山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（二）数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，},log |{2R x x y x B ∈==，则B A 等于（ ） A ．∅ B ．),1[+∞ C ．]2,0( D ．]1,0( 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足i i z -=+1)1(，则=z （ ） A ．i B ．i - C ．i +1 D ．i -13．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若27,597==S a ，则=20a （ ） A ．17 B ．18 C ．19 D ．204．已知双曲线)0(1222>=-a y ax 两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x y 33±= B ．x y 3±= C ．x y 332±= D ．x y 23±= 5．设⎩⎨⎧>≤=-0,log 0,2)(2x x x x f x ，则下图所示的程序框图的运行结果为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．216．已知偶函数)(x f 在),0[+∞单调递增，且1)1(-=f ，1)3(=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ） A. ]5,3[B. ]1,1[-C. ]3,1[D. ]5,3[]1,1[ -7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．316 B ．320 C ．916D ．920 8．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-0203y x y x ay x ，若目标函数y x z +=的最大值为2，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2- 9．将函数)0(sin )(>=ωωx x f 的图象向右平移12π个单位长度得到函数)(x g y =的图象，若3π为)(x g 的一个极值点，则实数ω的最小值为（ ）A ．47 B ．23 C ．2 D ．45 10．在三棱锥BCD A -中，BCD ∆是等边三角形，平面⊥ABC 平面BCD ，若该三棱锥外接球的表面积为π60，且球心到平面BCD 的距离为3，则三棱锥BCD A -的体积的最大值为（ ） A ．33 B ．39 C ．27 D ．8111．已知函数)1()(,ln 2)(2ex e x a x g x x f -≤≤--==，其中e 为自然对数的底数.若总可以在)(x f 图象上找到一点P ，在)(x g 图象上找到一点Q ，使得Q P ,关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]21,1[2+e B ．]2,1[2-e C ．]2,21[22-+e eD ．),2[2+∞-e 12．对于任意实数x ，符号][x 表示不超过x 的最大整数，例如1]2.1[,2]2.1[,3]3[=-=-=.已知数列}{n a 满足][log 2n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018>n S 的最小整数，则0n 的值为（ ）A ．305B ．306C ．315D ．316二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知1||=，2||=，21|2|=-，则向量,的夹角为（用弧度表示） .14．已知⎰=πsin dx a ，则6)(xax -的二项展开式的常数项为 .15．如图，在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，以BC 为斜边构造等腰直角三角形BCD ∆，则得到的平面四边形ABCD 面积的最大值为 .16．已知点1F 是抛物线1C ：241x y =与椭圆2C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的公共焦点，2F 是椭圆2C 的另一焦点，P 是抛物线1C 上的动点，当||||21PF PF 取得最小值时，点P 恰好在椭圆2C 上，则椭圆2C 的离心率为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B a A b c sin cos +=. （1）求B 的值；（2）若D 为BC 上的一点，1=BD ，53cos =∠CDA ，求ABD ∆的面积.18．如图，在三棱锥ABC P -中，D 为AC 中点，P 在平面ABC 内的射影O 在AC 上，AP AB BC 2==，BC AB ⊥，045=∠PAC .（1）求证：⊥AP 平面PBD ；（2）求二面角B PC A --的余弦值.19．某房产中介公司2017年9月1日正式开业，现对其每个月的二手房成交量进行统计，y 表示开业第x 个月的二手房成交量，得到统计表格如下：（1）统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为，对于变量y x ,，如果]1,75.0[||∈r ，那么相关性很强；如果]75.0,3.0[||∈r ，那么相关性一般；如果25.0||≤r ，那么相关性较弱.通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.计算)8,,2,1)(,( =i y x i i 的相关系数r ，并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系（计算结果精确到0.01）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程a x b yˆˆˆ+=（计算结果精确到0.01），并预测该房产中介公司2018年6月份的二手房成交量（计算结果四舍五入取整数）.（3）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获6千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为61，获得“二等奖”的概率为31，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望.参考数据：∑==81850i i iy x，∑==812204i i x ，∑==8123776i i y ，58.421≈，57.531≈.