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概率论(计算)历年习题集锦

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概率论计算：

1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？

解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)

452897108)1|2()1()21(AAPAPAAP

(2)

45191102)1|2()1()2,1(AAPAPAAP

(3)

45169810292108)1|2()1()1|2()1()21()21(AAPAPAAPAPAAPAAP

(4)

519110292108)1|2()1()1|2()1()2(AAPAPAAPAPAP

2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？

解：设Bi（I=1,2,3）表示任取一只是第I厂产品的事件，A表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式

0125.003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|()2()1|()1()(BAPBPBAPBPBAPBPAP

（2）由贝叶斯公式

24.00125.002.015.0)()1|()1()|1(APBAPBPABP

3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。

解：由等可能概型有：

（1）12131025CCP;

（2）20131024CCP

4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。

解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型53361224CCCP

5．设随机变量X具有概率密度0,00,3)(xxxkexf。（1）确定常数k；（2）求P（X>0.1）

解：（1）由1)(dxxf有333303301kkxdxekdxxke所以（2）

7408.0331.0)1.0(dxxexP6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？

解：由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是

（1）

0729.039.021.025)2(CXP

（2）

9995.051.0559.041.045[1)]5()4([1)3(1)3()2()1()0()3(CCXPXPXPXPXPXPXPXP

（3）

40951.059.001.0051)0(1)1(CXPXP

7．设随机变量X的概率密度为,,0,40,8)(其它xxxf

求)31(xP

解：2183)31(dxxxP

8．由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。

解：由题意，所以为

0456.0)]2(1[2)]06.012.0()06.012.0([1)12.005.1012.005.10(1xP9．设X~N（3，22）求：（1）)3(),2|(|),104(),52(xPxPxPxP （2）)()(cxPcxP

解：（1）

5328.0)5.0()1()232()235()52(xP9996.0)5.3()5.3()234()2310()104(xP

6977.0)]232()232([1)22(1)2|(|1)2|(|xPxPxP

5.0)0(1)3(XP

（2）由P>c=P(x≤c)，即

3,02321)23()23()23(1ccccc所以

10．设随机变量X的分布律为

X -2 -1

0 1 3

P 21 61 51 151 3011

求Y=X2的分布律。

解：Y=X2的全部取值为0，1，4，9且P（Y=0）=P（X=0）=51，

P（Y=1）=P（X=-1）+P（X=1）=30715161，

P（Y=4）=P（X=-2）=51，

P（Y=9）=P（X=3）=3011故Y的分布律为

X 0 1 4 9

P 51307513011

11．设二维随机变量（x，y）具有概率密度其它,00,0,)2(2)(yxyxexf（1）求分布函数F（x，y）；

（2）求概率P（Y≤X）

解：（1）

其它其它,00,0),1)(21(,00,0)2(200),(),(yxyexeyxdxyxexdyydxdyyxfyxyxF（2）

31])2(2[0),()(dydxyxeydxdyyxfXYP12．已知（X，Y）的联合分律为

X

Y 0 1

1

2 1/8

1/4 1/4

3/8

求X及Y的边缘分布律。

解：X的分布律为

X 0 1

P 83 85

Y的分布律为 X 1

2

P 83 85

13．设随机变量（X，Y）的联合概率密度为其它,010,6),(xyxf，边缘概率密度)(),(yyfxxf。

解：

其它其它,010),2(6,010,62),()(xxxxdyxxdyyxfxxf

其它其它,010),(6,010,6),()(yyyydxyydxyxfyyf

14．设（X，Y）的概率密度为其它,042,20),6(),(yxyxkyxf

（1）确定常数k；（2）求P（X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度)(xxf

解：（1）

81,18,8)6(2402),(kkkdyyxkdxdxdyyxf得由

（2）

83)6(812301)3,1(dyyxdxYXP （3）

其它其它,01026,010,)6(8124),()(xxxdyyxdyyxfxxF

15．设随机变量X的分布律为

X -2

0 2

P 0.4 0.3

0.3

求)523(),2(),(XEXEXE

解：

2.03.023.004.02)(XE

8.23.0223.0204.02)2()2(XE

4.135)2(3)523(XEXE

16．设X—b(n,p),求E(X),D(X)

)1()(...)2()1()()(...)2()1()(,,...,2,1),...,2,1(,0,1,...21:pnpnXDXDXDXDnpnXEXEXEXEnXXXniiiXnXXXX于是相互独立且反之次发生第其中设解17．设随机变量X在(a,b)上服从均匀分布，求E（X），D（X）。

解：X的概率密度为 122)(42)(3222)]([)2()(232212)(2)2(221)()(,0,1)(abbababaxEXEXDbbabadxabxdxxfxXEbabdxabxdxxxfXEbxaabxf其它18．设随机变量X服从分布，其概率密度为

22222)]([)2()(02212)2(01)(:).(),(,0,0,00,1)(XEXEXDdxxeXXEdxxeXXEXDXExxxexf解求常数是其中19．已知X—N（μ，σ2），求E（X），D（X）。

