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圆的方程 习题(含答案)

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圆的方程习题（含答案）一、单选题1．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4D．(x－2)2＋(y＋3)2＝92．当点P在圆x2+y2=1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．(x+3)2+y2=1B．(x−3)2+y2=1C．(2x−3)2+4y2=1D．(2x+3)2+4y2=13．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为( )A．9πB．πC．2πD．由m的值而定4．圆x2+y2+2√2x=0的半径是（）A．√2B．2C．2√2D．45．已知圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为A．x+y−3=0B．x+y+3=0C．3x−3y+4=0D．7x+ y−9=06．若点P为圆x2+y2=1上的一个动点，点A(−1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|+|PB|的最大值为（）A．2B．2√2C．4D．4√27．已知直线l：x+ay−1=0(a∈R)是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴.过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2B．4√2C．6D．2√108．若直线l：ax+by+1=0经过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心则(a−2)2+（b−2）2的最小值为A．√5B．5C．2√5D．109．若x,a,b均为任意实数，且(a+2)2+(b−3)2=1，则(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为（ ）A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√2二、填空题10．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为____．11．已知x ,y 满足x 2－4x －4＋y 2＝0, 则x 2+y 2的最大值为____12．若直线l ：2ax −by +2=0(a >0,b >0)与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆x 2+y 2+2x −4y +1=0截得的弦长为4，则|OA|+|OB|(O 为坐标原点)的最小值为______．13．设直线y =x +2a 与圆C:x 2+y 2−2ay −2=0相交于A,B 两点，若|AB |=2√3，则圆C 的面积为________.14．已知圆的圆心在曲线xy =1（x >0)上，且与直线x +4y +13=0相切，当圆的面积最小时，其标准方程为_______．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2,−1)的圆C 和直线 x +y =1相切，且圆心在直线 y =−2x 上，则圆C 的标准方程为______．16．已知圆C 的圆心在直线2x −y =0上，且经过A(6,2)，B(4,8)两点，则圆C 的标准方程是__________．17．在平面直角坐标系中，三点O(0,0),A(2,4)，B(6,2)，则三角形OAB 的外接圆方程是__________．18．如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点A （-1，0），B （1，0），点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，圆O 上按逆时针方向运动.若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AQ ⃑⃑⃑⃑⃑ 的最大值是_______.三、解答题19．设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB| =8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．20．已知圆C:x 2+y 2+2x −7=0内一点P(−1,2)，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C 的圆心坐标和面积；（2）若直线l 的斜率为√3，求弦AB 的长；（3）若圆上恰有三点到直线l 的距离等于√2，求直线l 的方程．21．已知点M (x 0,y 0)在圆O:x 2+y 2=4上运动，且存在一定点N (6,0)，点P (x,y )为线段MN 的中点.（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过A (0,1)且斜率为k 的直线l 与点P 的轨迹C 交于不同的两点E,F ，是否存在实数k 使得OE ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OF⃑⃑⃑⃑⃑ =12，并说明理由. 22．已知圆经过()()2,5,2,1-两点，并且圆心在直线 (1)求圆的方程；(2)求圆上的点到直线34230x y -+=的最小距离。

23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2−6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线x −y +a =0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 24．已知点A (1,−2),B (−1,4)，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B 且圆心在直线2x −y −4=0上的圆的方程．25．已知Rt △ABC 的顶点A(8,5)，直角顶点为B(3,8)，顶点C 在y 轴上； （1）求顶点C 的坐标；（2）求Rt △ABC 外接圆的方程．26．如图,设P 是圆2225x y +=上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影，M 为线段PD 上一点,且45MD PD =， (1)当P 在圆上运动时,求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被轨迹C 所截线段的长度.27．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换{x′=13xy′=12y得到曲线C′. （Ⅰ）求曲线C′的普通方程；（Ⅱ）若点A 在曲线C′上，点B(3,0)，当点A 在曲线C′上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程.参考答案1．C【解析】【分析】因为与y轴相切，所以可知圆的半径r=2，根据圆心坐标，可得圆的标准方程。

