG ∠+∠=∠+∠，即CDE BDG ∠=∠，在矩形ABCD 中，8,6CD BC ==，∴10BD ==， ∴45CD BD =， 在矩形DFGE 中，4,3DE GE ==，∴5DG ==， ∴45DE DG =， ∴CD DE BD DG=， ∴CDEBDG ∆∆， ∴45CE DE BG DG ==；（3）CE =如图（2），图（3）：如图（2），当点E 在线段BG 上，由（2）知，CDE BDG ∆∆，45CE BG =，在Rt BDE 中104DB DE ==，，，BE ∴==3BG ∴= 45CE BG = 45=125CE ∴=； 当点E 在BG 的延长线上时，由（2）知，CDE BDG ∆∆，45CE BG =，在Rt BDE 中104DB DE ==，，BE ∴==3BG ∴= 45CE BG = 45=125CE ∴=综上所述，125CE =或125 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.14．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，C ，F ，G 三点在一直线上，连接AF 并延长交边CD 于点M ．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求CFBE的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．【答案】（1）见解析；（2（3．【分析】（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得AF ACAE AB，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，∴∠CFM=∠ACM=45°，∵∠CMF=∠AMC，∴△MFC∽△MCA；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC =90°，∠BAC =45°，∴AC AB ，同理可得AF ，∴AF AC AE AB== ∵∠EAF =∠BAC =45°，∴∠CAF+∠CAE =∠BAE+∠CAE =45°，∴∠CAF =∠BAE ，∴△ACF ∽△ABE ，∴CF AC BE AB== （3）∵DM =1，CM =2，∴AD =CD =1+2=3，∴AM ，∵△MFC ∽△MCA ， ∴CM FMAM CM=2FM =，∴FM ，∴AF =AM ﹣FM ，∴AG 2=AF ，即正方形AEFG ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP 到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．（1）如图1，若∠B＝45°，则AEDG＝；（2）如图2，若∠DCG＝30°，54AEDG=，求：DGCABCSS∆∆＝；（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当CPAC的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？【答案】（1；（2；（3）当CPAC=时，线段AM与DM的长度之和取得最小值．【分析】（1）如图1，根据△ABC是等腰直角三角形，得，由点D是BC边上的中点，可知2CD= AC，得AC与CD的比，证明△DCG∽△ACE，列比例式可得结论；（2）如图2，连接AD，同理得△DCG∽△ACE，可得54AE ACDG DC==，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．想办法证明∠GDM=∠GDC=45°，设CH=a，则PC=2a，，推出AC=2CD=2（），由此即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，∵AB ＝AC ．∠B ＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵BC AC ，又∵点D 是BC 边上的中点，∴BC ＝2CD ，∴2CD ，∴ACCD ，∵∠CAE ＝∠CDE ，∠DCG ＝∠ACE ，∴△DCG ∽△ACE ，∴AEACDG DC；（2）如图2．连接AD ，∵∠CAE ＝∠CDE ．∠ECA ＝∠GCD ，∴△DCG ∽△ACE ，∴AE AC DG DC =＝54， 又∵AB ＝AC ，点D 是BC 边上的中点，∴BD ＝DC ，AD ⊥BC ，设AB ＝AC ＝5k ．BD ＝DC ＝4k ，由勾股定理可得AD ＝3k ，∵∠ECA ＝∠GCD ，∴∠ACD ＝∠ECG ∵AC EC CD CG= ∴AC CD EC CG = ∴△ADC ∽△EGC ，∴∠ADC ＝∠EGC ＝90°可得EG ⊥GC ，又∵D ，G ，E 三点共线，∴∠DGC ＝90°，又∵∠DCG ＝30°，可得DG ＝2k ，GC ＝，∴S △DGC ＝12×2k×＝k 2， S △ABC ＝12×8k×3k ＝12k 2， ∴DGC ABC S S＝6；故答案为：6； （3）如图3，当A ，M ．D 三点共线时，AM+DM 的值最小，连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD．作PH⊥CD于点H，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，又∵BC＝AC．∠ACB＝60°，∴∠DAC＝∠HPC＝30°，∵BD＝CD，AC＝BC，∴AC＝2CD，∵∠CAE＝∠CDE，∠ECA＝∠GCD，∴△DCG∽△ACE，∴12 CD CGAC CE==，∴EC＝2CG，又∵CG＝MG，∴MC＝CE，又∵∠ACD＝60°，∴∠MCE＝60°，∴△MCE是等边三角形，又∵O是中点，∴DC＝CO，∠ECO＝∠MCD，MC＝CE，∴△MDC≌△EOC（SAS），∴OE＝DM，又∵∠CDE＝∠CAE，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠AEC＝90°，∴AO＝OC，∴EO＝OC＝CD＝MD，又∵CG＝GM，CD＝DM，∴∠GDM＝∠GDC＝45°，∠PDH＝∠DPH＝45°，∴PH＝DH，设CH＝a，则PC＝2a，PH＝DH，∴AC＝2CD＝2（），∴12CPAC==．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．16．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．。
