初三专题复习几何变换之旋转辅导讲义

专题13 旋转变换 （录入：王云峰）阅读与思考在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．旋转变换不改变图形的形状和大小．通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度．旋转变换前后的图形有下列性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；（3）对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心．例题与求解【例1】如图，边长为1的正△A 1B 1C 1的中心为O ，将正△A 1B 1C 1绕中心O 旋转到△A 2B 2C 2，使得A 2B 2丄B 1C 1，则两个三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为＿＿．（“新知杯”上海市竞赛试题）解题思路：S 六边形ABCDEF ＝22223A B C B CD S S ∆∆-，解题的关键是寻找CB 1，CB 2，CD ，C 1D 之间的关系．【例2】如图，已知△AOB ，△COD 都是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠CQD ＝90°，N ，M ，Q ，P 分别为AB ，CB ，CD ，AD 的中点． 求证：四边形NMQP 为正方形．解题思路：连结BD ，AC ，并延长AC 交于点E ，则△OAC 可以看作是由△OBD 绕点O 逆时针旋转90°得到的，且∠AED ＝90°，这是证明本例的关键．QAB CDEM NOP1B 22【例3】如图，巳知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为形内一点，且∠APB ＜∠APC ． 求证：PB ＞PC ． （北京市竞赛试题）解题思路：以A 为中心，将△APB 旋转一个∠BAC ，使AB 边与AC 边重合，这时△APB 到了△AP 'C 的位置．【例4】点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE ，BD 交于点F ．（1）如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝＿＿＿＿；如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝＿＿＿＿； （2）如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝＿＿＿＿（用含α的式子表示）；（3）将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A ，B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是＿＿＿．请你任选其中一个结论证明． （武汉市中考试题）解题思路：从特殊到一般，在动态的旋转过程中，有两组不变的关系：△ABC ∽△EDC ，△BCD ∽△ACE ，这是解本例的关键．AB CDEF图1A BCDEF图2AB CDEF图3ABCDEF 图4ABCDEF图5Q AB C PP '【例5】如图，已知凸五边形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝2∠DBE．求证：∠ABC＝60°．（北京市竞赛试题）解题思路：将△ABE以B为旋转中心顺时针旋转∠ABC，使得AB与BC重合，落在△CBE'位置，则△ABE≌△CBE′，AE＝CE′，BE＝BE′，∠CBE′＝∠ABE．【例6】如图，已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C方形的边长．（广东省竞赛试题）解题思路：本例是费马点相关的问题的变形，解题的关键是确定最小值时E点的位置，通过旋转变换，把EA，EB，EC连结起来．能力训练A级1．如图，巳知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为＿＿＿＿．（上海市中考试题）AB CD第1题ABPP'第2题AB CDE第3题ABCDEE'AB CDE2．如图，P 是正△ABC 内的一点，且P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P '之间的距离为＿＿＿＿，∠APB ＝＿＿＿＿．（青岛市中考试题）3．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，∠BCD ＝45°．将CD 以点D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连结AE ，则△ADE 的面积是＿＿＿＿．4．如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝＿＿＿＿．（上海市中考试题）5．如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转60°至AB 'C 'D ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是＿＿＿＿．（全国初中数学联赛试题）6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ．以斜边BC 上距离点B 6cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积为＿＿＿．（黄冈市竞赛试题）7．如图，将△ABC 绕点C （0，-1）旋转180°得到△A 'B 'C ，设点A '的坐标为（a ，b ），则点A 的坐标为（ ）A ．（a -，b -）B ．（a -，1b --）C ．（a -，1b -+）D ．（a -，2b --）（河南省中考试题）8．如图，已知P 是等边△ABC 内部一点，∠APB ︰∠BPC ︰∠CP A ＝5︰6︰7．则以P A ，PB ，PC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（ ）A ．2︰3︰4B ．3︰4︰5C ．4︰5︰6D ．不能确定（全国初中数学通讯赛试题）9．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，P 是△ABC 内一点，则（ ）BC第4题A BCDB 'C ''第5题ABCDEF G H K P第6题第7题ABCP第8题ABCP第9题A ．P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋AC B ．P A ＋PB ＋PC ＞AB ＋AC C ．P A ＋PB ＋PC ＝AB ＋ACD ．P A ＋R B ＋PC 与AB ＋AC 的大小关系不确定（武汉市竞赛试题）10．已知：如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 到点F ，OD 到点E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ．连结EF ，将△FOE 绕点O 逆时针旋转α角得到△F ′OE ′（如图2）．（1）探究A 'E 与BF ′的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE '为直角三角形．（南通市中考试题）11．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠BAC ＝∠EDF ＝α，点M ，N 分别是BE ，CF 的中点．（1）若点A 与点D 重合，点E ，F 分别在AB ，AC 上（如图1），则AM 与AN 的数量关系是＿＿＿＿，∠MAN 与α的数量关系是＿＿＿＿；（2）将图1中的△DEF 绕点A （D ）旋转（如图2），第（1）问的两个结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．ABCDE FO图1ABCDE 'F 'Oα图2BC ()D EFMN 图1A BC()D EFMN图2B 级1．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，∠MDN ＝60°，则△AMN 的周长＝＿＿＿＿．（重庆市竞赛试题）2．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M ，N ，使∠MCN ＝45°，记AM ＝m ，MN ＝x ，BN ＝n ，则以线段x ，m ，n 为边长的三角形的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x ，m ，n 的变化而变化（安徽省竞赛试题）3．如图，直线y ＝443x -+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把△AOB 绕点A 顺时针旋转90°后得到△AO 'B '，则点B ′的坐标是（ ）A ．（3，4）B ．（4，5）C ．（7，4）D ．（7，3）（丽水市中考试题）4．如图，正方形ABCD 中，已知ABBC ，CD 上，且∠BAE ＝30°，∠DAF ＝15°，求△AEF 的面积．（“希望杯”邀请赛试题）A BCDM N 第1题AB CMN 第2题第3题5．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°． 求证：BC ＋DC ＝AC ；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，P 为四边形ABCD 内一点，且∠APD ＝120°，求证：P A ＋PD ＋PC ≥BD ．（江苏省竞赛试题）6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，△ADE 是正三角形，点D 在边BC 上，已知BD ︰DC ＝2︰3，当△ABC 的面积是50cm 2时，求△ADE 的面积．（日本数学奥林匹克试题）7．如图，已知O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AQB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，P 是△ABC 内任一点．求证：P A ＋PB ＋PC ≥OA ＋OB ＋OC ．（杭州市竞赛试题）ABCD EF第4题ABD图①A BCDP图②第5题ABCDE第6题ABCOP第7题8．（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ），B ，C ，G 在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MD ，MF 的关系；（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转α，M 为AE 的中点．试问：第（1）问中探究的结论是否成立？（大连市竞赛试题）9．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，BE ＝EF ，∠BEF ＝90°．按图1的位置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连结EG ，CG ．（1）探索EG ，CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°，再连结DF ，取DF 中点G （如图2），第（1）问中的结论是否仍然成立？请你证明；（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意角度（在0°～90°之间），再连结DF ，取DF 的中点G （如图3），第（1）问中的结论是否仍成立？不必证明．10．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转角为α，∠ABO 为β．（1）如图1，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；A BCDEF GM 图1A BCDEFGM 图2A BCDEFGM图3ABCDE FG图3ABCDEFG图2图1ABCDE FG（2）如图2，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系； （3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．（天津市中考试题）11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AD ，点P 在△ABC 内，且P APB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积．（“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）图1图2第10题ABCP第11题。

