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基于matlab环境下的图像重建及吸收率分析作者：李彪，张淼来源：《科技创新与应用》2018年第06期摘要：针对重建未知介质的几何形状及吸收率，综合运用滤波反投影算法进行图像重建，首先先引入中心切片定理，采集不同视角下的投影并求解其傅里叶变换，汇集成图像的傅里叶变换再经傅里叶反变换，其次利用matlab iradon函数重建得未知介质的几何形状，再次利用坐标变化和标定参数得出未知介质在正方形托盘中的位置，最后通过matlab rgb2gra函数得到重建图形的灰度值矩阵，由灰度值与吸收率的关系待测未知介质吸收率。
关键词：图像重建；滤波反投影法；matlab灰度值；吸收率中图分类号：TP391.41 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2018）06-0193-02Abstract： In view of the geometric shape and absorptivity of the unknown medium， the filter back-projection algorithm is used to reconstruct the image. Firstly， the central slice theorem is introduced， and the projection in different angle of view is collected and the Fourier transform is solved. The Fourier transform which gathers the image is then transformed by the inverse Fourier transform， and then the geometric shape of the unknown medium is reconstructed by using the matlab iradon function. The position of unknown media in square pallet is obtained by coordinate change and calibration parameters. Finally， the gray value matrix of reconstructed graph is obtained by Matlab rgb2gra function. According to the relationship between gray value and absorptivity， the absorptivity of unknown medium is determined.Keywords： image reconstruction； filtering inverse projection method； MATLAB gray value； absorption rate引言CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息[1]。
MATLAB的7种滤波方法（重制版）滤波是信号和图像处理中常用的一种方法，用于去除噪音，增强信号或图像的特征。
MATLAB提供了丰富的滤波函数和工具箱，包括7种常用的滤波方法，分别是均值滤波、中值滤波、高斯滤波、拉普拉斯滤波、Sobel滤波、Prewitt滤波和Canny边缘检测。
1.均值滤波：均值滤波是使用一个窗口对图像进行平滑处理的方法，窗口内的像素值取平均值作为输出像素值。
这种滤波方法可以有效地去除高频噪声，但会导致图像细节的模糊。
2.中值滤波：中值滤波是一种非线性滤波方法，它使用一个窗口对图像进行平滑处理，窗口内的像素值按照大小排序，然后取中值作为输出像素值。
这种滤波方法能够很好地去除椒盐噪声和脉冲噪声，但无法处理其他类型的噪声。
3.高斯滤波：高斯滤波是一种线性平滑滤波方法，它使用一个高斯函数对图像进行卷积处理，窗口内的像素值按照高斯分布加权求和作为输出像素值。
这种滤波方法能够平滑图像并保持图像的细节信息，但会导致图像的边缘模糊。
4.拉普拉斯滤波：拉普拉斯滤波是一种边缘增强滤波方法，它使用一个拉普拉斯算子对图像进行卷积处理，突出图像中的边缘信息。
这种滤波方法能够提高图像的锐度和对比度，但会增强图像中的噪声。
5. Sobel滤波：Sobel滤波是一种边缘检测滤波方法，它使用Sobel算子对图像进行卷积处理，突出图像中的边缘信息。
这种滤波方法能够检测出图像中的水平和垂直边缘，但对于斜向边缘检测效果较差。
6. Prewitt滤波：Prewitt滤波是一种边缘检测滤波方法，它使用Prewitt算子对图像进行卷积处理，突出图像中的边缘信息。
与Sobel滤波类似，Prewitt滤波也能够检测出图像中的水平和垂直边缘，但对于斜向边缘检测效果较差。
7. Canny边缘检测：Canny边缘检测是一种广泛应用的边缘检测算法，它使用多个步骤对图像进行处理，包括高斯滤波、计算梯度、非极大值抑制和双阈值处理。
