【学霸优课】2017数学(理)一轮对点训练：6-4-2 数列的综合应用 Word版含解析

1．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意知S △ABC ＝12AB·BC·sinB ，即12＝12×1×2sinB ，解得sinB ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin2A ＋sin(A －B ＋C)＝sin(C －A －B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc(b ＋c)>8B ．ab(a ＋b)>16 2C ．6≤abc≤12D ．12≤abc≤24 答案 A解析 由sin2A ＋sin(A －B ＋C)＝sin(C －A －B)＋12得，sin2A ＋sin[A －(B －C)]＋sin[A＋(B －C)]＝12，所以sin2A ＋2sinAcos(B －C)＝12.所以2sinA[cosA ＋cos(B －C)]＝12，所以2sinA[cos(π－(B ＋C))＋cos(B －C)]＝12，所以2sinA[－cos(B ＋C)＋cos(B －C)]＝12，即得sinAsinBsinC ＝18.根据三角形面积公式S ＝12absinC ，①S ＝12acsinB ，②S ＝12bcsinA ，③因为1≤S≤2，所以1≤S 3≤8.将①②③式相乘得1≤S 3＝18a 2b 2c 2sinAsinBsinC≤8，即64≤a 2b 2c 2≤512，所以8≤abc≤162，故排除C ，D 选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b ＋c>a ，得bc(b ＋c)>8一定成立，而a ＋b>c ，ab(a ＋b)也大于8，而不一定大于162，故选A.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC面积的最大值为93，则λ的值为( )A ．8B ．12C ．16D ．21答案 B解析 S △ABC ＝12absinC ＝34ab≤34·⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12.4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.答案 100 6解析 依题意，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°.在△ABC 中，由∠ABC ＋∠BAC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝45°，因为AB ＝600 m ，由正弦定理可得600sin45°＝BCsin30°，即BC ＝300 2m ．在Rt △BCD 中，因为∠CBD ＝30°，BC ＝300 2 m ，所以tan30°＝CD BC ＝CD3002，所以CD ＝100 6 m.5．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tanA ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 由AB →·AC →＝tanA ，可得|AB →||AC →|cosA ＝tanA.因为A ＝π6，所以|AB →||AC →|·32＝33，即|AB →||AC →|＝23.所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|·sinA ＝12×23×12＝16.6．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cosB ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则b ＋asinA的值等于________． 答案 16 2解析 依题意可得sinB ＝35，又S △ABC ＝12acsinB ＝42，则c ＝14.故b ＝a 2＋c 2－2accosB＝62，所以b ＋a sinA ＝b ＋bsinB＝16 2.7．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析 设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC ＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12. 又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°. 8．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，AB sinC ＝BC sinA ，所以sinC ＝AB BC ·sinA ＝2sin60°7＝217.因为AB<BC ，所以C 为锐角，则cosC ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin2C ＝2sinC·cosC ＝2×217×277＝437. 9.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝btanA ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sinA ＋sinC 的取值范围．解 (1)证明：由a ＝btanA 及正弦定理，得sinA cosA ＝a b ＝sinAsinB ，所以sinB ＝cosA ，即sinB＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A .又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2. (2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B)＝π－⎝⎛⎭⎫2A ＋π2＝π2－2A>0，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. 于是sinA ＋sinC ＝sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－2A ＝sinA ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sinA ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sinA －142＋98. 因为0<A<π4，所以0<sinA<22，因此22<－2⎝⎛⎭⎫sinA －142＋98≤98. 由此可知sinA ＋sinC 的取值范围是⎝⎛⎦⎤22，98.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tanC 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C.又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫3π4－C ＝sin2C ＝2sinCcosC ， 解得tanC ＝2.(2)由tanC ＝2，C ∈(0，π)得sinC ＝255，cosC ＝55.又因为sinB ＝sin(A ＋C)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ，所以sinB ＝31010.由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bcsinA ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.11.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m ＝(a ，3b)与n ＝(cosA ，sinB)平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为m ∥n ，所以asinB －3bcosA ＝0， 由正弦定理，得sinAsinB －3sinBcosA ＝0， 又sinB≠0，从而tanA ＝3， 由于0<A<π，所以A ＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得 a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ， 及a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bcsinA ＝332.解法二：由正弦定理，得7sin π3＝2sinB ， 从而sinB ＝217， 又由a>b ，知A>B ，所以cosB ＝277.故sinC ＝sin(A ＋B)＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝sinBcos π3＋cosBsin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为12absinC ＝332.12.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B. (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB. 由正弦定理、余弦定理得a ＝2b·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C)的值．解 (1)由BA →·BC →＝2，得c·acosB ＝2.又cosB ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2accosB. 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a>c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝23×223＝429.因为a ＝b>c ，所以C 为锐角， 因此cosC ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝13×79＋223×429＝2327.。