【详解】圆心为(2，－3)并且与y轴相切所以半径r=2所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4所以选C【点睛】本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题。

2．C【解析】【分析】设动点P(x0,y0)，PQ的中点为M(x,y)，由中点坐标公式解出x0=2x−3，y0=2y，将点P(2x−3,2y)代入已知圆的方程，化简即可得到所求中点的轨迹方程．【详解】设动点P(x0,y0)，PQ的中点为M(x,y)，可得{x=x0+32y=y02，得x0=2x−3，y0=2y.∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上运动∴(2x−3)2+(2y)2=1，化简得(2x−3)2+4y2=1.∴所求动点M的轨迹方程是(2x−3)2+4y2=1.故选C.【点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x,y)=0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入(相关点)法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程．3．B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标，代入直线方程求出m的值，求出圆的方程后并配方求圆的半径，代入圆的面积求解即可．【详解】∵圆的方程是：x2+y2﹣（4m+2）x﹣2my+4m2+4m+1=0，∴圆心坐标是（2m+1，m），∵圆心在直线x+y﹣4=0上，∴2m+1+m﹣4=0，解得m=1，则圆的方程是：x2+y2﹣6x﹣2y+9=0，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=1，∴半径r=1，圆的面积S=πr2=π，故选：B．【点睛】本题考查由圆的一般式方程求圆心和半径的方法：公式法和配方法，属于基础题．4．A【解析】分析：一般方程转化为标准方程，即可得到半径值。

详解：把一般方程转化为圆的标准方程(x+√2)2+y2=2由标准方程，可知半径为√2所以选A点睛：本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，根据标准方程求圆心或半径，属于基础题。

5．A【解析】【分析】两个圆相减，可得交点弦所在的直线方程；再由弦的垂直平分线过圆心及斜率关系，求得AB的垂直平分线方程。

【详解】圆C 1:x 2+y 2−2x −4y −4=0与圆C 2:x 2+y 2+4x −10y +4=0相交于A 、B 两点 所以AB 所在的直线方程为两个方程相减，得3x-3y+4=0 AB 垂直平分线的斜率为x+y+b=0圆C 1:x 2+y 2−2x −4y −4=0的圆心为（1,2） 将（1,2）代入x+y+b=0解得b=-3所以AB 的垂直平分线的方程为x +y −3=0 所以选A 【点睛】本题考查了圆方程的简单应用，注意相关性质的用法，属于基础题。

