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第29讲：数论(一)因数与倍数 作业

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第二十九讲 数论（一）因数与倍数

课后作业

【1】设p和q均为自然数,使得

.131911318131211qp证明：p可被1979整除。

【例2】对于整数n与k，定义,),(112nrkrknF求证：)1,(nF可整除).,(knF

【3】m盒子中各若干个球，每一次在其中)(mnn个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是.1),(nm

【4】求所有这样的自然数n，使得n222118是一个自然数的平方。

【5】设,,nam是正整数，求证：(,)(1,1)1mnmnaaa

第二十九讲 数论（一）因数与倍数

参考答案

【1】设p和q均为自然数,使得

.131911318131211qp证明：p可被1979整除。

【解析】)131814121(2)1319131211(qp

=)6591211()1319131211(

=)99019891()131816611()131916601(

=1979×)99098911318661113196601(

两端同乘以1319！得1319！*).(1979Nmmqp 此式说明1979|1319！×.p由于1979为质数，则1979不整除1319！，故1979|。

【2】对于整数n与k，定义,),(112nrkrknF求证：)1,(nF可整除).,(knF

【解析】当mn2时，,)12()1,2(21mrmmrmF

mmrkmrkrrkmF2112112),2(

.p],)12([)12(12112112112kmrkmrkmrkrmrrmr 由于[…]能被12)12(mrmr整除，所以),2(kmF能被12m整除，另一方面，

),2(kmF,)2(])2([1212121112kkkmrkmmrmr

上式中[…]能被mrmr2)2(整除，所以),2(kmF也能被m整除.因m与2m+1互质，所以),2(kmF能被（即)1,(mF）整除.

类似可证当12mn时，能被整除. 故),(knF能被)1,(nF整除。

【3】m盒子中各若干个球，每一次在其中)(mnn个盒中加一球.求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是.1),(nm

【解析】设1),(nm，则有Zvu,使得)1()1(1vmvvmun，此式说明：对盒子连续加球u次，可使1m个盒子各增加了v个，一个增加)1(v个.这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等.

用反证法证明必要性.若1),(dnm，则只要在m个盒中放1m个球，则不管加球多少次，例如，加球k次，则这时m个盒中共有球（个），因为所以不可能是的倍数，更不是的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须1),(nm.

【4】求所有这样的自然数n，使得n222118是一个自然数的平方。

【解析】（1）当8n时，)122(222118118nnnN，因（…）为奇数，所以要使N为平方数，n必为偶数.逐一验证8,6,4,2n知，N都不是平方数.

（2）当时，不是平方数. (2m1)m21,Fmk21,1Fmknm1,1,|,|dndmdknm1dm9n11222289118N （3）当10n时，)29(288nN，要N为平方数，829n应为奇数的平方，不妨假设829n=2)12(k,则).2()1(210kkn由于1k和2k是一奇一偶，左边为2的幂，因而只能1k=1，于是得2k，由21022n知12n为所求.

【5】设,,nam是正整数，求证：(,)(1,1)1mnmnaaa

【解析】当mn时结论显然成立

不妨假设mn对,mn做欧几里得算（除）法：

0000111001222121111,0;,0;,0;,0;.(,)nnnnnnnnnnmnqrrbbrqrrrrrqrrrrrqrrrrrqmnr

所以有：

1010000000011(,)(1,1)(1,1)((1)1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)11nnnnnnmnnnnnnqrnqrrrrrrrrrrqmrrrnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

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《因数与倍数》说课稿7篇(因数与倍数

《因数与倍数》说课稿7篇(因数与倍数

第 1 页 共 24 页 《因数与倍数》说课稿7篇(因数与倍数

(实用版)

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因数和倍数等相关概念以及联系与区别

因数和倍数等相关概念以及联系与区别

因数和倍数等相关概念以及联系与区别

全文共四篇示例，供读者参考

第一篇示例：

因数和倍数是初中数学中的重要概念，很多同学在学习数学的时候常常会混淆这两者之间的关系，甚至无法准确地区分它们。下面我们将详细地探讨因数和倍数的定义、联系与区别。

因数是指能够整除一个数的数，也就是说，如果一个数能被另外一个数整除，那么这个数就是另一个数的因数。6的因数有1、2、3、6，因为1×6=6，2×3=6。换句话说，6除以1、2、3、6都能整除，因此1、2、3、6都是6的因数。那么，比如4、5、7这些数就不是6的因数，因为6除以它们得到的余数不为0。