第九讲第二十三章旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。

点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。

）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（3）旋转前、后的图形全等。

3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。

1．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、旋转中的全等例1．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．例2．如图等边△ABC内有任意一点O，试说明：OA+OB>OC．三、中心对称1、像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

而绕的点叫对称中心。

2、中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。

（2）关于中心对称的两个图形是全等形。

3、作中心对称和图形的一般步骤（1）确定“代表性的点”；（2）作出每个代表性的点的对应点；（3）顺次连结。

例1、如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．练一练：1．如图所示，图中不是中心对称图形的是（）2．如图所示，图中既是轴对称图形，•又是中心对称图形的是（）3．下面的平面图形中，不是中心对称图形的是（）A．圆B．菱形C．矩形D．等边三角形4．如图所示，图中既是轴对称图形，•又是中心对称图形的是（）5．如图所示的图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个直角坐标系中原点对称例：如图在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些坐标与已知点的坐标有什么关系？结论：练一练：Array 1.如图，(1)画出点A关于x轴的对称点A′；(2)画出点B关于x轴的对称点B′；(3)画出点C关于y轴的对称点C′；(4)画出点A关于y轴的对称点D′.2.填空：(1)点A(-2，1)关于x轴的对称点为A′( ，)；(2)点B(0，-3）关于x轴的对称点为B′( ，)；(3)点C(-4，-2）关于y轴的对称点为C′( ，)；(4)点D(5，0）关于y轴的对称点为D′( ，).3、如图，A(3，2)，B(-3，2)，C(3，0)，(1)在直角坐标系中，画出点A，B，C关于原点的对称点A′，B′，C′；(2)点A(3，2)关于原点的对称点为A′( ，)，点B(-3，2)关于原点的对称点为B′( ，)，点C(3，0)关于原点的对称点为C′( ，)；(3)你发现点P(x，y)关于原点的对称点P′( ，).。

九年级旋转专题讲义旋转专题讲义（九年级）一、基础知识1. 旋转的定义：在平面内，一个图形绕着某一点转动一定的角度而不改变其位置的运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角。

2. 旋转的性质：（1）旋转中心到图形上任意一点的距离在旋转前后保持不变。

（2）图形上任意两点绕旋转中心按同一方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等。

（3）图形上任意两点绕旋转中心按相反方向旋转相等的角度后，对应点到旋转中心的距离相等，但方向相反。

二、常见题型及解题方法1. 确定旋转角：在题目中，常常会给出一些图形经过某种运动后的位置，需要确定这些图形是绕哪个点按什么方向旋转了多少度。

此时可以通过观察图形变化前后的位置，找出旋转中心和旋转角。

2. 求解旋转问题：在求解与旋转相关的问题时，常常需要利用旋转的性质，通过已知条件推导出其他未知条件。

例如，在求解几何图形的面积或周长时，可以通过旋转将不规则图形转化为规则图形，从而方便计算。

3. 判断是否为旋转对称图形：在判断一个图形是否为旋转对称图形时，可以通过观察图形是否能够绕某点按一定角度旋转后与自身重合来确定。

如果可以，则该图形是旋转对称图形。

4. 求解旋转对称图形的中心和角度：在求解旋转对称图形的中心和角度时，可以通过观察图形自身旋转的过程，找出旋转中心和旋转角度。

例如，在求解正多边形的中心和角度时，可以通过将多边形的各顶点绕中心点按相同的方向旋转相同的角度后与自身重合来确定。

三、典型例题解析例1：在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上一点，且CF=3BF。

将△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG。

则下列结论：①AF=AG；②BF=BG；③AF=FG；④△AFD≌△GFC中，正确的有（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④分析：根据题意，通过全等三角形的判定与性质分别判断即可。

解答：①∵△ADE绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ABG，∴AF=AG，故①正确；②∵CF=3BF，E为CD的中点，∴BF=DF=CG=BG，故②正确；③在△AFD与△GFC中，∵AD=AG，DF=CG，AF=FG，∴△AFD≌△GFC （SSS），∴∠AFC=∠AFD=90°+∠DFA，又∵∠AFC+∠AFD+∠DFA=180°，∴AF≠FG，故③错误；④由③得：AF≠FG，故④错误；故选A。

中考数学复习《旋转知识点梳理+过关练习》）专题复习讲义一．知识点回顾1.定义:在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,图形的这种变化称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.2.性质:(1)旋转不改变图形的形状与大小,旋转前、后的图形全等.(2)一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心的距离⑧,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于⑨;对应线段相等,对应角相等.二．规律总结：(1)确定旋转中心的方法:旋转中心是对应点所连线段的垂直平分线的交点.(2)旋转作图的方法步骤:①连点:将原图中的一个关键点与旋转中心连接;②转角:将①中所连接的线段绕旋转中心按指定的方向旋转一个角度,得到这个关键点的对应点;③连接:重复①②,将原图中所有关键点的对应点找出来,再按原图中的顺序,依次连接成图.三．过关练习1.下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()2.如图,在平面直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形OABC 关于y轴的对称图形OA'B'C',再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″,则点C的对应点C″的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.(-2,1)D.(-2,-1)3.把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合,则这个旋转角度至少为()A.30°B.90°C.120°D.180°4.如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为()A.4B.2√5C.6D.2√65.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,√ 3 ),以原点为中心,将点A顺时针旋转30°得到点A',则点A'的坐标为()A.(√3,1)B.(√3,-1)C.(2,1)D.(0,2)6.如图,在平面直角坐标系中,点B在第一象限,点A在x轴的正半轴上,∠AOB=∠B=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是()A.(-1,2+√3)B.(-√3,3)C.(-√3,2+√3)D.(-3,√3)7. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A. B. C.1﹣ D.1﹣8.如图,P为等边三角形ABC内的一点,且点P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为 ()A.9+254√3 B.9+252√3 C.18+25√3 D.18+252√39.如图,直线a,b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点 D.若OB=3,AB=2,则阴影部分的面积之和为.10.在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是.11.如图,Rt△OCB的斜边在y轴上,OC=√3,含30°角的顶点与原点重合,直角顶点C在第二象限,将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC'B',则B点的对应点B'的坐标是.x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,△AOB绕点A顺时针旋12. 如图,直线y=-43转90°后得到△AO′B′,则点B的对应点B′的坐标为 .13.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,其中点A'与A是对应点,点B'与B是对应点,点B'落在边AC上,连接A'B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A'B 的长为.14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为________．15. 如图，王虎使一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木板，在桌面上做无滑动地翻滚（顺时针方向）,木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为_______.16. 如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．17. 如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．18.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BP⊥CD;(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6√ 2 ,AD=3,求△PDE的面积.19. 如图,△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF和BE.(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论.(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由.(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形(草图即可),(1)中的结论还成立吗?(作出判断不必说明理由)(4)根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现.20. 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是________;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是________.(2)如图②,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请判断线段AC,CD,CE之间的数量关系,并说明理由;(3)如图②,AC与DE交于点F,在(2)条件下,若AC=8,求AF的最小值.。