这种滤波方法能够检测出图像中的所有边缘，并进行细化和连接，对于复杂的边缘检测有较好的效果。
基于Radon变换的滤波反投影重建算法研究作者：张晓瑞来源：《电脑知识与技术》2016年第27期摘要：层析成像技术目前在生物学等领域广泛应用，而Radon变换是投影重建的数学理论基础。
文中简单介绍了Radon变换的基本原理，重点介绍了滤波反投影重建算法，尤其是滤波函数的选取，并对重建结果进行了比较。
关键词：图像重建；Radon变换；滤波反投影中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）27-0259-031 引言层析成像技术在医疗、生物等领域具有广泛应用。
图像重建是指通过物体外部测量数据，经过处理从而获得物体的形状信息的技术。
开始主要应用在放射医疗设备中，用于人体各部分图像的显示，即计算机断层摄影技术，简称CT技术，后来逐渐在许多领域获得应用。
透射CT的理论基础是投影重建。
而Radon变换是投影重建的数学基础，它是数学家J.Radon提出来的，被广泛应用于医学、分子生物学等领域，迄今为止，人们已研究出基于Radon变换的多种重建方法。
文中重点介绍的滤波反投影算法也是基于Radon变换的一种变换法重建，目前在CT系统中应用非常广泛。
滤波反投影算法的比较重要的是滤波函数的选取。
4.3 结果分析（1）图像比较：直接反投影算法的重构对像的边缘很不明显，有阴影。
滤波反投影算法重构对象相对来说清晰很多，没有阴影。
（2）重建时间对比：滤波反投影算法的重构时间较长，因为多了卷积、滤波这个步骤，使重构时间加长。
不过在实际应用中，这个时间增加不会有很大影响，但是质量却明显变好，所以，实际应用中一般采用此方法。
5 总结滤波反投影法是重构图像基本常用的算法，也是其他多种算法的基础。
在医学CT 等领域中的应用较为广泛。
但是这种算法的关键是选取的何种滤波函数，会直接影响重建图像的质量。
除了滤波函数对图像质量有着较大的影响外，根据抽样定理，投影数和抽样间距均对重建图像的质量有影响[2]。
以后的工作中也应对抽样间距进行研究。
CT滤波反投影图像重建算法的反投影计算量问题
孙丰荣;刘积仁
【期刊名称】《中国生物医学工程学报》
【年(卷),期】2004(023)006
【摘要】本研究在综述扇束滤波反投影图像重建算法的基础上,分析并比较其中的二维反投影运算在直角坐标系和极坐标系下的计算量,然后提出一种极坐标系下的二维反投影运算过程优化方法,使计算量由O(N3)降至O(N2).本研究分析表明,选择在直角坐标系或极坐标系下直接实现二维反投影运算,不会使得其计算量发生数量级上的变化.但是,采取某些算法优化措施,能够显著地减少二维反投影运算过程的计算量.
【总页数】4页(P593-596)
【作者】孙丰荣;刘积仁
【作者单位】山东大学信息科学与工程学院,济南,250100;东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110003
【正文语种】中文
【中图分类】R44:TP399
【相关文献】
1.滤波反投影图像重建算法研究 [J], 张顺利;李卫斌;唐高峰
2.关于滤波反投影图像重建算法的研究 [J], 李静
3.基于Hamming窗的滤波反投影CT图像重建算法 [J], 于尚民
4.动态滤波反投影图像重建算法研究 [J], 何世钧;韩宇辉;李照宇;高岩;李晖
5.滤波反投影图像重建算法的研究 [J], 许珊珊;谭兵
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前言 (1)1MATLAB的简介 (1)1.1MATLAB的概述 (1)1.2MATLAB的主要功能 (1)1.3MATLAB在图像处理中的应用 (2)2图像复原 (2)2.1 图像复原的基本概念 (2)2.2 图像退化的数学模型 (2)2.3 逆滤波复原 (3)2.4 维纳滤波复原 (4)2.5 使用Lucy-Richardson算法的迭代非线性复原 (6)2.6 盲去卷积 (8)3图像重建 (10)3.1 图像重建的概述 (10)3.2 傅里叶反投影重建 (11)3.3 卷积法重建 (12)3.4 代数重建方法 (15)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)数字图像处理是将图像信号转换成数字格式，并通过计算机对它们进行处理。
图像复原过程往往是对提高图像质量起着重要的作用的数字图像处理方法。
图像处理中的一个重要的研究分支是图像重建，其意义在于要检测到获得物体的内部结构图像，而不会其造成任何物体上的损伤。
在本文中，先对图像复原与图像重建进行概述，然后介绍几种图像复原技术与图像重建方法。
通过MATLAB实验程序获得实际处理效果。