6．B【解析】∵∠APB=90°，∴|PA |2+|PB |2=4 由不等式可得(|PA |+|PB |2)2≤|PA |2+|PB |22=2∴|PA |+|PB |≤2√2 故选：B 7．C【解析】试题分析：直线l 过圆心，所以a =−1，所以切线长AB =√(−4)2+1−4×(−4)+2+1=6，选C. 考点：切线长视频 8．B【解析】由圆的方程知圆心为(−2,−1)，所以2a +b =1，(a -2)2+（b −2）2的几何意义为直线2a +b =1上的动点(a,b) 与定点(2,2) 的距离的平方，故过点(2,2)向直线2a +b =1作垂线段，其长的平方最小，最小值为d 2=(√5)2=5，故选B.9．D 【解析】 【分析】该题可以看做是圆上的动点到曲线y =lnx 上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线y =lnx 上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果. 【详解】由题意可得，其结果应为曲线y =lnx 上的点与以C(−2,3)为圆心，以1为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线y =lnx 上的点与圆心C(−2,3)的距离的最小值，在曲线y =lnx 上取一点M(m,lnm)，曲线有y =lnx 在点M 处的切线的斜率为k′=1m ，从而有k CM ⋅k′=−1，即lnm−3m+2⋅1m =−1，整理得lnm +m 2+2m −3=0，解得m =1，所以点(1,0)满足条件，其到圆心C(−2,3)的距离为d =√(−2−1)2+(3−0)2=3√2，故其结果为(3√2−1)2=19−6√2， 故选D. 【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题. 10．[√2−1，1].【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q 的坐标，利用已知条件求出P,Q 的坐标，再求出OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围. 详解:以点O 为坐标原点,以OA 所在直线作x 轴，以OB 所在直线作y 轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB 的方程为x+y-1=0, 设P (cosα,sinα) (0≤α≤π2)，Q(x 0,y 0)， 所以PQ 的中点(x 0+cosα2,y 0+sinα2)，由题得{k PQ =sinα−y0cosα−x 0=1x0+cosα2+y 0+sinα2−1=0,∴x 0=1−sinα y 0=1−cosα所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =cosα(1−sinα)+sinα(1−cosα)=sinα+cosα−2sinαcosα 设t =sinα+cosα=√2sin(α+π4),t ∈[1,√2]， 所以sinαcosα=t 2−12，所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =1−t 2+t ，t ∈[1,√2] 所以当t=1时函数取最大值1，当t=√2时函数取最小值√2−1. 故答案为：[√2−1，1]点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q 的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力. 11．12+8√2 【解析】 【分析】现化简曲线的方程，判定曲线的形状，在根据x 2+y 2的意义，结合图形即可求解． 【详解】由题意，曲线x 2−4x −4+y 2=0，即为(x −2)2+y 2=8， 所以曲线表示一个圆心在(2,0)，半径为2√2的圆，又由x 2+y 2表示圆上的点到原点之间距离的平方，且原点到圆心的距离为2， 所以原点到圆上的点的最大距离为2+2√2， 所以x 2+y 2的最大值为(2+2√2)2=10+8√2． 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程及其特征的应用，其中把x 2+y 2转化为原点到圆上的点之间的距离是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 12．3+2√2 【解析】 【分析】先求得圆的圆心与半径，可知直线一定过圆心得a +b =1。

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高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析