参考公式：∑∑∑∑∑=====--⋅⋅-=-=⋅-⋅⋅-=ni i ni i ni ii ni ini ii yn y xn x yx n yx r x b y axn xy x n yx b12212211221(,ˆˆ,ˆ20．已知圆16)1(:22=++y x C ，点)0,1(F ，P 是圆上一动点，点E 在线段FP 上，点Q 在半径CP 上，且满足0,2=⋅=FP EQ EP FP .（1）当P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设过点)0,2(A 的直线l 与轨迹Γ交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线交l 于点M ，与y 轴交于点H ，若0=⋅，求点M 横坐标的取值范围.21．已知函数)(ln )(2R a x ax ax x f ∈--=. （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）记ax x a x f x g ++--=2)12()(2)(，)('x g 是)(x g 的导函数，如果21,x x 是函数)(x g 的两个零点，且满足1214x x x <<，证明：0)32('21>+x x g . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程2)4sin(=-πθρ，曲线2C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=.（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的参数方程；（2）设N M ,分别是曲线21,C C 上的两个动点，求||MN 的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1|||)(R m x m x x f ∈++-=d 的最小值为4. （1）求m 的值；（2）若),0(,,+∞∈c b a ，且m c b a =++32，求证：331211≥++cb a .数学（理科）参考答案一、选择题D A B A C D B A C C B D二、填空题13.23π14. 60 15. 1+1-三、解答题17. 解：（1）因为cos sin c b A a B =+，由正弦定理得：sin sin cos sin sin C B A A B =+， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B B A A B +=+ 化简得 tan 1B = ，又0,4B B ππ<<∴=.（2）3cos cos()cos 5BDA CDA CDA π∠=-∠=-∠=-，4sin 5BDA ∠==.sin sin()cos )4BAD BDA BDA BDA π∴∠=+∠=∠+∠=. 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 5sin BD BAD BAD==∠.所以114sin 152225ABD S BD AD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. 18.解：（1）因为P 在平面ABC 内的射影O 在AC 上，所以PO ⊥平面ABC . 因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC . 又平面PAC平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，BD AC ⊥，所以BD ⊥平面PAC .因为AP ⊂平面PAC ，所以BD AP ⊥.由已知易得 AD AB =,又2AB AP =，所以AD =, 在三角形APD ∆中，由余弦定理得，22222cos 4PD AD AP AD AP AP π=+-⋅⋅=所以PD AP =，于是222AD PD AP =+，且AP PD ⊥· 又PDBD D =，BD ⊂平面PBD ，DP 平面PBD ，所以AP ⊥平面PBD .（2）在平面PAC 内过D 作//DE OP ，则DE ⊥平面ABC .以D 为原点，向量,,DA DB DE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -为计算简便，不妨设2DA =， 则()0,0,0D ，()0,2,0B ，(2,0,0)C -，(1,0,1)P · 所以()1,2,1BP =-，(2,2,0)BC =--. 显然()0,2,0DB =是平面PAC 的一个法向量. 设(),,x y z =n 是平面PBC 的法向量，则00BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20,0,x y z x y -+=⎧⎨--=⎩·令1x=，得(1,1,3)=--n .设二面角A l B --的大小为θ（θ为锐角）.所以cos cos ,DB θ=<>==n . 所以二面角A PC B --19.解：（1）依题意： 4.5x =，21y =，r ==940.924 4.58 5.57==≈⨯⨯.因为0.92[0.75,1]∈，所以变量,x y 线性相关性很强.（2） 812282188508 4.5212.242048 4.58i ii ii x y x yb xx==--⨯⨯===-⨯-∑∑， 21 2.24 4.510.92a y bx =-=-⨯=，则y 关于x 的线性回归方程为 2.2410.92y x =+. 当10x =， 2.241010.9233.32y =⨯+=所以预计2018年6月份的二手房成交量为33.（3）二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0、3、6、9、12千元. ()1110224P X ==⨯=，()11132233P X ==⨯⨯=，()1111562336218P X ==⨯+⨯⨯=，()11192369P X ==⨯⨯=，()111126636P X ==⨯=. 所以，奖金总额X 的分布列如下表：1103691244318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元.20.解：（1）由题意知，直线EQ 为线段FP 的垂直平分线，所以42CP QC QP QC QF CF =+=+=>=所以点Q 的轨迹是以点,C F 为焦点，焦距为4，长轴为4的椭圆，2a =，1c =，b =，故点Q 的轨迹Γ的方程为 22143x y +=. （2）由题意直线l 的斜率存在设为k ,于是直线l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，设11(,)B x y ，联立()222143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616120k x k x k +-+-=．