图形的旋转【要点梳理】要点一、旋转的概念把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A ′),如果图形上的点A 经过旋转变为点A ′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点二、旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA = OA ′)； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形全等(△ABC ≌△A B C ''').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点三、旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：B 'AA 'C 'CBO作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.【典型例题】类型一、旋转的概念与性质【例1】如图，把四边形AOBC绕点O旋转得到四边形DOEF. 在这个旋转过程中：(1)旋转中心是谁?(2)旋转方向如何?(3)经过旋转,点A、B的对应点分别是谁？(4)图中哪个角是旋转角？(5)四边形AOBC与四边形DOEF的形状、大小有何关系？(6) AO与DO的长度有什么关系？BO与EO呢？(7)∠AOD与∠BOE的大小有什么关系？FCB DEAO【变式】如图所示：O为正三角形ABC的中心．你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗？如果能，设计出分割方案，并画出示意图．【例2】如图，将图(1)中的正方形图案绕中心旋转180°后，得到的图案是( )A .B .C . D.类型二、旋转的作图【例3】如图，已知△ABC 与△DEF 关于某一点对称，作出对称中心.【例4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．将ABC ∆向下平移4个单位，得到C B A '''∆，再把C B A '''∆绕点顺时针旋转90°，得到C B A '''''∆，请你画出C B A '''∆和C B A '''''∆(不要求写画法)．A BCO •ABDFE【变式】如图，画出ABC∆绕点O逆时针旋转100︒所得到的图形．中心对称与中心对称图形【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体(一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P(x，y)关于原点的对称点P'坐标为P'(－x，－y)，反之也成立.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【例1】下列图形不是中心对称图形的是 ( )A．①③B．②④C．②③D．①④【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是()A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M 或O或C【例2】我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.类型二、作图【例3】已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分(至少三种方法).【变式】如图①，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个．．圆．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．【例边长为3C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是__________.【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形图①图②重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) . 2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 【典型例题】 类型一、旋转【例1】数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是( ). A ．甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁【变式】以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是( ). A B C D 类型二、中心对称【例2】如图，C B A '''∆是△ABC 旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是().A ．B ．C ．D ．类型三、平移、轴对称、旋转【例3】如图，设P 是等边三角形ABC 内一点，PB =3，P A =4，PC =5，求∠APB 的度数.【变式】 已知D 是等边△ABC 外一点,∠BDC =120º.求证：AD =BD +DC .APBB 'A 'CB【例4】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD =CD . 求证：BD 2=AB 2+BC 2.【例5】正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A ，点G 、E 分别在线段AD 、AB 上(1)如图连结DF 、BF ，试问：当正方形AEFG 绕点A 旋转时，DF 、BF 的长度是否始终相等？若相等 请证明；若不相等请举出反例.(2)若将正方形AEFG 绕点A 顺时针方向旋转，连结DG ，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段DG 的长度相等，并画图加以说明.【变式】如图，把边长为1的正方形ABCD 绕顶点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则它们的公共部分的面积等于_________．【例6】如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =900，E 、F 是BC 边上DBCACBD点且∠EAF=45°.求证：22EF2+．BE=CFACFBE。

九年级数学旋转的知识点九年级数学中，旋转是一个重要的几何变换，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。

本文将介绍九年级数学中旋转的基本概念、性质以及相关例题，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