高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析

高三数学圆的标准方程与一般方程试题答案及解析1.以点为圆心且与直线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，故选.【考点】1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系；3.点到直线的距离.2.某圆的圆心在直线上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由已知分析可设圆心为，半径为，则有或，解得，故选C.【考点】圆的标准方程以及弦长的基本知识.3.设点，若在圆上存在点N，使得,则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMR≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，即=≤4，解得，≤≤，故选A. 考点:直线与圆的位置关系4.若圆C:关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．4C．3D．6【答案】B【解析】由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为===，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.【考点】圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值5.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为() A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D【解析】MN的中点为原点O，易知|OP|＝|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，以r＝2为半径的圆，除去与x轴的两个交点．6.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8B．－4C．6D．无法确定【答案】C【解析】圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心(－，0)，即－＋3＝0，∴m＝6.7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－3)2＝1C．(x－3)2＋(y－2)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1【答案】A【解析】设圆心坐标为(a，b)，由题意知a>0，且b＝1.又∵圆和直线4x－3y＝0相切，∴＝1，即|4a－3|＝5，∵a>0，∴a＝2.所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.8.已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且与x轴、y轴交于A、B两点，则△OAB的面积是()A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【解析】设圆心C的坐标是(t，)．∵圆C过坐标原点，∴|OC|2＝t2＋，设圆C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，故B点的坐标为(0，)．令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，故A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.故选C.9.若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为，所以圆的标准方程为：，故答案为【考点】圆的标准方程.10.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.【答案】0或6【解析】圆的标准方程为：所以圆的圆心在，半径又直线与圆交于两点，且所以圆心到直线的距离所以，，整理得：解得：或所以答案应填：0或6.【考点】1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、点到直线的距离公式.11.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．（x-2）2+（y-1）2=1B．（x-2）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y-1）2=1D．（x-3）2+（y-1）2=1【答案】A【解析】设圆心为,半径为,则=1,解得,所以,解得,故圆心坐标为(2,1),所以该圆的标准方程是（x-2）2+（y-1）2=1，选A.12.若圆x2＋y2－2kx＋2y＋2＝0(k>0)与两坐标轴无公共点，那么实数k的取值范围为( ) A．-1<k<1B．1<k<C．1<k<2D．<k<2【答案】B【解析】圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径r＝，若圆与两坐标无公共点，即，解得1<k<.故选B．13.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是________.【答案】【解析】由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得，由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.14.方程x2＋y2－6x＝0表示的圆的圆心坐标是________；半径是__________．【答案】(3，0)，3【解析】(x－3)2＋y2＝9，圆心坐标为(3，0)，半径为3.15.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________．【答案】m＜或m＞1.【解析】由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.16.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为______________．【答案】x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，此圆过点(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.故所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.17.如图，已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么．【答案】(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，【解析】设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是P＝{M||MN|＝|MQ|}.因为圆的半径|ON|＝1，所以|MN|2＝|MO|2－1.设点M的坐标为(x，y)，则，整理得(x－4)2＋y2＝7.它表示圆，该圆圆心的坐标为(4，0)，半径为.18. P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，试求x2＋y2的最小值．【答案】3－2【解析】由C(1，1)得OC＝，则OPmin ＝－1，即()min＝－1.所以x2＋y2的最小值为(－1)2＝3－2.19.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为()A．(x+1)2+y2=2B．(x-1)2+y2=2C．(x+1)2+y2=4D．(x-1)2+y2=4【答案】A【解析】直线x-y+1=0,令y=0得x=-1,所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即r==,所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.20.求圆心在抛物线x2＝4y上，且与直线x＋2y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程．【答案】(x＋1)2＋＝【解析】设圆心坐标为，半径为r.根据已知得r＝＝ (t2＋2t＋2)＝ [(t＋1)2＋1]≥，当t＝－1时取等号，此时r最小为，圆心坐标为(－1，)，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋＝.21.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【答案】（1）(x－5)2＋y2＝16（2）4【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)，且|PA|＝2|PB|，则＝2，化简得曲线C：(x－5)2＋y2＝16.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．是此圆的切线，连接CQ，由直线l2则|QM|＝，时，|CQ|取最小值，|CQ|＝，此时|QM|的最小值为＝4.当CQ⊥l122.已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【答案】(x－2)2＋y2＝10【解析】依题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程，得解得所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.23.已知半径为2，圆心在直线上的圆C.（Ⅰ）当圆C经过点A（2,2）且与轴相切时，求圆C的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C上存在点Q，使,求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为原心在直线上故可设原心为，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。

