专题06 一次方程(组)一、一元一次方程1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。
二、二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
【例1】（2019•嘉定区二模）如果关于x 的方程20(x m m -+=为常数）的解是1x =-，那么m 的值是( )A ．3m =B ．3m =-C ．1m =D ．1m =-【分析】理解一元一次的解和解一元一次方程的概念是解此题的关键．【解答】解：把1x =-，代入方程关于x 的方程20(x m m -+=为常数）得：120m --+=，解得：1m =，故选：C ．【例2】（2019•上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 斛米．（注:斛是古代一种容量单位）【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．【解答】解：设1个大桶可以盛米x 斛，1个小桶可以盛米y 斛，则5352x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故555x x y y +++=， 则56x y +=． 答：1大桶加1小桶共盛56斛米． 故答案为：56． 【例3】（2019春•浦东新区期末）解方程组：251x y x y -=⎧⎨+=⎩①② 【分析】根据两个方程中未知数y 的系数互为相反数，运用加减消元法解答即可．【解答】解：①+②得：36x =，解得2x =，把2x =代入②得：1y =-，∴原方程组的解为：21x y =⎧⎨=-⎩．1．（2019春•杨浦区期中）下列各式中，是一元一次方程的是( )A ．0x =B ．21x x +=C ．2(3)13y x -+=D ．11x x+= 【分析】只含有一个未知数（元)，并且未知数的指数是1（次)的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是0(ax b a +=，b 是常数且0)a ≠．【解答】解：A 、该方程符合一元一次方程的形式，故本选项正确；B 、该方程中未知数的最高次幂为2，不是一元一次方程，故本选项错误；C 、该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项错误；D 、该方程是分式方程，故本选项错误；故选：A ．2．（2019春•嘉定区期末）如果关于x 的方程(3)2019a x -=有解那么实数a 的取值范围是( )A ．3a <B ．3a =C ．3a >D ．3a ≠【分析】根据方程有解确定出a 的范围即可．【解答】解：Q 关于x 的方程(3)2019a x -=有解，30a ∴-≠，即3a ≠，故选：D ．3．（2019春•浦东新区期中）下列方程中，一元一次方程共有( ) ①14x =；②352x+=-；③223x -=-；④0x =．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据一元一次方程的定义，依次分析①②③④，即可得到答案．【解答】解：①属于分式方程，不符合一元一次方程的定义，不是一元一次方程，②符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，③符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，一元一次方程有②③④，共3个，故选：C ．4．（2019春•浦东新区期末）下列各组数中，是二元一次方程54x y -=的一个解的是() A ．31x y =⎧⎨=⎩ B ．11x y =⎧⎨=⎩ C ．04x y =⎧⎨=⎩ D ．13x y =⎧⎨=⎩【分析】把x 与y 的值代入方程检验即可．【解答】解：A 、把31x y =⎧⎨=⎩代入得：左边15114=-=，右边4=，Q 左边≠右边，∴31x y=⎧⎨=⎩不是方程的解； B 、把11x y =⎧⎨=⎩代入得：左边514=-=，右边4=，Q左边=右边，∴11xy=⎧⎨=⎩是方程的解；C、把4xy=⎧⎨=⎩代入得：左边044=-=-，右边4=，Q左边≠右边，∴4xy=⎧⎨=⎩不是方程的解；D、把13xy=⎧⎨=⎩代入得：左边532=-=，右边4=，Q左边≠右边，∴13xy=⎧⎨=⎩不是方程的解，故选：B．5．（2018•青浦区二模）关于x的方程2(1)ax x a=+≠的解是．【分析】根据一元一次方程的步骤依次移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：2ax x-=，合并同类项，得：(1)2a x-=，1a≠Q，10a∴-≠，则21xa=-，故答案为：21a-．6．（2018•静安区二模）方程组326x yy x+=⎧⎨-=⎩的解是．【分析】根据加减消元法，可得答案．【解答】解：326x yx y+=⎧⎨-+=⎩①②，①-②，得33x=-，解这个方程，得1x=-，把1x =-代入①，得13y -+=，解得4x =，这个方程组的解为14x y =-⎧⎨=⎩， 故答案为：14x y =-⎧⎨=⎩． 7．（2019春•杨浦区期中）如果关于x 的方程521mx x -=-的解是2x =，那么关于y 的方程22y m -=的解是 ．【分析】根据方程的解满足方程，可得关于m 的方程，根据解方程，可得m 的值，根据解方程，可得答案．【解答】解：由题意，得25221m -=⨯-，解得4m =，将4m =代入22y m -=，得242y -=，解得3y =．故答案为：3．8．（2019春•浦东新区期末）如果关于x 的方程(1)10m x -+=有实数解，那么m 的取值范围是 ．【分析】由方程有实数根确定出m 的范围即可．【解答】解：Q 关于x 的方程(1)10m x -+=有实数解，10m ∴-≠，即1m ≠，故答案为：1m ≠9．（2019春•浦东新区期中）若25x a -=的解是3x =，则a = ．【分析】把3x =代入25x a -=得到关于a 得一元一次方程，解之即可．