因为11(,)A x y ，由根与系数的关系得2121612234k x k-=+， ∴2128634k x k-=+，121234k y k -=+， 设M 的横坐标为0x ，则00(,(2))M x k x -，MH 所在直线方程为001(2)()y k x x x k--=--，令0x =，得01()2H y k x k k=+-，于是11(1,)(1,)0H BF HF x y y =---=，即2110228612111[()2]03434H k k x y y k x k k k k--+=--+-=++，整理得20229202011=12(1)1212(1)k x k k +=-++， 20k ≠，21(0,1)1k ∴∈+∴03543x <<．21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2121()20ax ax f x a ax x x x-+-'=--=>.设2()21h x ax ax =-+-，()h x 为二次函数，对称轴14x =，且恒过点(0,1)-， （i ）当0a =时,()10h x =-<，所以()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； （ii ）当0a ≠时，令()0h x =，可得1x =，2x =① 若0a <时， 120x x <<. 当20x x <<时，()0h x <，()0f x '<；2x x >时，()0h x >，()0f x '>.所以()f x 在()20,x 上单调递减；在()2,x +∞上单调递增. 当08a <≤时，280a a ∆=-≤, 对任意(0,)x ∈+∞，()0h x ≤，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递减；当8a >时，280a a ∆=->，210x x <<. 当210x x x x <<>或时，()0h x <，()0f x '<；21x x x <<时，()0h x >，()0f x '>.所以()f x 在()()220,,,x x +∞上单调递减，在()21,x x 上单调递增.综上，当0a <时，()f x在上单调递减；在)+∞上单调递增. 当08a ≤≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减.当8a >时，()f x在)+∞上单调递减；在上单调递增.（2）2()2ln g x x x ax ==--，2()2g x x a x'=--. 将2211112222()2ln 0,()2ln 0g x x x ax g x x x ax =--==--= 两式相减，整理得212122112ln()()()x x x x x a x x x +-+=-， 即2121212ln()x x a x x x x =-+-， 所以121212262()(2)323x x g x x a x x +'=-+-+22112221113321[ln ]()32x x x x x x x x x x -=-----+ 令21(1,4)x t x =∈，33()ln 2t t t t ϕ-=-+， 则2(1)(4)()0(2)t t t t t ϕ--'=<+， 所以()t ϕ在(1,4)上单调递减，故()(1)0t ϕϕ<= 又1221210,()03x x x x -<-->-，所以122()03x x g +'>. 22.解：（1）依题意，sin()sin cos 4πρθρθρθ-=-=所以曲线1C 的普通方程为20x y -+=.因为曲线2C的极坐标方程为：22cos()cos sin 4πρρθθθ=-=+， 所以02222=--+y x y x，即22((1x y -+=， 所以曲线2C的参数方程为cos sin x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ是参数）. （2）由（1）知，圆2C的圆心 圆心到直线20x y -+=的距离d又半径1r =，所以min 1MN d r =-=.23.解：（1）()1()(1)1f x x m x x m x m =-++≥--+=+, 所以14m +=，解得5m =-或3m =.（2）由题意，233a b c ++=. 于是1111111(23)()23323a b c a b c a b c++=++++ 12332(3)32323b a c a c b a b a c b c=++++++1(333≥+=， 当且仅当23a b c ==时等号成立，即1a =，12b =，13c =时等号成立.理科数学参考答案一、选择题D A B A C D B A C C B D二、填空题13. 23π 14. 60 15. 1+1- 三、解答题17. 解：（1）因为cos sin c b A a B =+，由正弦定理得：sin sin cos sin sin C B A A B =+，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin sin cos sin sin A B A B B A A B +=+化简得 tan 1B = ，又0,4B B ππ<<∴=.（2）3cos cos()cos 5BDA CDA CDA π∠=-∠=-∠=-，4sin 5BDA ∠==.sin sin()cos )4BAD BDA BDA BDA π∴∠=+∠=∠+∠=. 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 5sin BD B AD BAD ==∠. 所以114sin 152225ABD S BD AD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. 18.解：（1）因为P 在平面ABC 内的射影O 在AC 上，所以PO ⊥平面ABC .因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .又平面PAC 平面ABC AC =，BD ⊂平面ABC ，BD AC ⊥，所以BD ⊥平面PAC .因为AP ⊂平面PAC ，所以BD AP ⊥.由已知易得 AD AB =,又2AB AP =，所以AD =, 在三角形APD ∆中，由余弦定理得，22222cos 4PD AD AP AD AP AP π=+-⋅⋅=所以PD AP =，于是222AD PD AP =+，且AP PD ⊥·又PD BD D =，BD ⊂平面PBD ，DP 平面PBD ，所以AP ⊥平面PBD .（2）在平面PAC 内过D 作//DE OP ，则DE ⊥平面ABC .以D 为原点，向量,,DA DB DE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -为计算简便，不妨设2DA =，则()0,0,0D ，()0,2,0B ，(2,0,0)C -，(1,0,1)P ·所以()1,2,1BP =-，(2,2,0)BC =--.