圆的一般方程高一数学总结练习含答案解析

圆的一般方程高一数学总结练习含答案解析

2.2 圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,配方可化为① .1.当D 2+E 2-4F>0时,它表示以② 为圆心,③ 为半径的圆.2.当D 2+E 2-4F=0时,它表示一个点④ .3.当D 2+E 2-4F<0时,它不表示任何图形.4.我们把⑤ 称为圆的一般方程.圆的性质及其应用1.(2013江西南昌月考,★☆☆)若方程x 2+y 2+4kx-2y+5k=0表示圆,则k 的取值范围是( ) A.14<k<1 B .k<14或k>1 C.k=14或k=1 D .k∈R思路点拨 令D 2+E 2-4F>0即可解得.2.(2014江西,9,5分,★☆☆)在平面直角坐标系中,A,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C.(6-2√5)π D.54π思路点拨 求圆C 面积的最小值,只要求出半径的最小值即可.圆过原点,则半径r=|CO|,又圆心到直线2x+y-4=0的距离d=r,∴2r=|OC|+d.问题转化为圆心到直线的距离与到原点的距离和的最小值. 3.(2013福建福州调研,★★☆)动点A 在圆x 2+y 2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y 2=4B.(x-3)2+y 2=1C.(2x-3)2+4y 2=1D.(x +32)2+y 2=12思路点拨 设出中点的坐标,找出其满足的关系式即可.4.(2013四川宜宾一模,★☆☆)已知点M(1,0)是圆C:x 2+y 2-4x-2y=0内的一点,那么过点M 的最短弦所在直线的方程是 .思路点拨 弦与CM 垂直时,弦长最小.一、选择题1. 方程x 2+y 2+2x-4y-6=0表示的图形是( ) A.以(1,-2)为圆心,√11为半径的圆 B.以(1,2)为圆心,√11为半径的圆 C.以(-1,-2)为圆心,√11为半径的圆 D.以(-1,2)为圆心,√11为半径的圆2.如果x 2+y 2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k 的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(-∞,54) C.(-∞,32) D.(32,+∞)3.原点与圆:x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.无法确定4.经过圆x 2+2x+y 2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是( ) A.x-y+1=0 B.x-y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+1=05.如果圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0与x 轴相切于原点,那么D,E,F 满足( ) A.D≠0,E≠0,F=0 B.D≠0,E=0,F=0 C.D=0,E≠0,F=0D.D=0,E=0,F≠06.已知圆C:x 2+y 2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m 的值为( ) A.8 B.-4 C.6 D.无法确定7.若圆x 2+y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为√22,则a 的值为( )A.-2或2B.12或32 C.2或0D.-2或0二、填空题8.过圆x 2+y 2-6x+4y-3=0的圆心,且平行于直线x+2y+11=0的直线的方程是 . 9.已知点(a+1,a-1)在圆x 2+y 2-x+y-4=0的外部,则a 的取值范围是 . 10.若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则实数a= . 11.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是 .三、解答题12.已知圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3). (1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率; (2)若M 为圆C 上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.13.定长为4的线段AB 的两个端点A,B 分别在x 轴和y 轴上滑动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.一、选择题1.(2015辽宁锦州统测,★☆☆)已知圆x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点O 在( ) A.圆内 B.圆外C.圆上D.圆上或圆外2.(2014贵州四校联考,★☆☆)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )A.2B.1+√2C.2+√22D.1+2√23.(2014福建福州期中,★☆☆)圆C1:x2+y2-4x+2y+4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+28=0关于直线l对称,则直线l的方程为( )A.2x-3y+6=0B.2x-3y-6=0C.3x+2y-4=0D.3x+2y+4=04.(2013河南商丘测试,★☆☆)已知圆的方程是x2+y2-4x+6y+9=0,下列直线中经过圆心的是( )A.3x+2y-1=0B.3x+2y=0C.3x-2y=0D.3x-2y+1=05.(2013河北唐山一模,★☆☆)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.8πC.4πD.9π二、填空题6.(2015合肥金寨段考,★★★)经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的一般方程为.三、解答题7.(2014湖北黄冈中学训练,★★☆)已知方程x2+y2+2x-6y+m=0.(1)若m∈R,试确定方程所表示的曲线;(2)若方程表示的是圆,且圆的圆心到直线2x-y-1=0的距离等于半径,求m的值.知识清单①(x+D2)2+(y+E2)2=14(D2+E2-4F) ②(-D2,-E2)③12√D2+E2-4F④(-D2,-E2)⑤x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)链接高考1.B 由题意知(4k)2+(-2)2-20k>0,所以4k2-5k+1>0,所以k>1或k<14.2.A 由题意得以AB为直径的圆C过原点O,圆心C为AB的中点,设D为切点,要使圆C的面积最小,只需圆的半径最短,也只需OC+CD最小,其最小值为OE(过原点O作直线2x+y-4=0的垂线,垂足为E)的长度.