【解答】解：把3x =代入25x a -=得：65a -=，解得：1a =，故答案为：1．10．（2019春•浦东新区期中）关于x 的方程(1)2(1)a x x -=+（其中2)a ≠的解是 ．【分析】方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．【解答】解：去括号得：22ax a x -=+，移项合并得：(2)2a x a -=+，由2a ≠，得到20a -≠， 解得：22a x a +=-， 故答案为：22a x a +=- 11．（2019春•杨浦区期中）关于x 的方程2(3)9a x a -=-的解是一切实数，那么实数a =【分析】由方程的解为一切实数，确定出a 的值即可．【解答】解：方程整理得：(3)(3)(3)a x a a -=+-，由方程的解是一切实数，得到30a -=，解得：3a =，故答案为：312．（2019春•松江区期中）如果方程10x +=与52m x +=的解相同，那么m = ．【分析】求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出m 的值．【解答】解：方程10x +=，解得：1x =-，把1x =-代入52m x +=中得：52m +=-，解得：7m =-，故答案为：7-13．已知关于x ，y 的二元一次方程组221,3ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩的解为1,1x y =⎧⎨=-⎩g ，求a 、b 的值． 【分析】把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组221,3ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩得到关于a ，b 的方程组，经过整理，得到关于b 的一元二次方程，解之即可得到b 的值，把b 的值代入一个关于a ，b 的二元一次方程，求出a 的值，即可得到答案．【解答】解：把11x y =⎧⎨=-⎩代入二元一次方程组221,3ax by a x b y ab +=⎧⎨-=+⎩得：2213a b a b ab -=⎧⎨+=+⎩①②， 由①得：1a b =+，把1a b =+代入②，整理得：220b b +-=，解得：2b =-或1b =，把2b =-代入①得：21a +=，解得：1a =-，把1b =代入①得：11a -=，解得：2a =，即12a b =-⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=⎩． 14．（2018•杨浦区三模）解方程组：113311x x y x x y ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩【分析】设1a x =，1b x y =+，则原方程组化为331a b a b +=⎧⎨-=⎩①②，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可． 【解答】解：设1a x=，1b x y =+， 则原方程组化为：331a b a b +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②得：44a =，解得：1a =，把1a =代入①得：13b +=，解得：2b =， 即1112x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩， 解得：10.5x y =⎧⎨=-⎩，经检验10.5x y =⎧⎨=-⎩是原方程组的解， 所以原方程组的解是10.5x y =⎧⎨=-⎩． 15．（2019春•浦东新区期末）解方程组：44121x x y z x y -=⎧⎪+-=-⎨⎪-=-⎩【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答此方程组．【解答】解：44121x x y z x y -=⎧⎪+-=-⎨⎪-=-⎩①②③，由①，得8x =，将8x =代入③，得821y -=-，解得， 4.5y =，将8x =， 4.5y =代入②，得8 4.51z +-=-，解得，13.5z =，故原方程组的解是84.513.5x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．16．（2019春•浦东新区期中）已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值．并求出此时方程组的解．【分析】联立方程组，△0=即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【解答】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①② 把②代入①得：222(3)60x mx ++-=，整理得：22(12)12120m x mx +++=， Q 方程组有两组相等的实数解，∴△22(12)4(12)120m m =-+=g， 解得：1m =±，当1m =时，2x =-，∴方程组的解为21x y =-⎧⎨=⎩； 当1m =-时，2x =，∴方程组的解为2,1x y =⎧⎨=⎩17．（2019秋•普陀区月考）解方程组(3)(2)(3)(10)(2)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【分析】整理后①4⨯+②得出1714x =-，求出x ，把1417x =-代入①求出y 即可． 【解答】解：整理得：249430x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② ①4⨯+②得：1714x =-， 解得：1417x =-， 把1417x =-代入①得：28417y --=， 解得：9617y =-， 所有原方程组的解是：14179617x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．11。
