数学---福建省莆田第二十四中学2018届高三上学期第二次月考(12月)试题(理)

1 福建省莆田第二十四中学2018届高三上学期

第二次月考（12月）数学试题（理科）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.满足条件{123}{123456}M，，，，，，，Ü的集合M的个数是（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5

2.若12iz，则4i1zz（ ）

A．1 B．1 C．i D．i

3.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4.已知函数223()log(23)fxxx，规定区间E，对任意1x，2xE，当12xx时，总有12()()fxfx，则下列区间可作为E的是（ ）

A．(31)， B．(10)， C.(12)， D．(36)，

5.设ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosossinbCcBaA，则ABC△的形状为（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C.钝角三角形 D．不确定

6.已知函数()sin()fxx，且π||2，又2π30()d0fxx，则函数()fx的图象的一条对称轴是（ ）

A．5π6x B．7π12x C.π3x D．π6x

7.已知ππ()42，，cos(cos)a，cos(sin)b，sin(cos)c，则（ ）

A．abc B．acb C.bac D．cab

8.已知函数()fx的定义域为R，当0x时，3()1fxx；当11x≤≤时，()()fxfx；当12x时，11()()22fxfx，则(2016)f（ ）

A．2 B．1 C.0 D．2

9.已知函数()lnetfxxxa，若对任意的[01]t，，()fx在(0e)，上总有唯一的零点，则a的取值范围是（ ）

2 A．1[ee)e， B．[1e1)， C.[ee1)， D．1(ee1)e，

10.已知函数()coslnfxxx，实数a，b，c满足()()()0fafbfc（0πabc），若实数0x是()0fx的根，那么不等式中不可能成立的是（ ）

A．0xc B．0xc C.0xb D．0xb

11.已知函数()yfx是(11)，上的偶函数，且在区间(10)，上是单调递增的，A，B，C是锐角三角形ABC△的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A．(sin)(sin)fAfB B．(sin)(cos)fAfB

C.(cos)(sin)fCfB D．(sin)(cos)fCfB

12.已知e为自然对数的底数，若对任意的[01]x，，总存在唯一的[11]y，，使得2e0yxya成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．[1e]， B．1(1e]e， C.(1e]， D．1[1e]e，

二、填空题（每题5分，满分20分）

13.已知函数(2)yfx的定义域为(02)，，则函数()2fxyx的定义域为 ．

14.已知2sincos3aa，则sin2a的值为 ．

15.已知函数2||()24xxmfxxmxmxm，，≤，其中0m，若对任意实数b，使得关于x的方程()fxb至多有两个不同的根，则m的取值范围是 ．

16.已知函数()(2)exfxxaxa，若不等式()0fx恰好存在两个正整数解，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知a，Rb，且0a，2()fxaxbx，(2)0f.

（1）若函数()yfxx有唯一零点，求函数()fx的解析式；

（2）求函数()fx在区间[12]，上的最大值；

3 （3）当2x≥时，不等式()2fxa≥恒成立，求实数a的取值范围.

18. 在梯形ABCD中，ABCD∥，2CD，120ADC，57cos14CAD.

（1）求AC的长；

（2）求梯形ABCD的高.

19. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知3AB米，2AD米.

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？求出最小值.

20. 在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知coscos(3tan1)coscosbAcAaBBC.

4

（1）求角C的大小；

（2）若三角形的周长为20，面积为103，且ab，求三角形三边长.

21. 已知函数2()ln(21)1fxxxaxax，其中0a.

（1）求函数()fx的单调区间；

（2）对任意[)xa，，都有31()8fxaa≥，求实数a的取值范围.

22.设函数()e2xfxax.

（1）求()fx的单调区间；

（2）若1a，k为整数，且当0x时，()()10xkfxx，求k的最大值.

【参考答案】

5 一、选择题

1-5:BCCAB 6-10:ADDCB 11-12：CB

二、填空题

13.(24)， 14.59 15.(03]， 16.3e[0)4，

三、解答题

17.解：（1）1420baa，12a.

（2）22()2(2)fxaxaxaxx，当0a时，max()(1)3fxfa，

当0a时，max()(1)fxfa.

（3）当2x时，不等式()2fxa成立，即： ，在区间[2,+∞)，

设22()(1)gxx，

函数()gx在区间[2,+∞)为减函数，max()(2)2gxg，当且仅当max()agx时，不等式2()2fxa在区间[2,+∞)上恒成立，因此2a.

18.解：（1）在ACD△中，∵57cos14CAD，∴21sin4CAD

由正弦定理得：sinsinACCDADCCAD，即32sin227sin2114CDADCACCAD

（2）在ACD△中，由余弦定理得：2222cos120ACADCDADCD，整理得22240ADAD解得4AD.过点D作DEAB于E，则DE为梯形ABCD的高.

∵ABCD∥，120ADC，∴60BAD.

在直角ADE△中，sin6023DEAD

即梯形ABCD的高为23. 22(1)ax

6 19.解：（1）设DN的长为x（0x）米，则(2)ANx米.

∵DNDCANAM，∴3(2)xAMx，∴23(2)AMPNxSANAMx，

由32AMPNS，得23(2)32xx.

又0x，得2320120xx，解得：203x或6x，

即DN的长的取值范围是2(0)(6)3，，.

（2）矩形花坛AMPN的面积为223(2)31212xxxyoxx

1212312231224xxxx≥，

当且仅当123xx，即2x时，取得最小值24.

故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．

20.解：（1）化简：方案一：tan(3tan1)tantanABBC，

tantantan3tantanABCAB，

tan3C，60C，

方案二：切化弦：sinsincossincossin(31)coscoscosBBACAABBC，

3cossinsinsincossincoscosCABCCCAB，

3cossinsinsin(coscoscos)CABCCAB，

3cossinsinsin(cos()coscos)CABCABAB，

3cossinsinsinsinsin)CABCAB，

60C，

（2）由面积公式1sin1032SabC40ab，由余弦定理可得：22240abcab，

而20abc，可得20cab，代入上式，化简整理可得13ab，

所以a，b是方程213400xx的两根，

所以8a，5b，7c

21.解：（1）函数的定义域为(0)，.

（2）a的取值范围是1(0]2，.

7 22.解：（1）因为1ln2()exxkxfx，由已知得12(1)0ekf，∴12k.

所以1ln1()exxxfx，

设1()ln1kxxx.则211()0kxxx，在(0)，上恒成立，

即()kx在(0)，上是减函数.

由(1)0k知，当01x时，()0kx，从而()0fx，当1x时()0kx，从而()0fx.

综上可知，()fx的单调递增区间是(01)，，单调递减区间是(1)，

（2）因为0x，要证原式成立即证2()1ee1xgxx成立

现证明：对任意0x，2()1egx恒成立.

当1x≥时，由（1）知2()01egx≤成立；

当01x时，e1x，且由（1）知()0gx，∴1ln()1lnexxxxgxxxx.

设()1lnFxxxx，(01)x，，则()(ln2)Fxx

当2(0e)x，时，()0Fx，当2(e1)x，时，()0Fx，

所以当2ex时，()Fx取得最大值22(e)1eF，

所以2()()1egxFx≤，即01x时，2()1egx.

综上所述，对任意0x，2()1gxe.①

令（0x()e1xGxx），则()e10xGx恒成立，所以()Gx在(0)，上递增.

()(0)0GxG恒成立，即e10xx.即110e1xx.②

当1x≥时，有2()1e0e1xgxx≤；当01x时，由①②式，2()1ee1xgxx，

综上所述，0x时，2()1ee1xgxx成立，故原不等式成立.