初升高数学衔接知识点
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1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.aaaaaa
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．
1．填空：
（1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.
（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________.
—
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab
（C）若ab，则ab （D）若ab，则ab
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
；
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()ababab；
（2）完全平方公式 222()2abaabb．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()abaabbab；
（2）立方差公式 2233()()abaabbab；
-
（3）两数和立方公式 33223()33abaababb；
（4）两数差立方公式 33223()33abaababb．
练 习
1．填空：
（1）221111()9423abba（ ）；
（2）(4m 22)164(mm )；
(3 ) 2222(2)4(abcabc )．
2．选择题：
]
（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于 （ ）
（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m
（2）不论a，b为何实数，22248abab的值 （ ）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
`
3.分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
【
（1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12；
（3）22()xabxyaby； （4）1xyxy．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）32933xxx； （2）222456xxyyxy．
练 习
1．选择题：
多项式22215xxyy的一个因式为 （ ）
…
（A）25xy （B）3xy （C）3xy （D）5xy
2．分解因式：
（1）x2＋6x＋8； （2）8a3－b3；
（3）x2－2x－1； （4）4(1)(2)xyyyx．
3．分解因式：
（1） 31a； （2）424139xx；
（3）22222bcabacbc； （4）2235294xxyyxy．
4.根的判别式
￥
我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
2224()24bbacxaa． ①
因为a≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x1，2＝242bbaca；
（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x1＝x2＝－2ba；
*
（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝242bbaca；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－2ba；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
"
x1＝x2＝1；
5.根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2142bbacxa，2242bbacxa，
则有
2212442222bbacbbacbbxxaaaa；
！
2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa．
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．
例1 已知方程2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
例2 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．
例3 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
"
（2）求221211xx的值；
（3）x13＋x23．
6.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x＝－2ba；当x＜2ba时，y随着x的增大而减小；当x＞2ba时，y随着x的增大而增大；当x＝2ba时，函数取最小值y＝244acba．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x＝－2ba；当x＜2ba时，y随着x的增大而增大；当x＞2ba时，y随着x的增大而减小；当x＝2ba时，函数取最大值y＝244acba．
%
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）并画出该函数的图象．