1. 旋转的基本概念旋转是指在平面内，绕着一个点旋转图形，使得图形在平面上转动。

旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。

常用的表示方法是以旋转中心为原点，旋转角度为正，顺时针旋转为负。

2. 旋转的性质（1）旋转是一个保角变换，即旋转前后的两条线段之间的夹角相等。

（2）旋转是一个保距变换，即旋转前后的两条线段的长度相等。

（3）旋转不改变图形的对称性，即旋转前后的图形具有相同的对称性。

3. 点、线和图形的旋转（1）点的旋转：点的旋转只是将一个点绕旋转中心旋转一定角度，并保持距离不变。

（2）线的旋转：线的旋转是通过将线段的两个端点绕旋转中心旋转一定角度，并保持线段长度不变。

（3）图形的旋转：图形的旋转是将整个图形绕旋转中心旋转一定角度，并保持图形的形状和大小不变。

4. 旋转的变换规律（1）旋转180度：一个图形绕旋转中心旋转180度后，得到的图形与原图关于旋转中心对称。

（2）旋转90度或270度：一个图形绕旋转中心旋转90度或270度后，得到的图形与原图关于旋转中心垂直对称。

（3）旋转360度：一个图形绕旋转中心旋转360度后，得到的图形与原图完全相同。

5. 旋转的应用举例（1）构造一个正方形：通过旋转一个合适的线段，可以构造一个正方形。

（2）判断图形是否重合：通过判断图形旋转一周后是否与原图形重合，可以判断两个图形是否重合。

（3）辅助解题：在解决一些几何问题时，通过对图形进行旋转可以得到一些有用的信息。

通过以上的介绍，希望同学们对九年级数学中旋转的知识点有了更深入的了解。

在学习和应用中，同学们可以灵活运用旋转的性质和规律，解决各种几何问题。

同时，建议同学们多做练习，加深对旋转的理解和运用能力。

祝大家在数学学习中取得更好的成绩！。

第32讲几何三大变换之旋转旋转的性质【例题讲解】例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=度．【解答】解：由图145AOD ∠=︒ ，1459055AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，则905535BOC ∠=︒-︒=度．故答案为：35．例题2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC ∆绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为，ADF ∆是等腰三角形．旋转中心：O旋转角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性质：OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋转中心：B旋转角：∠ABA'=∠CBC'性质：AB=A'B 、CB=C'B 连接AA'、CC'△ABA'∽△CBC'，且均为等腰三角形【解答】解：ABC ∆ 绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，DCA α∴∠=，CD CA =，11(180)9022CDA CAD αα∴∠=∠=︒-=︒-，ADF ∆ 是等腰三角形，30DFA α∠=︒+，①CD CA =，则CDA CAD ∠=∠，当FD FA =，则FDA FAD ∠=∠，这不合题意舍去，②当AF AD =，ADF AFD ∴∠=∠，190302αα∴︒-=︒+，解得40α=︒；③当DF DA =，DFA DAF ∴∠=∠，13090302αα∴︒+=︒--︒，解得20α=︒．故答案为40︒或20︒．【旋转60°】得等边例题3.如图，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，△AOE 是等边三角形，点P 为x 轴正半轴上任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交x 轴于点F .（1）问∠QFP 角度是否发生变化，若不变，请说明理由；（2）若AO =，OP =x ，请表示出点Q 的坐标（用含x 的代数式表示）【解答】（1）不变（2）【旋转90°】构造全等例题4．如图，在平面直角坐标系中，点(,)A a b 为第一象限内一点，且a b <．连结OA ，并以点A 为旋转中心把OA 逆时针转90︒后得线段BA ．若点A 、B 恰好都在同一反比例函数的图象上，则b a的值等于多少？【解答】解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BD AE ⊥，90OAB ∠=︒ ，90OAE BAD ∴∠+∠=︒，90AOE OAE ∠+∠=︒ ，BAD AOE ∴∠=∠，在AOE ∆和BAD ∆中，90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOE BAD AAS ∴∆≅∆，AE BD b ∴==，OE AD a ==，DE AE AD b a ∴=-=-，OE BD a b +=+，则(,)B a b b a +-；A 与B 都在反比例图象上，得到()()ab a b b a =+-，整理得：22b a ab -=，即2(10b b a a--=， △145=+=，∴152b a ±=， 点(,)A a b 为第一象限内一点，0a ∴>，0b >，则152b a +=．故答案为152+．【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5．如图所示，抛物线2:(0,0)m y ax b a b =+<>与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180︒，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ．（1）四边形11AC A C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（2）若四边形11AC A C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．【解答】解：（1）当1a =-，1b =时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+．令0x =，得：1y =．(0,1)C ∴．令0y =，得：1x =±．(1,0)A ∴-，(1,0)B ，C 与1C 关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：22(2)143y x x x =--=-+；四边形11AC A C 是平行四边形．理由：连接AC ，1AC ，11A C ，C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称，1AB BA ∴=，1BC BC =，∴四边形11AC A C 是平行四边形．（2）令0x =，得：y b =．(0,)C b ∴．令0y =，得：20ax b +=，∴x =∴(A B ，∴AB BC ===．要使平行四边形11AC A C 是矩形，必须满足AB BC =，∴=，∴24(b b b a a⨯-=-，3ab ∴=-．a ∴，b 应满足关系式3ab =-．例题6．如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过(1,0)A -，(3,2)C 两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，过点(1,1)E -作EF x ⊥轴于点F ，将AEF ∆绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆（点M ，N ，Q 分别与点A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线23y ax ax b =-+过(1,0)A -、(3,2)C ，03a a b ∴=++，299a a b =-+．解得12a =-，2b =，∴抛物线解析式213222y x x =-++．（2）如图2，由题意知，AEF ∆ 绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆，∴设绕点I 旋转，联结AI ，NI ，MI ，EI ，AI MI = ，NI EI =，∴四边形AEMN 为平行四边形，//AN EM ∴且AN EM =．(1,1)E - 、(1,0)A -，∴设(,)M m n ，则(2,1)N m n -+M 、N 在抛物线上，213222n m m ∴=-++，2131(2)(2)222n m m +=--+-+，解得3m =，2n =．(3,2)M ∴，(1,3)N ．【旋转过后落点问题】例题7．如图，Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，48B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =，把Rt ABC ∆绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m =．【解答】解：当旋转后点B 的对应点B '落在AB 边上，如图1，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，48DB B B ∴∠'=∠=︒，18084B DB DB B B ∴∠'=︒-∠'-∠=︒，即84m =︒；当点B 的对应点B '落在AB 边上，如图2，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，2BD CD = ，2DB CD ∴'=，90C ∠=︒ ，30CB D ∴∠'=︒，60CDB ∴∠'=︒，18060120B DB ∴∠'=︒-︒=︒，即120m =︒，综上所述，m 的值为84︒或120︒．故答案为84︒或120︒．例题8．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3CAB ∠=，若将ACB ∆绕点A 顺时针旋转得到Rt △AC B ''，且C '落在CO 的延长线上，连接BB '交CO 的延长线于点F ，则BF =．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于点D ，CA CO = ，AD DO ∴=，在Rt ACB ∆中，16cos 3AC CAB AB AB∠===，318AB AC ∴==，在Rt ADC ∆中：1cos 3AD CAB AC ∠==，123AD AC ∴==，24AO AD ∴==，18414BO AB AO ∴=-=-=，△AC B ''是由ACB ∆旋转得到，AC AC ∴='，AB AB ='，CAC BAB ∠'=∠'，1(180)2ACC CAC ∠'=︒-∠' ，1(180)2ABB BAB ∠'=︒-∠'，ABB ACC ∴∠'=∠'，∴在CAO ∆和BFO ∆中，BFO CAO ∠=∠，CA CO = ，COA CAO ∴∠=∠，又COA BOF ∠=∠ （对顶角相等），BOF BFO ∴∠=∠，14BF BO ∴==．故答案为：14．例题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26(0)y mx mx n m =++>与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线BC 交y 轴于E ，且ABC ∆与AEC ∆这两个三角形的面积之比为2:3．（1）求点A 的坐标；（2）将ACO ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点A 与B 重合，此时点O 的对应点O '恰好也在y 轴上，求抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图1，抛物线26(0)y mx mx n m =++>∴对称轴3x =-，当:2:3ABC AEC S S ∆∆=时，:2:1ABC AEB S S ∆∆∴=，过点C 作CF x ⊥轴于F ，:2:1CF OE ∴=易知，BFC BOE ∆∆∽，::2:1BF OB CF OE ∴==，1OB ∴=，2BF =，5OA ∴=，(5,0)A ∴-，(1,0)B -；（2）(1,0)B - ，06m m n ∴=-+，5n m ∴=，(3,4)C m ∴--，如图2，作CF AB ⊥于F ，CP OD ⊥于P ，则四边形CFOP 是矩形，4OP CF m ∴==，3CP OF ==，OP O P '=，28OO OP m'∴==由旋转知，5OA BO '==，在Rt BOO '∆中，1OB =，根据勾股定理得，2285126m =-=，64m ∴=263656424y x x ∴=++【旋转+“恰好”问题】例题10．如图，在直角坐标系中，直线4y =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，且30B ∠=︒，4AB =，将ABO ∆绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标．【另外再可思考，当“AB 所在直线与MN 垂直时点A 的坐标”】【解答】解：①4AB = ，30ABO ∠=︒，122OA AB ∴==，903060BAO ∠=︒-︒=︒，120OAD ∴∠=︒，直线MN 的解析式为43y x =-+，30NMO ∴∠=︒，//AB MN ，30ADO NMD ∴∠=∠=︒，30AOC ∴∠=︒，112AC OA ∴==，OC ∴==∴点A 的坐标为，1)；② 图②中的点A 与图①中的点A 关于原点对称，∴点A 的坐标为：(，1)-，故答案为：，1)、(1)-．例题11．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点(3,0)A ，(0,4)B ，以点A 为旋转中心，把ABO ∆顺时针旋转，得ACD ∆．记旋转角为α．ABO ∠为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足//BC x 轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足AOD β∠=时，求直线CD 的解析式（直接写出结果即可）．【解答】解：（1） 点(3,0)A ，(0,4)B ，得3OA =，4OB =，∴在Rt AOB ∆中，由勾股定理，得225AB OA OB =+=，根据题意，有3DA OA ==．如图①，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则//MD OB ，ADM ABO ∴∆∆∽．有AD AM DM AB AO BO==，得39355AD AM AO AB ==⨯= ，65OM ∴=，∴125MD =，∴点D 的坐标为6(5，12)5．（2）如图②，由已知，得CAB α∠=，AC AB =，ABC ACB ∴∠=∠，∴在ABC ∆中，1802ABC α∴=︒-∠，//BC x 轴，得90OBC ∠=︒，9090ABC ABO β∴∠=︒-∠=︒-，2αβ∴=；（3）若顺时针旋转，如图，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点C 作CF OA ⊥于F ，AOD ABO β∠=∠= ，3tan 4DE AOD OE ∴∠==，设3DE x =，4OE x =，则43AE x =-，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+，2299(43)x x ∴=+-，2425x ∴=，96(25D ∴，72)25，∴直线AD 的解析式为：247277y x =-， 直线CD 与直线AD 垂直，且过点D ，∴设724y x b =-+，把96(25D ，72)25代入得，72796252425b =-⨯+，解得4b =，互相垂直的两条直线的斜率的积等于1-，∴直线CD 的解析式为7424y x =-+．同理可得直线CD的另一个解析式为7424y x=-．【巩固练习】1．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ．若10BC =，9BD =，则AED ∆的周长是．2.如图一段抛物线：(3)(03)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于点O 和1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，如此进行下去，直至得到10C ，若点(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，则m 的值为.3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，ABC ∆绕点C 顺时针旋转得△11A B C ，当1A 落在AB 边上时，连接1B B ，取1BB 的中点D ，连接1A D ，则1A D 的长度是．4．如图，AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，AOB ∆绕点O 逆时针旋转到△A OB ''处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，求线段B E '的值．5．如图，在直角坐标系中，直线14:83l y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 顺时针旋转45︒得到2l ．求2l 的函数表达式．6．如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，则k 的值为．7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(8,0)-，直线BC 经过点(8,6)B -，(0,6)C ，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转a 度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．在四边形OABC 旋转过程中，若使12BP BQ =？则点P 的坐标为．8．