因数和倍数的联系在于它们都是与某个数之间的整除关系有关，而且它们之间还存在着一定的数学关系。具体来说，一个数的所有因数的和等于它本身，比如6的因数有1、2、3、6，它们的和为1+2+3+6=12，而6本身也等于6，因此它们相等。而一个数的倍数则是无穷多个，比如12的倍数有1, 2, 3, 4, 6, 12等等，无法一一列举完全。

因数和倍数的区别在于它们的定义和性质不同。因数是能够整除一个数的数，是这个数的约数；而倍数是一个数和另一个数相乘所得的结果，是这个数的整数倍。因子是一个数的正约数，倍数是一个数的整数倍。因子是一个数的固有约数（不包括本身的约数），倍数则包括了所有整数倍。而且，两个数的因子可能会有重复，但是倍数是唯一的，因为任何一个数的倍数都只有一个。

因数和倍数是初中数学中重要的概念，它们之间有着密切的联系，但又有着明显的区别。因数是一个数的约数，而倍数是一个数的整数倍，它们分别表征着一个数的因数和倍数的性质。因子是一个数的约数，倍数是一个数的整数倍，它们都是数学计算中不可缺少的概念。希望同学们能够理解并掌握这两者之间的关系，提高数学的学习成绩。

第二篇示例：

因数和倍数是数学中的重要概念，它们在数学运算中起着至关重要的作用。但是很多人对这两个概念并不是很清楚，甚至会混淆起来。本文将详细介绍因数和倍数的概念、联系和区别，帮助大家更好地理解这两个概念。

小学奥数数论(因数与倍数及整数裂项)试题及答案解析

小学奥数数论(因数与倍数及整数裂项)试题及答案解析

第1页（共23页）

小学奥数——因数与倍数与整数裂项

一、选择题（共50小题）

1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树( )棵

A.16 B.18 C.20 D.22

2.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲( )下.

A.78 B.102 C.156 D.180

3.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要

( )分钟.

A.23 B.25 C.28 D.30

4.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种( )棵树.

A.9 B.12 C.15 D.18

5.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要( )

A.15分钟 B.12分钟 C.10分钟 D.以上都不对

6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要( )分钟.

A.6 B.10 C.12 D.24

7.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是( )米.

A.1 B.约1.5 C.1.5 D.2

8.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用( )分钟.

A.4.5 B.4 C.3.5 D.3

E.2.5

9.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度

第2页（共23页）

奶奶走了36分钟，她走到了第( )根电线杆处.

A.18 B.19 C.20 D.21

10.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，( )秒钟敲完.

A.10 B.12 C.14 D.18

11.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是( )米.

29倍数的原理范文

29倍数的原理范文

29倍数的原理范文

29是一个质数，它不能被任何其他数整除，除了1和29本身。因此，任何一个数如果能被29整除，那么这个数必须具备一定的特性。

我们可以用数学来表示这一特性。设一个整数为n，如果n能够被29整除，那么存在另一个整数a，满足以下等式成立：

n=29a

这个等式的意思是，如果一个数能被29整除，那么这个数可以表示为29和另一个整数的乘积。这个乘积中，29的系数为1，即29只出现一次。

基于这个等式，我们可以进一步推导29倍数的性质。

首先，我们可以观察到，29的倍数是非常规律的。因为29只能被1和29本身整除，所以29的倍数一定是由连续的29相加而成的。换句话说，29的倍数的个位数一定是9，十位数一定是8，百位数一定是7，以此类推。因此，我们可以得到以下结论：

一个数能够被29整除，当且仅当这个数的个位数乘以29的个位数，十位数乘以29的十位数，以此类推，相加的结果能够被29整除。

以一个例子来说明：

其中，^表示幂运算。在上面的等式中，可以看出每一项的系数就是n从右往左的每一位数字，而每一项的底数就是29、这样，我们就可以用这个等式把一个数表示成一系列29的倍数相加的形式。 根据这个等式，我们可以进一步推导29倍数的性质。如果一个数能被29整除，那么这个数的个位数字乘以29的个位数字，十位数字乘以29的十位数字，以此类推，相加的结果也一定能够被29整除。

综上所述，29倍数的原理可以归纳为以下几点：

1.一个数能够被29整除，当且仅当这个数可以表示成一系列29的倍数相加的形式。

2.这个数的个位数字乘以29的个位数字，十位数字乘以29的十位数字，以此类推，相加的结果也一定能够被29整除。

这就是29倍数的原理。通过这个原理，我们可以更好地理解29的倍数的特性，并利用这个原理来验证一个数是否是29的倍数。