高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 理

(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！

③函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);
④函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
【解析】选C.根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇 函数,所以①正确;又其图象关于直线x=1对称,所以②正确.
5.(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,
f(1)=1,f(2)=2,则f(8)-f(14)=
.
【解析】f(8)=f(5+3)=f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2,
f(14)=f(15-1)=f(-1)=-f(1)=-1,
所以f(8)-f(14)=-2-(-1)=-1.
答案:-1
考点1 确定函数的奇偶性
【典例1】(1)(2013·广东高考)定义域为R的四个函数
【规范解答】(1)选C.y=x3,y=2sinx是奇函数,y=x2+1是偶函
数,y=2x是非奇非偶函数. (2)①要使f(x)有意义,则 1 ≥ 0x ,
1 x
解得-1<x≤1,显然f(x)的定义域不关于原点对称,
所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
②因为
4
x
2
0,
x 3 3 ,
所以-2≤x≤2且x≠0.
函数f(x)为奇函数 关于_原__点__对称
函数f(x)为偶函数 关于_y_轴__对称
2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②_f_(_x_+_T_)_=_f_(_x_)_对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 _最__小__的__正__数__,那么这个_最__小__的__正__数__就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则 nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).

即 f(-x)-b=-(f(x)-b),
即 f(-x)+f(x)=2b 是偶数.
∵f lg
1

=f(-lg a),
∴f(lg a)+f lg
1

是偶数,排除 A,B,故 C,D 可能满足条件.故选 CD.
-18-
考点1
考点2
考点3
考点4
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数
解析:(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B
中的函数为偶函数,故选B.
(2)因为函数 y=f(x+1)-2 为奇函数,所以函数 f(x)的图象关于点(1,2)
2-1
解:由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
B
(2)(2019 福建漳州质检二,16)已知函数 y=f(x+1)-2 是奇函
2-1
数,g(x)= -1 ,且 f(x)与 g(x)的图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.
4- 2 ≥ 0,
(3)∵
| + 3| ≠ 3,
∴-2≤x≤2,且 x≠0.
∴函数的定义域关于原点对称.

•由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝ －f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． •∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