如图，在BDE ∆中，90BDE ∠=︒，BD =，点D 的坐标为(5,0)，15BDO ∠=︒，将BDE∆旋转到ABC ∆的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为．9．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，问CE =时，A 、C 、F 在一条直线上．10．如图，一次函数1(0)2y x m m =-+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，点C 的横坐标为n ，点D 在线段AB 上，且2AD BD =，将ACD ∆绕点D 旋转180︒后得到△11A C D ．（1）若点1C 恰好落在y 轴上，试求n m的值；（2）当4n =时，若△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，求该一次函数的解析式．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，3cos 5ABC ∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C ．（1）如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时．①求证：11//BB CA ；②求△1AB C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差．12．如图（1），在ABC=，动点P在线段AC上以5/cm s的速度从=，3BC cmAB cmC∆中，90∠=︒，5点A运动到点C，过点P作PD AB'，设点P的⊥于点D，将APD∆绕PD的中点旋转180︒得到△A DP 运动时间为()x s．（1）当点A'落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A BC'是以A B'为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5/cm s的速度从点B运动到点C，过点Q 作QE AB⊥于点E，将BQE'，连结A B''，当直线A B''与ABC∆绕QE的中点旋转180︒得到△B EQ∆的一边垂直时，求线段A B''的长．13．如图，(0,2)A ，(1,0)B ，点C 为线段AB 的中点，将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到线段BD ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点D ．（1）若该抛物线经过原点O ，且13a =-，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点(,)P m n 在抛物线上，且POB ∠锐角，满足90POB BCD ∠+∠<︒，求m 的取值范围．14．如图1，抛物线210y ax ax c =-+经过ABC ∆的三个顶点，已知//BC x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上35OA BC =，且AC BC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将AOC ∆沿x 轴对折得到1AOC ∆，再将1AOC ∆绕平面内某点旋转180︒后得△112(A O C A ，O ，1C 分别与点1A ，1O ，2C 对应）使点1A 、2C 在抛物线_P 上，求点1A 、2C 的坐标；15．点P为图①中抛物线22m>上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90︒=-+为常数，0)y x mx m m2(后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）若点Q的坐标为(-，求该抛物线的函数关系式；（2）如图②，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AGQ∆是以AG 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【解答】解：ABC ∆ 是等边三角形，10AC AB BC ∴===，BAE ∆ 由BCD ∆逆时针旋旋转60︒得出，AE CD ∴=，BD BE =，60EBD ∠=︒，10AE AD AD CD AC ∴+=+==，60EBD ∠=︒ ，BE BD =，BDE ∴∆是等边三角形，9DE BD ∴==，AED ∴∆的周长19AE AD DE AC BD =++=+=．故答案为：19．2.【解答】解：令0y =，则(3)0x x --=，解得10x =，23x =，1(3,0)A ∴，由图可知，抛物线10C 在x 轴下方，相当于抛物线1C 向右平移3927⨯=个单位，再沿x 轴翻折得到，∴抛物线10C 的解析式为(27)(273)(27)(30)y x x x x =---=--，(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，(2827)(2830)2m ∴=--=-．3.【解答】解：90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，2AC =，9060A ABC ∴∠=︒-∠=︒，4AB =，BC =，1CA CA = ，1ACA ∴∆是等边三角形，112AA AC BA ===，1160BCB ACA ∴∠=∠=︒，1CB CB = ，1BCB ∴∆是等边三角形，1BB ∴=，12BA =，1190A BB ∠=︒，1BD DB ∴==，1A D ∴==，．4.【解答】解：90AOB ∠=︒ ，3AO =，6BO =，AB ∴==AOB ∆ 绕顶点O 逆时针旋转到△A OB ''处，3AO A O ∴='=，A B AB ''==，点E 为BO 的中点，116322OE BO ∴==⨯=，OE A O ∴='，过点O 作OF A B ⊥''于F ，1362A OB S OF ''=⨯=⨯⨯ ，解得655OF =，在Rt EOF ∆中，5EF ==，OE A O =' ，OF A B ⊥''，22A E EF ∴'==（等腰三角形三线合一），B E A B A E ∴'=''-'=5.【解答】解： 直线483y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，(0,8)A ∴、(6,0)B -，如图2，过点B 做BC AB ⊥交直线2l 于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，在BDC ∆和AOB ∆中，CBD BAO CDB AOB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDC AOB AAS ∴∆≅∆，6CD BO ∴==，8BD AO ==，6814OD OB BD ∴=+=+=，C ∴点坐标为(14,6)-，设2l 的解析式为y kx b =+，将A ，C 点坐标代入，得1468k b b -+=⎧⎨=⎩，解得178k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2l ∴的函数表达式为187y x =+；6.【解答】解：如图所示：过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得：BAO OAF ∠=∠，AO AF =，//AB OC ，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，故60AOF DOM ∠=︒=∠，624OD AD OA AB OA =-=-=-= ，2MO ∴=，MD =，(2,D ∴--，2(k ∴=-⨯-=．故答案为：．7.【解答】解：存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =．理由如下：过点Q 画QH OA ⊥'于H ，连接OQ ，则QH OC OC ='=，12POQ S PQ OC ∆= ，12POQ S OP QH ∆= ，PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =，2BQ x ∴=，如图4，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO ∆中，222(8)6(3)x x ++=，解得13612x =+，23612x =-，（不符实际，舍去）．3692PC BC BP ∴=+=+，1(92P ∴--，6)，如图5，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO ∆中，222(8)6x x -+=，解得254x =，257844PC BC BP ∴=-=-=，27(4P ∴-，6)，综上可知，存在点136(92P --，6)，27(4P -，6)使12BP BQ =．8.【解答】解：如图，AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF x ⊥轴于F ．点C 在BD 上，∴点P 到AB 、BD 的距离相等，都是12BD ，即12⨯=45PDB ∴∠=︒，4PD ==，15BDO ∠=︒ ，451560PDO ∴∠=︒+︒=︒，30DPF ∴∠=︒，114222DF PD ∴==⨯=， 点D 的坐标是(5,0)，523OF OD DF ∴=-=-=，由勾股定理得，PF ===∴旋转中心的坐标为(3，．故答案为：(3，．9.【解答】解：过F 作FN BC ⊥，交BC 延长线于N 点，连接AC ，90DCE ENF ∠=∠=︒ ，90DEC NEF ∠+∠=︒，90NEF EFN ∠+∠=︒，DEC EFN ∴∠=∠，Rt FNE Rt ECD ∴∆∆∽，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，:2:1DE EF ∴=，:::2:1CE FN DE EF DC NE ∴===，2CE NF ∴=，1522NE CD ==．45ACB ∠=︒ ，∴当45NCF ∠=︒时，A 、C 、F 在一条直线上．则CNF ∆是等腰直角三角形，CN NF ∴=，2CE CN ∴=，22553323CE NE ∴==⨯=．53CE ∴=时，A 、C 、F 在一条直线上．故答案为：53．10.【解答】解：（1）由题意，得(0,)B m ，(2,0)A m ，如图，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，交直线11A C 于点F ，易知：23DE m =，2(3D m ，2)3m ，14(3C m n -，4)3m ，∴403m n -=，∴43n m =；（2）由（1）得，当3m >时，点1C 在y 轴右侧；当23m <<时，点1C 在y 轴左侧．①当3m >时，设11A C 与y 轴交于点P ，连接1C B ，由△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，S ∴△1:BA P S △13:1BC P =，11:3A P C P ∴=，∴，185m ∴=，11825y x ∴=-+；②当23m <<时，同理可得：11827y x =-+；综上所述，11827y x =-+或11825y x =-+．11.【解答】解：（1）①证明：AB AC = ，1B C BC =，1AB C B ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，1AB C ACB ∠=∠ （旋转角相等），111B CA AB C ∴∠=∠，11//BB CA ∴；②过A 作AF BC ⊥于F ，过C 作CE AB ⊥于E ，如图①：AB AC = ，AF BC ⊥，BF CF ∴=，3cos 5ABC ∠=，5AB =，3BF ∴=，6BC ∴=，16B C BC ∴==，1318655BE B E ∴==⨯=，1365BB ∴=，424655CE =⨯=，13611555AB ∴=-=，∴△1AB C 的面积为：1112413225525⨯⨯=；（2）如图2，过C 作CF AB ⊥于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ，1EF 有最小值，此时在Rt BFC ∆中，245CF =，1245CF ∴=，1EF ∴的最小值为249355-=；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于1F ，1EF 有最大值；此时11369EF EC CF =+=+=，∴线段1EF 的最大值与最小值的差为936955-=．12.【解答】解：（1）如图1， 在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，当点A '落在边BC 上时，由题意得，四边形APA D '为平行四边形，PD AB ⊥ ，90ADP C ∴∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，5AP x = ，4A P AD x ∴'==，45PC x =-，A PD ADP ∠'=∠ ，//A P AB ∴'，∴△A PC ABC '∆∽，∴PC A P AC AB '=，即45445x x -=，解得：2041x =，∴当点A '落在边BC 上时，2041x =；（2）当A B BC '=时，222(58)(3)3x x -+=，解得：4012373x ±=．45x ，∴4073x -=；当A B A C '='时，58x =．（3）Ⅰ、当A B AB ''⊥时，如图6，DH PA AD '∴==，HE B Q EB ='=，2224235AB AD EB x x =+=⨯+⨯= ，514x ∴=，514A B QE PD x ∴''=-==；Ⅱ、当A B BC ''⊥时，如图7，5B E x ∴'=，57DE x =-，53cos 575x B x ∴==-，1546x ∴=，2523A B B D A D ∴''='-'=；Ⅲ、当A B AC ''⊥时，如图8，由（1）有，2041x =，12sin 41A B PA A ∴''='=；当A B AB ''⊥时，514x =，514A B ''=；当A B BC ''⊥时，1546x =，2546A B ''=；当A B AC ''⊥时，2053x =，2553A B ''=．13.【解答】解：（1）过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ．90ABD ∠=︒ ，90DBF ABO ∴∠+∠=︒．又90OAB ABO ∠+∠=︒ ，DBF OAB ∴∠=∠．由旋转的性质可知AB BD =．在AOB ∆和BFD ∆中DBF OAB AOB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB BFD ∴∆≅∆．1DF OB ∴==，2AO BF ==．(3,1)D ∴．把点D 和点O 的坐标代入213y x bx c =-++得：1300b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：43b =，0c =．∴抛物线的解析式为21433y x x =-+．（2）如图2所示：点(0,2)A ，(1,0)B ，C 为线段AB 的中点，1(2C ∴，1)．C 、D 两点的纵坐标为1，//CD x ∴轴．BCD ABD ∴∠=∠．∴当POB BAO ∠=∠时，恰好90POB BCD ∠+∠=︒．设点P 的坐标为214(,)33m m m -+．当点P 在x 轴上且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -+=，解得：52m =或0m =（舍去）．当点P 位于x 轴的下方，点P '处时，且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -=，解得：112m =或0m =（舍去）．POB ∠ 为锐角，4m ∴≠．由图形可知：当点P 在抛物线上P 与P '之间移动时，90POB BCD ∠+∠<︒．m ∴的取值范围是：51122m <<且4m ≠．14.【解答】解：（1）35OA BC = ，AC BC =∴设3OA k =，5(0)AC BC k k ==>4OC k∴= 当0x =时，210y ax ax c c=-+=(0,)C c ∴，即4OC c k==4c k ∴=3(4c A ∴-，50)(4c B ，)c 抛物线经过点A 、B ∴2233()10()04455(1044c c a a c c c a a c c ⎧---+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得：1128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：2158126y x x =-++（2）如图1，1AOC ∆旋转后得到△112A O C 的位置如图所示116O A OA ∴==，128O C OC ==，11//O A x 轴，12O C x ⊥轴设2C 坐标为215(,8)126t t t -++，则2115(6,)126A t t t +-+221515(6)(6)8126126t t t t ∴-++++=-+解得：10t =1A ∴坐标为(16,0)，2C 坐标为(10,8)．15.【解答】解：（1） 对于222y x mx m =-+，当0y =时，x m =，OG m ∴=，点Q 为点P 绕顶点G 逆时针旋转90︒后的对应点，P m ∴，2)m +，把P m +，2)m +代入222y x mx m =-+中，得222)2)m m m m m +=-+，4m ∴=，∴该抛物线的函数关系式为；2816y x x =-+；（2）存在，点Q 在第一象限内，AQ GQ =，如图2中，由题意可知OA OG =，∴m =，1m ∴=，∴点(0,1)A ，点A 的对应点(2,1)C ，(1,0)G ，∴直线CG 解析式为1y x =-，线段CG 的中垂线MN 解析式为2y x =-+，由2221y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 点P 在第一象限，∴点P坐标1(2+，32-．。