由点到直线的距离公式得OE=√5.∴圆C面积的最小值为π(√5)2=45π.故选A.3.C 设中点为M(x,y),则动点A(2x-3,2y),∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1,故选C.4.答案x+y-1=0解析过点M的最短弦与CM垂直,圆C:x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),∵kCM =1-02-1=1,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.基础过关一、选择题1.D 原方程可化为(x+1)2+(y-2)2=11,所以表示以(-1,2)为圆心,√11为半径的圆.2.B 令D2+E2-4F=(-2)2+12-4k>0,得k<54.3.C 因为a>1,所以02+02-2a×0-2×0+(a-1)2>0,所以原点在圆外.4.A x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1,∴圆心为C(-1,0).又所求直线与直线x+y=0垂直,∴所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+1, 即x-y+1=0.5.C 配方得(x +D 2)2+(y +E 2)2=D 2+E 2-4F4.∵圆与x 轴相切于原点, ∴{-D2=0,|-E 2|=√D 2+E 2-4F2≠0,∴{D =0,E ≠0,F =0.6.C 圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆心(-m2,0),即-m2+3=0,∴m=6. 7.C 配方得(x-1)2+(y-2)2=5,圆心为(1,2),圆心到直线的距离d=√2=√22,所以a=2或0,故选C.二、填空题 8.答案 x+2y+1=0解析 由题意知圆心为(3,-2),设所求直线的方程为x+2y+m=0(m≠11),将圆心(3,-2)代入,得3-4+m=0,∴m=1,故所求直线的方程为x+2y+1=0. 9.答案 a>√2或a<-√2解析 ∵点(a+1,a-1)在圆x 2+y 2-x+y-4=0的外部,∴(a+1)2+(a-1)2-(a+1)+a-1-4>0, ∴a 2>2,即a>√2或a<-√2. 10.答案 ±√22解析 若曲线x 2+y 2+a 2x+(1-a 2)y-4=0关于直线y-x=0的对称曲线仍是其本身,则它是圆心在此直线上的圆,而圆心坐标是(-a 22,-1-a 22),则-a 22=-1-a 22,解得a=±√22.11.答案 6√2解析 x 2+y 2-4x-4y-10=0可化为(x-2)2+(y-2)2=(3√2)2,圆心到直线x+y-14=0的距离d=√12+12=5√2>r=3√2,∴圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为2r=6√2. 三、解答题12.解析 (1)∵点P(a,a+1)在圆上,∴a 2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0,∴a=4, ∴P(4,5),∴|PQ|=√(4+2)2+(5-3)2=2√10,k PQ =3-5-2-4=13.(2)∵圆心C 的坐标为(2,7),∴|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2,又圆的半径是2√2,∴点Q 在圆外,∴|MQ|max =4√2+2√2=6√2,|MQ|min =4√2-2√2=2√2.13.解析 解法一:设线段AB 的中点M 的坐标为(x,y),则A(2x,0),B(0,2y). 由|AB|=4,得√(2x )2+(-2y )2=4, 化简得x 2+y 2=4,所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2+y 2=4. 解法二:设M(x,y),A(x 0,0),B(0,y 0),则{x 0=2x ,y 0=2y .|AB|=√x 02+(-y 0)2=4,即(2x)2+(2y)2=16,化简得x 2+y 2=4,所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2+y 2=4.三年模拟一、选择题1.B 将O(0,0)代入x 2+y 2-2ax-2y+(a-1)2可得(a-1)2,因为0<a<1,所以(a-1)2>0,即原点O 在圆外.2.B 圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1. 圆心到直线x-y-2=0的距离为√2=√2>1,∴圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为1+√2. 3.A 圆C 1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=1, 圆C 2的方程可化为(x+2)2+(y-5)2=1,则C 1(2,-1),C 2(-2,5),所以线段C 1C 2的中点为(0,2),k C 1C 2=-32.由题意知直线l 是线段C 1C 2的中垂线,所以直线l 的方程为y-2=23x,即2x-3y+6=0. 4.B 根据题意知该圆的圆心坐标为(2,-3).各选项中只有3x+2y=0过点(2,-3),故选B.5.C 设P(x,y),由|PA|=2|PB|得√(x +2)2+y 2=2√(x -1)2+y 2,整理得x 2+y 2-4x=0,即(x-2)2+y 2=4,表示圆心为(2,0),半径为2的圆.圆的面积为π×22=4π.二、填空题6.答案 x 2+y 2-3x-5y+2=0解析 设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,在x 轴上的两个截距为x 1,x 2,在y 轴上的两个截距为y 1,y 2. 当x=0时,y 2+Ey+F=0,则y 1+y 2=-E2;当y=0时,x 2+Dx+F=0,则x 1+x 2=-D2. 则{16+4+4D +2E +F =0,1+9-D +3E +F =0,(-D2)+(-E2)=4,解得{D =-3,E =-5,F =2,∴圆的方程为x 2+y 2-3x-5y+2=0.三、解答题7.解析 (1)原方程可变形为 (x+1)2+(y-3)2=10-m.当m<10时,方程表示的曲线是以(-1,3)为圆心、√10-m 为半径的圆; 当m=10时,方程表示的图形是点(-1,3); 当m>10时,方程不表示任何曲线.(2)当m<10时,圆心(-1,3)到直线的距离等于圆的半径√10-m . 即√22+(-1)=√10-m ,∴m=145.。