显然()0,2,0DB =是平面PAC 的一个法向量.设(),,x y z =n 是平面PBC 的法向量，则00BP BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即20,0,x y z x y -+=⎧⎨--=⎩· 令1x =，得(1,1,3)=--n .设二面角A l B --的大小为θ（θ为锐角）.所以cos cos ,DB θ=<>==n . 所以二面角A PC B --19.解：（1）依题意： 4.5x =，21y =，r ==940.924 4.58 5.57==≈⨯⨯.因为0.92[0.75,1]∈，所以变量,x y线性相关性很强.（2）812282188508 4.5212.242048 4.58i iiiix y x ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，21 2.24 4.510.92a y bx=-=-⨯=，则y关于x的线性回归方程为 2.2410.92y x=+.当10x=， 2.241010.9233.32y=⨯+=所以预计2018年6月份的二手房成交量为33.（3）二人所获奖金总额X的所有可能取值有0、3、6、9、12千元. ()111224P X==⨯=，()11132233P X==⨯⨯=，()1111562336218P X==⨯+⨯⨯=，()11192369P X==⨯⨯=，()111126636P X==⨯=.所以，奖金总额X的分布列如下表：113691244318936EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元.20.解：（1）由题意知，直线EQ为线段FP的垂直平分线，所以42CP QC QP QC QF CF=+=+=>=所以点Q的轨迹是以点,C F为焦点，焦距为4，长轴为4的椭圆，2a=，1c=，b=，故点Q的轨迹Γ的方程为22143x y+=.（2）由题意直线l的斜率存在设为k,于是直线l的方程为(2)(0)y k x k=-≠，设11(,)B x y ，联立()222143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)1616120k x k x k +-+-=． 因为11(,)A x y ，由根与系数的关系得2121612234k x k-=+， ∴2128634k x k-=+，121234k y k -=+， 设M 的横坐标为0x ，则00(,(2))M x k x -，MH 所在直线方程为001(2)()y k x x x k--=--， 令0x =，得01()2H y k x k k=+-，· 于是11(1,)(1,)0H BF HF x y y =---=， 即2110228612111[()2]03434H k k x y y k x k k k k--+=--+-=++， 整理得20229202011=12(1)1212(1)k x k k +=-++， 20k ≠，21(0,1)1k ∴∈+∴03543x <<． 21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2121()20ax ax f x a ax x x x-+-'=--=>. 设2()21h x ax ax =-+-，()h x 为二次函数，对称轴14x =，且恒过点(0,1)-， （i ）当0a =时,()10h x =-<，所以()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； （ii ）当0a ≠时，令()0h x =，可得1x =，2x =② 若0a <时， 120x x <<.当20x x <<时，()0h x <，()0f x '<；2x x >时，()0h x >，()0f x '>.所以()f x 在()20,x 上单调递减；在()2,x +∞上单调递增.当08a <≤时，280a a ∆=-≤,.对任意(0,)x ∈+∞，()0h x ≤，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递减； 当8a >时，280a a ∆=->，210x x <<.当210x x x x <<>或时，()0h x <，()0f x '<；21x x x <<时，()0h x >，()0f x '>. 所以()f x 在()()220,,,x x +∞上单调递减，在()21,x x 上单调递增.综上，当0a <时，()f x在上单调递减；在)+∞上单调递增.当08a ≤≤时， ()f x 在(0,)+∞上单调递减.当8a >时，()f x在)+∞上单调递减；在上单调递增.（2）2()2ln g x x x ax ==--，2()2g x x a x '=--.将2211112222()2ln 0,()2ln 0g x x x ax g x x x ax =--==--= 两式相减，整理得212122112ln ()()()x x x x x a x x x +-+=-， 即2121212ln ()x x a x x x x =-+-，所以121212262()(2)323x x g x x a x x +'=-+-+22112221113321[ln ]()32x x x x x x x x x x -=-----+ 令21(1,4)x t x =∈，33()ln 2t t t t ϕ-=-+， 则2(1)(4)()0(2)t t t t t ϕ--'=<+， 所以()t ϕ在(1,4)上单调递减，故()(1)0t ϕϕ<= 又1221210,()03x x x x -<-->-，所以122()03x x g +'>. 22.解：（1）依题意，sin()sin cos 4πρθρθρθ-=-=所以曲线1C 的普通方程为20x y -+=.因为曲线2C的极坐标方程为：22cos()cos sin 4πρρθθθ=-=+， 所以02222=--+y x y x，即22((1x y +-=， 所以曲线2C的参数方程为cos sin x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ是参数）. （2）由（1）知，圆2C的圆心 圆心到直线20x y -+=的距离d又半径1r =，所以min 1MN d r =-=.23.解：（1）()1()(1)1f x x m x x m x m =-++≥--+=+, 所以14m +=，解得5m =-或3m =.（2）由题意，233a b c ++=. 于是1111111(23)()23323a b c a b c a b c++=++++ 12332(3)32323b a c a c b a b a c b c=++++++1(333≥+=， 当且仅当23a b c ==时等号成立，即1a =，12b =，13c =时等号成立.。