期末复习2（圆与旋转）学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容旋转、中心对称、圆课型一对一教学目标1.掌握旋转的性质2.掌握中心对称图形3.掌握垂径定理、圆周角定理，以及圆的切线等知识重、难点重点：旋转与圆的性质难点：旋转与圆的综合应用知识梳理旋转1、概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角2、旋转的性质：（1）旋转前后的两个图形是全等形；（2）两个对应点到旋转中心的距离相等（3）两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形． 5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．6、坐标系中的中心对称：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（－x，－y）．圆1、垂径定理及论：2、如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个推论．3、圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（6）圆内接四边形，对角互补4、切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.5、有关的计算：导学一：图形的旋转例 1. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝度．我爱展示1. [单选题] 如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′=；⑤S△AOC＋S△AOB＝．其中正确的结论是（）．A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③导学二：旋转的综合应用例 1. 已知边长为1cm的正方形ABCD和正方形AEFG如图1放置，点B，D分别在AE，AG上，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）连接BE，DG，如图2所示，求证：BE＝DG；（2）当0°＜α＜45°时，在图2中，连接AF交BC于点P，CD交AG于Q，连接PQ，求证：旋转过程中△PCQ的周长等于定值2m；（3）如图3，连接CF，取CF的中点O，连接BO，GO，试判断△BOG的形状，并说明理由．【学有所获】(1)遇到线段和差的问题，可以通过截长补短来构造辅助线 (2)当遇到等腰三角形、正方形，或者两条相等线段有公共顶点的时候，可以考虑使用旋转的方法来构造辅助线。

九年级旋转专题讲义一、旋转的概念旋转是数学中一个重要的概念，它可以在平面图形中进行操作，使图形沿着一个中心点旋转一定角度，从而得到一种新的图形。

二、旋转的基本性质1.旋转是一个刚性变换，即旋转前后图形的线段长度和角度都保持不变。

2.旋转可以改变图形的朝向，但不能改变图形的形状。

3.对于任意给定的中心点和角度，只有一个确定的旋转结果。

三、旋转的表示方法在平面直角坐标系中，一个点P(x,y)关于原点O逆时针旋转θ角度后的新坐标可以通过以下公式得到：$$ x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta $$其中，x’和y’分别表示旋转后的新坐标，θ表示旋转的角度。