人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)

人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)

（2）由（1）可知M的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆.
由于 ，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而 .
因为ON的斜率为3，所以 的斜率为 ，故 的方程为 .
又 ，O到 的距离为 ， ，所以 的面积为 .
21．(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A． B．
C． D．
5．一条光线从点 射出，经 轴反射后与圆 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
6．已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．已知方程 ，则 的最大值是（ ）
A．14－ B．14＋ C．9D．14
A．4B．6C． D．
12．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2B． C．6D．
二、填空题
13．已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为________________.
14．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是_______
15．已知 为直线 上一点，过 作圆 的切线，则切线长最短时的切线方程为__________．
当 的斜率不存在， 的斜率等于0时， 与圆 不相交， 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0，两条直线分别与两圆相交时，设 、 的方程分别为 ，即 .
因为 到 的距离 ，
到 的距离 ，所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等，所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述，过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交，所得弦长恒相等.
圆练习题及答案

圆练习题及答案

圆练习题及答案圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。

这个给定点称为圆心，这个距离称为半径。

圆的方程通常表示为 (x - h)² + (y - k)² = r²，其中 (h, k) 是圆心的坐标，r 是半径。

以下是一些关于圆的练习题及答案：1. 练习题：已知圆的半径为5，圆心坐标为(3, 4)，求圆的方程。

答案：根据圆的标准方程，我们可以得到圆的方程为 (x - 3)² + (y - 4)² = 5²，即 (x - 3)² + (y - 4)² = 25。

2. 练习题：如果一个圆的圆心在点(-2, -3)，且与x轴相切，求这个圆的半径。

答案：由于圆与x轴相切，圆心到x轴的距离就是圆的半径。

圆心的y坐标为-3，因此半径为3。

3. 练习题：圆x² + y² = 16与直线y = 4x的交点坐标是什么？答案：将直线方程y = 4x代入圆的方程，得到x² + (4x)² = 16，即x² + 16x² = 16，解得x² = 1，所以x = ±1。

将x值代入直线方程，得到y = ±4。

因此，交点坐标为(1, 4)和(-1, -4)。

4. 练习题：求圆心在原点，半径为7的圆与圆心在(1, 2)，半径为3的圆的公共点。

答案：设两圆的公共点为(x, y)。

根据圆的方程，我们有以下两个方程：- x² + y² = 49（半径为7的圆）- (x - 1)² + (y - 2)² = 9（半径为3的圆）解这两个方程组，我们可以得到公共点的坐标。

5. 练习题：一个圆的半径为8，圆心在(1, 1)，求这个圆上任意一点P(x, y)到圆心的距离。

答案：根据两点间的距离公式，点P(x, y)到圆心(1, 1)的距离为√[(x - 1)² + (y - 1)²]。