最新-高中数学一轮复习 第3讲 函数的奇偶性及周期性 精品
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第3讲 函数的奇偶性及周期性1.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足-则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2【答案】 B【解析】 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(6)=f(4+2)=--又f(x)为R 上的奇函数,∴f(0)=0.∴f(6)=0. 2.函数3()f x x =+sin 1(x x +∈R ),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )A.3B.0C.-1D.-2【答案】 B【解析】 设3()g x x =+sinx,很明显g(x)是一个奇函数.∴f(x)=g(x)+1.∵f(a)=g(a)+1=2,∴g(a)=1.∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,并满足1()f x -,当12x ≤≤时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于…… ( )A.4.5B.-4.5C.0.5D.-0.5 【答案】 D【解析】 由f(x 12)()f x +=-,得f(x 14)()(2)f x f x +=-=,+那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5),而12x ≤≤时,f(x)=x-2,所以f(1.5)=-0.5.综上,知f(6.5)=-0.5.4.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时-2x -,则不等式1()2f x <-的解集是( )A.(1)-∞,-B.(1]-∞,-C.(1),+∞D.[1),+∞ 【答案】 A【解析】 当x>0时12()1210x x f x -,=-=->,故此时12-的解集为当x<0时,-x>0,∴f()12x x -=-.又∵f(x)为R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴()12x f x -=-.∴()21x f x =-. ∴1()212x f x =-<-,即122x <. ∴x<-1. ∴不等式1()2f x <-的解集是(1)-∞,-. 5.设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为.【答案】 [-2,7]1.对于定义在R 上的任一奇函数f(x),均有( )A.f(x )()0f x -≤B.()()0f x f x --≤C.f(x)f(-x)>0D.f(x)-f(-x)>0【答案】 A【解析】 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)f(2)()0x f x -=-≤.2.(2018山东济南月考)已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④【答案】 D【解析】 由奇函数的定义验证可知②④正确.3.在R 上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数【答案】 B【解析】 由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数的简图如下.4.f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( )A.2B.3C.4D.7【答案】 D【解析】 ∵f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数,∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,则-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0.又f(0)=0,∴f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5).∴f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6)上解的个数的最小值为7.5.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【答案】 D【解析】 ∵f(x-4)=-f(x),∴T=8.又f(x)是奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)>0,∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0.又[24]x ∈,时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)<0.如图.∵f(-25)=f(-∴f(-25)<f(80)<f(11).6.设函数f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1),+∞上为增函数,则f(-1)与f(2)的大小关系是( )A.f(-1)>f(2)B.f(-1)<f(2)C.f(-1)=f(2)D.无法确定【答案】 A【解析】 由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(-1)=f(3). 又f(x)在[1),+∞上为单调增函数,∴f(3)>f(2),即f(-1)>f(2).7.已知函数2()(2)f x x m x =+++3是偶函数,则m= .【答案】 -2【解析】 本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则-2.8.函数f(x)在R 上为奇函数,且x>0时()1f x x ,=,则当x<0时,f(x)= . 【答案】 1x --【解析】 ∵f(x)为奇函数,x>0时()1f x x ,=, ∴当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x )(1)x =--,即x<0时()(1)1f x x x ,=--=--.9.若函数f(x)=log 22(2)a x x a ++是奇函数,则a= . 【答案】2 【解析】 ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即log (2a 2且01a a >,≠,因此2a =. 10.已知f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数,若且F(-2)=5,则F(2)= .【答案】 -1【解析】 ∵f(x)与g(x)都是定义在R 上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x).∴F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(---af(2)-(2)+2=4.又F(-2)=5,∴F(2)=4-F(-2)=4-5=-1.11.已知函数f(x)= 2220000x x x x x mx x ⎧-+,>,⎪,=,⎨⎪+,<⎩是奇函数. (1)求实数m 的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a 的取值范围.【解】 (1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=22()2()2x x x x --+-=--.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).于是x<0时22()2f x x x x mx ,=+=+,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知 2121a a ->-,⎧⎨-≤,⎩所以13a <≤,故实数a 的取值范围是(1,3]. 12.已知函数2()(0)a f x x x x=+≠. (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2),+∞上的单调性.【解】 (1)当a=0时2()()(f x x f x f ,=,-=x),函数f(x)是偶函数.当0a ≠时2()(0a f x x x x,=+≠,常数a ∈R ), 取1x =±,得f(-1)(1)20f +=≠;f(-1)-f (1)20a =-≠,∴(1)(1)(1)(1)f f f f -≠-,-≠.∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时21()f x x x=+. 任取12[2)x x ,∈,+∞,且12x x <.则12()()f x f x -221211()()12x x x x =+-+ 121221()()12x x x x x x -=+-+ 12121()()12x x x x x x =-+-. 由于1222x x ≥,≥,且12x x <, ∴12121012x x x x x x -<,+>. ∴12()()f x f x <.故f(x)在[2),+∞上是单调递增函数.13.函数()21ax b f x x +=+是定义在(-1,1)上的奇函数,且1()2f =25. (1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.【解】 (1)依题意得 (0)012()25f f =,⎧⎪⎨=,⎪⎩ 即 021022151b a b ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩ ⇒ 10a b =,⎧⎨=.⎩ ∴()21x f x x =+.(2)证明:任取1211x x -<<<,1212()()221112x x f x f x x x -=-++()(1)121222(1)(1)12x x x x x x --=++. ∵1211x x -<<<,∴22121201010x x x x -<,+>,+>.又1211x x -<<,∴1210x x ->.∴12()()0f x f x -<.∴f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)f(t-1)<-f(t)=f(-t).∵f(x)在(-1,1)上是增函数,∴-1<t-1<-t<1,解得102t <<.14.若定义在R 上的函数f(x)对任意的12x x ,∈R ,都有1(f x +212)()()1x f x f x =+-成立,且当x>0时(1)求证:g(x)=f(x)-1为奇函数;(2)求证:f(x)是R 上的增函数;(3)若f(4)=5,解不等式2(32)3f m m --<. 【解】 (1)证明:定义在R 上的函数f(x)对任意的12x x ,∈R ,都有1212()()()1f x x f x f x +=+-成立, 令120x x ==,则f(0+0)=f(0)(0)1f +-⇒令12x x x x =,=-,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.∴g(x)=f(x)-1为奇函数.(2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数,∴f(-x)-1=-[f(x)-1].任取12x x ,∈R ,且12x x <,则210x x ->, ∵1212()()()1f x x f x f x +=+-, ∴21212()()()1()f x x f x f x f x -=+--=-1[()1]f x -=21()()1f x f x -+. ∵当x>0时,f(x)>1,∴2121()()()11f x x f x f x -=-+>. ∴12()()f x f x <.∴f(x)是R 上的增函数.(3)∵1212()()()1f x x f x f x +=+-,且f(4)=5, ∴f(4)=f(2)(2)1(2)3f f +-⇒=. 由不等式2(32)3f m m --<,得2(32)f m m --<由(2)知,f(x)是R 上的增函数,∴2322m m --<.∴2340m m --<. ∴41m -<<.∴不等式2(32)3f m m --<的解集为4(1)3-,.。