四、旋转的操作步骤1.确定旋转的中心点：可以是一个已知的点，也可以是图形重心或中点。

2.确定旋转的角度：可以根据题目所给的条件或需要旋转的角度来确定。

3.计算每个顶点旋转后的新坐标：使用旋转公式将原坐标代入计算。

五、旋转的应用举例例1：将点A(2,3)绕原点逆时针旋转60°，求旋转后的新坐标。

解：根据旋转公式：$$ x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta $$代入点A的坐标x=2，y=3，θ=60°，得到旋转后的新坐标：$$ x' = 2\cos60° - 3\sin60° = 1 - \frac{{3\sqrt{3}}}{2} \\ y' = 2\sin60° +3\cos60° = \frac{{3\sqrt{3}}}{2} + \frac{3}{2} $$所以旋转后的新坐标为A’(1 - 3√3/2, 3√3/2 + 3/2)。

例2：图形ABC为正三角形，顶点分别为A(2,3)，B(4,3)，C(3,5)，将该图形绕点A逆时针旋转90°，求旋转后的新坐标。

中考数学旋转知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是几何变换的一种，它将图形绕某一定点进行旋转，使得原图形经过旋转后仍符合原图形的性质。

在平面几何中，这一定点通常被称为旋转中心，而旋转的角度则是旋转的重要参数。

2. 旋转的表示在数学中，旋转可以通过不同的表示方法来描述。

最常见的是使用坐标系中的点和向量表示旋转，也可以使用矩阵来进行描述。

3. 旋转的性质旋转具有许多重要的性质，比如旋转是等距变换，旋转后的图形与原图形的关系等。

这些性质对于理解旋转的本质和应用都具有重要的意义。

二、旋转的基本公式1. 二维平面的旋转公式在平面几何中，二维平面上的点可以通过旋转变换而成。

对于坐标系中的点(x, y)，绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以根据公式进行计算。

2. 三维空间的旋转公式在三维空间中，点的旋转也是常见的几何变换。

旋转的角度可以沿着不同轴进行，因此三维空间中的旋转公式相对复杂一些，但也是可以通过矩阵等方式进行描述的。

三、旋转的应用1. 图形的旋转在几何中，通过旋转可以使得图形的位置和方向发生变化。

通过学习旋转的原理和公式，可以对图形的旋转进行分析和计算，从而更好地理解和掌握图形的性质和特点。

2. 向量的旋转在向量几何中，旋转是常见的几何变换。

向量的旋转不仅可以通过公式进行计算，还可以通过向量的性质和几何特点进行分析，从而更深入地理解向量的旋转。

3. 坐标系的旋转在空间几何和三维几何中，经常需要对坐标系进行旋转变换。

通过学习旋转的原理和方法，可以更清晰地理解坐标系的旋转规律，从而更好地应用于实际问题的解决中。

四、旋转的相关定理1. 旋转对称性质在平面几何中，旋转对称是一种重要的对称方式。

通过学习旋转对称的定理和性质，可以更好地理解和应用旋转对称在几何图形中的作用。

2. 旋转角度的性质旋转角度的性质是旋转的重要定理和性质之一。

通过学习旋转角度的性质，可以更深入地理解和应用旋转的基本特点。

3. 旋转的复合变换旋转可以与其他几何变换进行复合，比如平移、翻转等。

第18讲几何变换之旋转（一）『/ /一、旋转初步：旋转在生活中很常见，在数学中，旋转变换也是几何三大变换中最常考的一种，也是在近几年中考和直升外地生考试中频繁出现的热点考点。

1.旋转的三要素：旋转角度，旋转中心和旋转方向。

2 •旋转的性质：旋转前后对应的图形全等，对应的旋转角度相等。

3.中心对称：特别的，如果旋转角度为180 ,那么旋转前后两个图形成中心对称。

注意：两个图形成中心对称和中心对称图形要区别清楚，两个图形成中心对称指的是两个图形，中心对称图形指的是一个图形，比如说平行四边形是一个中心对称图形。

二、大角夹半角：大角2 a和半角a,比较常见的是90和45 , 120和60，以90和45为例。

模型I:正方形中，EAF 45 , AH EF可得：① BE DF EF :② AH AB .模型II :等腰直角△ ABC中，MAN 45，可得DN 2 BM 2 MN 2.(1)如图1-1，在Rt △ ABC 中，BAC 90，将△ ABC 绕点顺时针旋转 90后得到的△ ABC (点的对应点是点 B ，点的对应点是点 C )，连接CC .若 CC B 32，贝U B 的大小是 ( ).旋转初步A . 32B . 64C . 77D . 87 (2)如图1-2，将矩形绕点旋转至矩形 点.若AB 3，则△ AEC 的面积为( A . 3B . 1.5ABC D 位置，此时的中点恰好与点重合，AB 交于).C . 2 3例2 -------------------------------------- *如图2-1, △ ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连接QB交直线AD于点E.(1)如图2-1,若DAC是锐角，其它条件不变，猜想QEP的度数；(2)如图2-2，若DAC 135 ,ACP 15B图2-1模块二 大角夹半角正方形ABCD 中，点M 、N 分别为BC 、CD 边上的点，且 MAN 45，连接MN ，过A 作AE MN 交MN 于点E ,连接BD ,分别交 AM 、AN 于点F 、G .试证明以下结论：① MN BM DN ; ② C ^ CMN2 AB ； ③ AB AE ;④AM 平分 BAE , AN 平分 DAE ；如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点，连接AE 交对角线BD 于点F ，过点F 作FG AEE⑤BF 2 _ 2 _ 2 GD FG .N1G4ADN例5f/如图，在直角梯形 ABCD 中，AD//BC (BC AD) , B 90 , AB BC 12 , E 是AB 上的 一点，且 DCE45 , BE 4，求DE 的长. 例6 AB , AC 所在直线上分别有两点 120 , BD CD ,探究： MN 之间的数量关系及△ AMN 的周长 6-1，当点M , N 在边AB , AC 上，且 ;此时Q. L 在等边△ ABC 的两边 MDN 60 , BDCBM , CN , (1)如图 关系式(2) 如图6-2，当点，在边，上，且 DM 出你的猜想并加以证明；(3) 如图6-3,当点M , N 分别在边 AB , (用x , L 表示). 图6图①M , N , D 为△ ABC 外一点，且 当点M , N 分别在直线 AB , AC 上移动时, Q 与等边△ ABC 的周长L 的关系. DM DN DN 时，猜想( CA 的延长线上时, 图6-图②时, BM , NC , MN 之间的数量 问的两个结论还成立吗？写 AN x ，贝U QC图6图③例7如图所示，△ ABC是边长为1的正三角形，△ BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求△ AMN的周长.如图，菱形ABCD中，点E、M在AD上，且CD CM，点F为AB上的点，且ECF求证：BF EF EM .竝■演练1(1)如图1-1，边长为6正方形绕点B 按顺时针方向旋转 30后得到正方形 EBGF , EF 交 CD 于点H ，则FH 的长为 __________ (结果保留根号)(2)如图 贝 U BAC 1-2, (在同一平面内, ). △ ABC 绕点旋转40到厶ABC 的位置，使得 CC II AB ,A . 30 C . 70D . 80B . 40G图1-2图1-1模块一旋转初步BAC 45 , △AEF是由△ ABC绕点A 如图，△ ABC 中，AB AC 1 ,按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D .(1)求证：BE CF ；(2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.模块二大角夹半角演练3已知梯形ABCD中，AD //BC, AB BC DC , 点E、F分别在AD、AB上，且FCE = ^2BCD .(1)求证：BF EF ED ；(2)连接AC,若 B 80 , DEC70，求ACF的度数.B C演练4(1)如图上的点，且(2)如图上的点，且(3)如图4-1,在四边形ABCD中，1Z EAF —Z BAD .求证:24-2,在四边形ABCD中，1Z EAF -Z BAD , (1)24-3,在四边形ABCD中，ABEFABAD ,BEAD ,Z B Z DFD.Z B Z D90180,E、,E、中的结论是否仍然成立？不用证明.AB AD, Z B Z D 180 , E、F分别是边F分别是边F分别是边BC、BC、BC、中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不延长线上的点，且Z EAF 1Z BAD2成立，请写出它们之间的数量关系，图4-1并证明.图4-2CDCDCD如图，已知正方形 ABCD 的边长为1 , P 、 PABPCQ QAD的值.演练5.求。