关键词：图像复原；图像重建；MATLABAbstractDigital image processing is to convert the image signal into a digital format and process them through the computer. Image restoration process is often to improve the image quality, it plays an important role in digital image processing methods. Image reconstruction is an important research branch of image processing, in the sense that the object to be detected to obtain images of internal structures without causing objects any damage. In this article, firstly, it will introduce image restoration and reconstruction principle, and then introduce several image restoration techniques and image reconstruction methods. The finally treatment effect obtained by MATLAB experimental procedures.Key words: image restoration; image reconstruction; MATLAB基于MATLAB的图像复原与重建设计前言随着网络和通信技术的发展，数字图像处理与分析技术已经在科学研究、工业生产、军事技术、医疗卫生、教育等许多领域得到了广泛应用，并产生了巨大的经济效益和社会效益，对推动社会的发展和提高人们生活水平都起到了重要作用[1]。
卷积反投影图像重建1 反投影重建基本介绍设待重建图像为),(y x a ，它的二维傅氏变换为^12(,)(,)A A ωωρφ=。
根据中心切片定理，^(,)A ρφ可通过),(y x a 在不同视角φ下的投影()r p x φ的一维傅氏变换求得。
即：待建图像：12^1212()12122^2cos()02cos()02cos()0(,)(,)(,)1(,)4(,)(,)(,)i x y i r i r i r a r a x y F A A e d d A e d d P ed d d Pe d ωωππρθφππρθφππρθφθωωωωωωπρφρρφρφρρφφρρφρ-∞∞+-∞-∞∞--∞∞--∞∞--∞======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰[](1.1)因为cos()r x r θφ=-，所以有：122(cos sin )22cos()r x y x y x r ωωπρφφπρπρθφ+=+==-同时：12d d J d d ωωρφ= 11222//2cos 2sin 4//2sin 2cos J ωρωφπφπρφπρωρωφπφπρφ∂∂∂∂-===∂∂∂∂ (1.2)先来看该式的第二个积分：[]22cos()cos()cos()cos()(,)(,)|()(,)|(,)|cos(),r r r r i x i r x r r r x r r x r P ed Pe d h x p x g x g r πρπρθφθφθφθφρρφρρρφρφφθφφ∞∞-=--∞-∞=-=-==*==-⎰⎰ (1.3)式中：(,)()(,r r rg x h x p x φφ=* (1.4) 式(3.10)的物理意义是投影(,)r p x φ经过传递函数为1[()]r F h x ρ=的滤波器后得到的修正后的投影(,)r g x φ在满足cos()r x r θφ=-时的值。
将(3.11)代入(3.8)，得到：^(,)[cos(),]a r g r d πθθφφφ=-⎰ (1.5)称为滤波反投影方程，其物理意义是经过给定点(,)r θ的所有滤波后的投影在0φ=~π范围内的累加—反投影重建，得出(,)r θ点的像素值。
引言
图像重建技术在诸多领域中发挥着重要作用，在重建算法的研究
和实现过程中，存在着是一系列极其复杂的图像处理问题和数学计算
问题。由Math Works公司推出的Matlab工具软件具有强大的数学计
算和图像处理功能，运用该软件进行图像重建可使编程的工作量大大
减小。本文所述的是在Matlab环境下进行滤波反投影重建算法的实
现过程。
图像重建基本原理
图像重建算法的基础是Fourier中心切片定理，也称投影定理。
其具体含义是：待重建图像f (x,y)在角度θ得到的投影函数
p
θ
(t)的一
维傅利叶变换，等于在同一角度下进行的 二维傅利叶变换的一条直线。
如图1所示，其中t为投影值与中心射线的距离。
线SF与y轴的夹角，γ为射线间夹角。针对扇束中的某一射线SA，
若视A点的投影数据是沿着平行射线产生的话，则投影值应是由θ和
t确定的p
θ
(t)的值。利用(β,γ)和(θ,t)的关系，借助平行投影的重建算
法推导出扇束投影的重建算法。
