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2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题
（科目代码:303）
考生注意事项
1.答题前,考生须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号;在答题卡指定位置上填写报考单位、考生
姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择提的答案必须书写在答题卡指定位置的边
框区域内，超出答案区域上写的答案无效；在草稿纸、试题册上答案无效。
3.填（书）写必须用黑色字迹签字笔或钢笔书写，字迹工整，笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。
4.考试结束，将答题卡和试卷册按规定交回。
本卷得分
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将所选选项前的字母填在答题纸指定位置上.
1
．若函数10(),0x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在0x =处连续，则 （ ） （A ）12ab =
（B ）1
2
ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是 （ ）
（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)
3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则 （ ）
（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-
4． 若级数
21
1sin ln(1)n k n n ∞
=⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦∑收敛，则k = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-
5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则
（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆
6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则 （ ）
（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 7．设A,B,C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A
B 与
C 相互独立的充分必要条件
是 （ ）
（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ） A,B 与C 相互独立 （D ）A,B 与C 互不相容
8．设12,,
,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1
1n
i i X X n ==∑，则下列结论中不
正确的是 （ ）
（A ）
21
()n
i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()2
12n X X -服从2χ分布
（C ）
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在答题纸指定位置上） 9
．
3(sin x dx π
π
-
=⎰ ．
10．差分方程122t t t y y +-=的通解为yt ．
11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中Q 为产量，则边际成本为 .
12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则
(,)f x y =
13．设矩阵1011
1201
1A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝
⎭
，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．
14．设随机变量X 的概率分布为{}1
22
P X =-=
，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．
三、解答题(15-23小题，共94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．（本题满分10分）
求极限0
lim t x dt +
→ 16．（本题满分10分）
计算积分3242
(1)D
y dxdy x y ++⎰⎰，其中D
是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域．
17．（本题满分10分） 求21lim
ln 1n
n k k k n
n →∞
=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑
18．（本题满分10分） 已知方程11
ln(1)k x x
-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．
19．（本题满分10分）
设01111
1,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===
+=+，()S x 为幂级数0
n n n a x ∞
=∑的和函数 （1）证明
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径不小于1．
（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．
20．（本题满分11分）
设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；
（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．