旋转知识点一、旋转的概念旋转的定义：物体围绕一个点或一条轴做圆周运动叫做旋转。

这个点叫做旋转中心，这条轴叫做旋转轴生活中的旋转现象：例1、下列现象属于旋转的是__________________________①汽车在急刹车时向前滑动②幸运大转盘的转动③飞机起飞后冲上云霄④气球升空⑤传送带的运动⑥钟摆的摆动⑦翻折一张纸⑧“幸福”摩天轮的转动例2、平移、翻折、旋转不会改变物体的________、________，但可能会改变物体的________解题技巧：图形的旋转，即把图形的所有点进行旋转，有时我们可以抓住其中一个顶点来分析，从而得出旋转角对应点与旋转中心所连线段的夹角叫做旋转角旋转后的位置由旋转三要素决定：旋转中心、旋转方向、旋转角例3、正方形绕它的中心至少旋转（）才能与原来的图形重合A、45°B、90°C、180°D、270°例4、将正六边形绕其对称中心O旋转一个小于180°的角后与原图形重合，这个旋转的角度是（）A、120°B、90°C、60°D、60°或120°旋转对称图形：把一个图形绕着一点旋转小于360°的角后能与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形例5：中心对称图形：把一个图形绕着一点旋转180°后能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形例6、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）课堂练习1、下图绕直线l旋转一周后得到的是（）2、下图绕虚线旋转得到的几何体是（）3、如图所示的立体图形可以看作直角三角形ABC（）得到的A、绕AC旋转一周B、绕AB旋转一周C、绕BC旋转一周D、绕CD旋转一周4、在俄罗斯方块中，已经拼好的图案如图所示，现又出现了一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（）A、顺时针旋转90°，向右平移B、逆时针旋转90°，向右平移C、顺时针旋转90°，向下平移D、逆时针旋转90°，向下平移5、下列图形中，是旋转对称图形的是（）6、将叶子图案旋转180°后，得到的图形是（）7、我国传统文化中的“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）8、我国主要银行的商标设计基本上融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行商标图案，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A、中国银行B、中国农业银行C、中国建设银行D、中国工商银行9、下列图形中，绕中心旋转40°后，可以和原图形重合的是（）A、正六边形B、正五边形C、正九边形D、正八边形10、在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），若将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA’，则点A’在平面直角坐标系中的位置是在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限11、小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，转过头去。

C DB旋转一、旋转的概念：把一个平面图形绕平面内转动就叫做图形的旋转。

旋转的三要素：旋转；旋转；旋转旋转的大体性质：（1）对应点到的距离相等。

（2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于（3）旋转前后的两个图形是2、旋转作图大体步骤：○1明确旋转三要素：______________、______________、_______________○2找出原图形中的各极点在新图形中的对应点的位置。

○3按原图形中各极点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形。

3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，若是它能够与重合，那么就说关于这个点对称或中心对称。

这个点叫做对称中心。

性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都通过，而且被对称中心。

（2）中心对称的两个图形是图形。

4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转︒180，若是旋转后的图形能够与完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。

区别：中心对称是针对图形而言的，而中心对称图形指是图形。

联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为。

把中心对称图形的两个部份看成“两个图形”，则它们。

5、利用尺规作关于中心对称的图形：○1明确对称中心的位置○2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，别离找出原图形中各个关键点的对应点○3按原图形中各点的顺序，将各对应点连接起来六、点（x，y）关于x轴对称后是（ , ）点（ , ）关于y轴对称后是（-x，y）点（x，y）关于原点对称后是（，）第二部份：例题剖析例题一、如图，按照要求画图．（1）把△ABC向右平移5个方格，画出平移的图形．（2）以点B为旋转中心，把△ABC顺时针方向旋转90度，画出旋转后的图形．例题二、如图，已知P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，以点B为旋转中心，将△ABP沿顺时针方向旋转，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点．（1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP以点B为旋转中心旋转了多少度？（2）求出PG的长度；（3）请你猜想△PGC的形状，并说明理由．第三部份：典型例题例题一、如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC的三个极点均在格点上．（1）填空：△ABC是________三角形，它的面积等于_______平方单位；（2）将△ACB绕点B顺时针方向旋转90°，在方格图顶用直尺画出旋转后对应的△A′C′B，则A′点的坐标是（，），C′点的坐标是（，）．【变式练习】一、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个极点坐标别离为A（-2，-1）、B（-1，1）、C（0，-2）．（1）点B关于坐标原点O对称的点的坐标为_______（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后取得的△A1B1C；（3）求过点B1的反比例函数的解析式．二、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即111A B C △和222A B C △．（1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重合到222A B C △上；（2）在方格纸中将111A B C △通过如何的变换后可以与222A B C △成中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心．例题二、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，与BD 的垂线DE 交于点E ． （1）求证：△ABC ≌△BDE ；（2）△BDE 可由△ABC 旋转取得，利用尺规作出旋转中心O （保留作图痕迹，不写作法）【变式练习】一、如图，已知△ABC 和△A″B″C″及点O ． ⑴画出△ABC 关于点O 对称的△A′B′C ′；⑵若△A″B″C″与△A′B′C′关于点O ′对称，请肯定点O′的位置； ⑶探讨线段OO′与线段CC″之间的关系，并说明理由．例题3、 △ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，△ABD 经旋转后抵达△ACE 的位置． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？（3）若M 是AB 的中点，那么通过上述旋转后，点M 转到了什么位置？1B1A1C2C2B2AC″B″A ″图 10CBA【变式练习】一、如图，四边形ABCD 的∠BAD=∠C=90º,AB=AD,AE ⊥BC 于E,BEA ∆旋转后能与DFA ∆重合。

初三旋转知识点在初三数学的学习中，旋转是一个重要的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，也有助于培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。

接下来，让我们一起深入了解旋转的相关知识。

一、旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

例如，钟表的指针在不停地转动，从数字 12 转到数字 3，就是一个旋转的过程，其中钟表的中心就是旋转中心，指针转动的角度就是旋转角。

二、旋转的性质1、对应点到旋转中心的距离相等。

比如，在一个旋转的三角形中，每个顶点到旋转中心的距离在旋转前后都保持不变。

2、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

假设一个图形绕着点 O 旋转了 30 度，那么任意一对对应点与点 O所连线段的夹角都是 30 度。

3、旋转前、后的图形全等。

也就是说，经过旋转，图形的形状和大小都不会发生改变，只是位置发生了变化。

三、旋转中心和旋转角的确定旋转中心的确定：对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。

旋转角的确定：对应点与旋转中心所连线段的夹角即为旋转角。

四、旋转作图1、确定旋转中心、旋转方向和旋转角。

2、找出原图形的关键点。

3、将关键点与旋转中心连接，并按旋转方向和旋转角将它们旋转。

4、依次连接旋转后的关键点，得到旋转后的图形。

例如，要将一个三角形 ABC 绕点 O 逆时针旋转 60 度。

首先，确定点 O 为旋转中心，逆时针为旋转方向，60 度为旋转角。

然后找出三角形 ABC 的三个顶点 A、B、C 作为关键点。

将点 A、B、C 分别与点 O 连接，按照逆时针方向旋转 60 度得到点 A'、B'、C'。

最后连接 A'B'、B'C'、C'A'，就得到了旋转后的三角形 A'B'C'。