生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1.1 数列的概念及表示方法对点训练 理1．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1an }为递减数列，∴2a 1an >2a 1an ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C.2．下列可以作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝－n＋12 C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－n －1＋32答案 C解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝－2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是()A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n n －2 C ．a n ＝n n ＋2D ．a n ＝n n ＋2答案 C解析 解法一：令n ＝1,2,3,4，验证选项知选C.解法二：a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，…，a n ＝a n －1＋n . ∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2. 因此a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.。

第4节数列求和及综合应用【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.数列{1+2n-1}的前n项和为( C )(A)1+2n(B)2+2n(C)n+2n-1 (D)n+2+2n解析:由题意令a n=1+2n-1,所以S n=n+=n+2n-1,故选C.2.数列{a n}的前n项和为S n,已知S n=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17等于( A )(A)9 (B)8 (C)17 (D)16解析:S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=-1×8+17=9.故选A.3.(2015鞍山校级四模)数列{a n}的前n项和为S n,若a n=,则S5等于( B )(A)1 (B)(C)(D)解析:因为a n=-,所以S n=（1-）+（-）+…+（-）=1-=.所以S5=.故选B.4.S n=+++…+等于( B )(A)(B)(C)(D)解析:由S n=+++…+,①得S n=++…++, ②①-②得,S n=+++…+-=-,所以S n=.5.(2015柳州校级一模)设数列{a n}的前n项和为S n,点（n,）(n∈N*)均在函数y=x+的图像上,则a2 014等于( A )(A)2 016 (B)2 015 (C)2 014 (D)2 017解析:因为数列{a n}的前n项和为S n,点（n,）(n∈N*)均在函数y=x+的图像上,所以=n+,所以S n=n2+n=n(n+1),所以a2 016=S2 016-S2 015=×2 016×2 017-×2 015×2 016=×2 016×2=2 016.故选A.6.(2015遵义校级二模)设函数f(x)=x m+ax的导函数f′(x)=2x+1,则数列｛｝(n∈N*)的前n项和是( A )(A)(B)(C)(D)解析:f′(x)=mx m-1+a=2x+1,所以a=1,m=2,所以f(x)=x(x+1),==-,｛｝的前n项和为S n=+++…+=+++…+=1-+-+-+…+-=.故选A.7.(2015宁夏石嘴山高三联考)在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则a1+a2+…+a51= .解析:因为数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),所以a3-a1=0,a5-a3=0,…a51-a49=0,所以a1=a3=a5=…=a51=1.由a4-a2=2,得a4=2+a2=4,同理可得a6=6,a8=8,…,a50=50.所以a1+a2+a3+…+a51=(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50)=26+=676.答案:6768.现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10 cm,最下面的三节长度之和为114 cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n= .解析:设自上而下每节竹竿的长度构成的等差数列为{a n},由题意知,a1=10,a n+a n-1+a n-2=114,=a1·a n.所以3a n-1=114,即a n-1=38.(a1+5d)2=a1·(a n-1+d),所以(10+5d)2=10×(38+d),即5d2+18d-56=0,解得d=2或d=-(舍去).所以a n-1=10+(n-2)×2=2n+6=38,所以n=16.答案:169.对于每一个正整数n,设曲线y=x n+1在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,令a n=lg x n,则a1+a2+…+a99= .解析:对y=x n+1求导得y′=(n+1)x n,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)·(x-1), 令y=0,得x n=,则a n=lg x n=lg ,所以a1+a2+…+a99=lg（××…×）=lg=-2.答案:-210.(2015高考安徽卷)已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.解:(1)由题设知a1a4=a2a3=8,又a1+a4=9,可解得或(舍去).设等比数列{a n}的公比为q,由a4=a1q3得q=2,故a n=a1q n-1=2n-1.(2)S n==2n-1,又b n===-,所以T n=b1+b2+…+b n=（-）+（-）+…+（-）=-=1-.11.(2015高考天津卷)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.解:(1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意知q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.解得q2=4.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N❋;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N❋.(2)由(1)有c n=(2n-1)×2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)×2n+3,n∈N❋.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015房山区二模)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,2S n=a n+1,则S n等于( C )(A)2n-1 (B)2n-1 (C)3n-1 (D)(3n-1)解析:当n=1时,因为a1=1,2S1=a2,所以a2=2.当n≥2时,由2S n=a n+1,2S n-1=a n,两式相减得2a n=a n+1-a n,所以a n+1=3a n,所以数列{a n}是从第2项开始以a2=2为首项,3为公比的等比数列,所以S n=a1+=3n-1,当n=1时,上式也成立.13.(2015宝山区二模)设等差数列{a n}的前n项和为A n,等比数列{b n}的前n项和为B n,若a3=b3,a4=b4,且=7,则= .解析:由题意,得=7=,因为a3=b3,a4=b4,设等差数列{a n}的公差为d,所以=7,所以a1=-d,所以数列{b n}的公比q===-2,所以==-.答案:-14.(2015广西南宁二模)在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列.(1)求等比数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=(n+2)log2a n,求数列｛｝的前n项和T n.