基于平行束的图像重建算法主要分为三步：
①对某θ角度下的投影
p
θ(t)作一维傅立叶变换，记为Sθ
(ω)；
（式1-1）
②将①的变换结果乘上一维权重因子，并对加权结果，作一维傅
利叶反变换，记为Qθ(t)——即：加权滤波处理；
（式1-2）
③将②中滤波后的投影进行反投影计算，得到断层图像f(x,y)。
（式1-3）
由图3所示，PQ垂直于SA，且OB长度为t，则有：
θ=β+γ和r = Dsinγ
（式1-4）
根据图像重建理论，并由平行束重建公式推导出扇束重建公式，
（式1-5）
由图4所示，公式可化简为：
（式1-6）
其中：
（式1-7）
滤波反投影图像重建算法分析
及MATLAB现实
朱立平 林志英
图像重建是CT技术的一个研究热点。重建算法的现实是对算法研究的一个重要环节。由
Math Works公司推出的MATLAB工具软件具有强大的数学计算和图像处理功能，并为算法提供了
一个方便有效的研究和实现的平台。本文在图像重建分析的基础上，运用MATLAB实现了基于扇
束的滤波反投影重建算法的计算机模拟。
图１ 中心切片定理图解
（a）等角射线型 （b）等距射线型
图２ 扇束投影的两种类型
基于扇束滤波反投影算法分析
根据探测器安放的方式，扇束投影又分等角射线型和等距射线型。
等角射线型的探测器安置在以扇束顶点为中心的圆弧上，并以等弧排
列，如图2（a）所示；等距射线型的探测器以等间距方式安置在一条
直线上，如图2（b）所示。本文只讨论等角射线型的情况。
设Rβ(γ)表示某一扇束投影，如图3（a）所示，其中β为中心射
１３１
08 / 2013 / China Computer&Communication
由于数字图像处理的离散化特点，在图像重建实现的过程中，需
将上将公式转化成离散化形式。
扇束重建算法的计算机现实
1. 模拟产生投影值
在Matlab环境中，利用phantom函数和fanbeam函数，创建
N×N的Sheep Logan头模型图像（如图5所示）及其扇束的投影数
据（如图6所示）。
主要代码如下：
N=128;
f=phantom(N);
figure,imshow(f);
D=250;
dgama=0.3;
r=fanbeam(f,D,'FanSensorSpacing',dgama);
figure,imshow(r,[]);
（式1-10）
4. 滤波运算
为了避免卷绕误差，需将修正的投影
R
βi
(nγ) 序列后添零延拓成长
度不小于（2N-1）的序列
R''
βi
(nγ) 。滤波计算的离散化公式为：
（式1-5）
在Matlab库函数中，选用快速离散傅利叶变换函数fft、快速离
散反傅利叶变换函数ifft及窗函数（如汉明窗）。
5. 加权反投影运算
重建图像是由每个滤波投影
Q
βi( γ' ) 的反投影组合而成，Qβi
( γ' )
是对应于βi的滤波投影，位于与中心射线夹角为γ'的射线上所有点(x,y)
的值均等于
Q
βi
(γ)，但通过计算得出的γ'的值并非正好为nγ，因此，与
γ'
相对应的
Q
βi
( γ' ) 需用适当的插值方法求得，如：线性插值。反投影
的离散化公式为：
（式1-6）
由（式1-6）可知，在反投影计算过程中，需要计算出两个关键
的数据：
① 每一个像素点C(x,y)与射线源S之间的距离L
② 穿过每一个像素点C(x,y)的射线与中心射线SA的夹角
由图4所示，对于某βi，计算出(
x
0,y0)即：x0=Dsin(βi),y0
=Dcos(βi)，
则L2=(x0+x)2+(y0-y)2，γ'=arctan)2(00ixxyyβπ−−+−。
最后，利用Matlab库函数interp2进行插值，完成图像的重建过程。
按照上述算法，采用D=250，γ=0.3，γ=30，
β
m
=360的重建效果如图7
所示。
图３ 等角扇束投影重建算法推导参数图解图４ 象素点几何图示
图５ １２８×１２８的Ｓｈｅｅｐ Ｌｏｇａｎ头模型图像图６ 扇束射角增量为０．３°投影值
2. 选取滤波函数，并离散化处理，如：R-L滤波函数，则离散化
形式为：
（式1-8）
其中：
（式1-9）
3. 修正投影值
对于某β角的投影数据
R
βi(nγ) 进行修正，记为：R'βi
(nγ)。
图７ 重建效果图
总结
本文在分析基于扇束滤波反投影算法的基础上，详细介绍了该算
法“模拟产生投影数据——修正投影——加权滤波——反投影重建”
整个计算机现实过程，并充分利用Matlab强大的图像处理功能，无
需大量的编程，现实了图像重建算法的计算机模拟。Matlab作为一种
高效的工程计算语言，它从本质上提供了对图像的支持，使用它可以
对数字图像形成的离散数据矩阵进行一次性的处理，较其他高级语言
有着明显的优势。
（北京联合大学 电子信息技术实验实训基地）
作者简介：朱立平（1971－ ），女，北京人，讲师，硕士，主要
研究方向：计算机应用，图像处理；林志英（1970— ），女，北京人，
讲师，硕士，主要研究方向：多媒体技术，图像处理。
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信息与电脑 /
2013 / 08
数据库
Data Base