解:(1)设数列{a n}的公比为q,因为2a1,a3,3a2成等差数列,所以2a1+3a2=2a3,2a1+3a1q=2a1q2,2q2-3q-2=0,解得q=2或q=-.因为q>0,所以q=2.因为a1=2,所以数列{a n}的通项公式a n=a1q n-1=2n,n∈N*.(2)因为b n=(n+2)log2a n=n(n+2),所以==（-）,T n=++…++=[(1-)+(-)+(-)+…+（-）+（-）+（-）]=（1+--）=-.15.(2015郑州第二次质量预测)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n,求使(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围. 解:(1)由S n=2a n-2可得a1=2,因为S n=2a n-2,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即=2.数列{a n}是以a1=2为首项,公比为2的等比数列,所以a n=2n(n∈N*).(2)b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=1+2+3+…+n=.由(n-8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立,即实数≥k对n∈N*恒成立;设c n=(n-8)(n+1),则当n=3或n=4时,c n取得最小值为-10,所以k≤-10,即k的取值范围为(-∞,-10].精彩5分钟1.(2015江西九江二模)设数列{a n}的前n项和是S n,数列{S n}的前n项乘积是T n,且S n+T n=1,则数列｛｝中最接近2 015的项是( B )(A)第43项(B)第44项(C)第45项(D)第46项解题关键:由S n+T n=1求出S n的前几项,进而大胆猜想出S n,再由a n与S n的关系求出a n.解析:当n=1时,S1+T1=1,即S1=,当n=2时,S2+S1S2=1,即S2=,当n=3时,S3+S1S2S3=1,即S3=,…,猜想S n=,所以a n=S n-S n-1=-=,所以=n(n+1),所以数列｛｝中最接近2 015的项是=44×45=1 980.2.(2016兰州模拟)已知等差数列{a n}的首项为1,公差为2,若a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2n a2n+1≥t·n2,对n∈N*恒成立,则实数t的取值范围是.解题关键:对不等式左边两项结合提取公因式后,求和,然后对不等式分离参数t,求最值. 解析:a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2n a2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)=-4(a2+a4+…+a2n)=-4××n=-8n2-4n,所以-8n2-4n≥tn2,所以t≤-8-对n∈N*恒成立,t≤-12.答案:(-∞,-12]。

2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4.1 数列求和对点训练 理1.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若S n ＝10，则n 的值是( )A ．11B ．99C ．120D ．121答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令S n ＝10，解得n ＝120.故选C.2．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A ．125B ．126C ．127D ．128 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵－a 3，a 2，a 4成等差数列， ∴2a 2＝a 4－a 3， ∴2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)， ∴S 7＝a 1－q 71－q＝1－271－2＝27－1＝127.故选C. 3.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19n ＋，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.4．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ； (3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝4－1＋221－1＝1； 当n ≥2时，由a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1知，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－n －1＋22n －2，两式相减得na n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1－⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，此时a n ＝12n －1.经检验知，a 1＝1也满足a n ＝12n －1.综上，a n ＝12n －1，故a 3＝123－1＝14. (2)由(1)知，a n ＝12n －1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，故T n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1.(3)证明：由(1)(2)知，b 1＝a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n＝2－12n －2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ·12n －1＝2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1－1n ·12n －1. 当n ＝1时，S 1＝1<2＋2ln 1＝2，成立； 当n ≥2时，S n ＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·121＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－13·122＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1－1n ·12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －1－12＋13⎝ ⎛123＋124＋…＋12n －1⎭⎪⎫－122＋…＋1n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n －2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＋12⎝⎛⎭⎪⎫122·1－12n －21－12－12＋13⎝⎛⎭⎪⎫123·1－12n －31－12－122＋…＋ 1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n －2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋…＋1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛ 1＋12＋⎭⎪⎫13＋…＋1n ·12n －1<2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n . 构造函数f (x )＝ln (1＋x )－xx ＋1，x ≥0，则f ′(x )＝11＋x－1x ＋2＝x x ＋2≥0，故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时，f (x )>f (0)＝0，即xx ＋1<ln (1＋x )．令x ＝1n －1，n ≥2，则1n <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1，从而可得12<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，13<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－1，…，1n <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1， 将以上n －1个式子同向相加即得12＋13＋…＋1n <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n －1＝ln⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×…×n n －1＝ln n ，故S n <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n <2＋2ln n . 综上可知，S n <2＋2ln n .5．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14nn －n ＋＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.。