22222)]([)2()(2222)(21)(2)(212)2(2)(21)(2)(21)(:222222XEXEXDdttettxdxxexXEdttettxdxxexXE设设为解20．在总体N（52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X落在50.8到53.8之间的概率。

8293.0)14.1()71.1(05.12.105.18.163.6528.5363.65263.6528.50)8.538.50(:XPXP解21．已知X—t(n)，求证X2—F(1，n) ),1(2/1/2/22.),(2~),1,0(~/)(:nFxFnVUVVUxVUnxVNUnVUXntX分布定义即知由于是相互独立与且其中必有由证明

22．设nXXX,...2,1为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。

niiXnniixndLdnXXXnnixLnicniXnniixcnndLdnXXXncnniixcLxxxfccxcxxcxf12)ln(2ˆ,01ln212)(ln1)....21(211)()2(1lnlnˆ,10lnln)(ln)1()...21(1)1()()1(:,0,,010,1)()2(,0,0,,0,)1()()1(解得似然方程为似然函数为解得似然方程为似然函数为解为未知参数其中其它为未知参数为已知其中

23．设总体为随机变量X，且E（X）=a（常数，未知），试说明样本平均值X是a的无偏估计量。

的无偏估计量是即解aXniananiXEnniiXnEXE11)(111)(:

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【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

【概率论与数理统计经典计算题题2】期末复习题含答案

work Information Technology Company.2020YEAR

概率论与数理统计计算题（含答案）

计算题

1.一个盒子中装有6只晶体管，其中2只是不合格品。现作不放回抽样，接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，1只是不合格品；（3）至少有1只是合格品。

1-2,9-2.设甲，乙，丙三个工厂生产同一种产品，三个厂的产量分别占总产量的20%，30%，50%，而每个工厂的成品中的次品率分别为5%，4%，2%，如果从全部成品中抽取一件，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是甲，乙，丙工厂生产的概率。

3.设随机变量X的分布函数为1(1), 0() 0, 0xxexFxx，试求：（1）密度函数()fx；（2）(1)PX，(2)PX 。

4.二维随机变量(,)XY只能取下列数组中的值：1(0,0),(1,1),(1,),(2,0)3，且取这些组值的概率分别为1115,,,312612。求这二维随机变量分布律，并写出关于X和关于Y的边缘分布律。

5. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，试求下列事件的概率：（1）其中恰好有一位精通英语；（2）其中恰好有两位精通英语；（3）其中有人精通英语。

6.某大型体育运动会有1000名运动员参加，其中有100人服用了违禁药品。在使用者中，假定有90人的药检呈阳性，而在未使用者中也有5人检查为阳性。如果一个运动员的药检是阳性，则这名运动员确实使用违禁药品的概率是多少？

7.设随机变量X的密度函数为||(),xfxAexR，试求：（1）常数A；（2）(01)PX 。

8. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为

求：(1)(X，Y)关于X的边缘分布律；(2)X+Y的分布律．

概率论习题全部

概率论习题全部

概率论习题全部

概率论习题全部1

习题⼀

习题⼀1. ⽤集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

（1）掷两枚均匀骰⼦，观察朝上⾯的点数，事件A表⽰“点数之和为7”；

（2）记录某电话总机⼀分钟内接到的呼唤次数，事件A表⽰“⼀分钟内呼唤次数不超过3次”；

（3）从⼀批灯泡中随机抽取⼀只，测试它的寿命，事件A表⽰“寿命在2 000到2 500⼩时之间”.2. 投掷三枚⼤⼩相同的均匀硬币，观察它们出现的⾯.

（1）试写出该试验的样本空间；

（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={⾄少出现⼀个正⾯}，B={出现⼀正、⼆反}，C={出现不多于⼀个正⾯}；

（3）如记A={第i枚硬币出现正⾯}（i=1，2，

i

3），试⽤123

A A A表⽰事件A，B，C.

,,

3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码⼩

习题⼀ 2 于5}，问下列运算表⽰什么事件：

（1）A B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；

（6）B C ；（7）A C -. 4. 在区间上任取⼀数，记112A x x ??=<≤，1342B x x ??=≤≤，求下列事件的表达式：（1）A B ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B .

5. ⽤事件A ，B ，C 的运算关系式表⽰下列

事件：

（1）A 出现，B ，C 都不出现；

（2）A ，B 都出现，C 不出现；

（3）所有三个事件都出现；

（4）三个事件中⾄少有⼀个出现；

（5）三个事件都不出现；

（6）不多于⼀个事件出现；

（7）不多于⼆个事件出现；（8）三个事件中⾄少有⼆个出现.6. ⼀批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表⽰事件“第次抽到废品”，试⽤的运算表⽰下列各个事件：

（1）第⼀次、第⼆次中⾄少有⼀次抽到废品；

（2）只有第⼀次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；]2,0[i A i i

概率论习题及答案

概率论习题及答案

概率论习题

一、填空题

1、掷21n次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是 .

2、把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.

3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率 .

4、已知()0.7,()0.3,PAPAB 则().PAB

5、已知()0.3,()0.4,()0.5,PAPBPAB 则(|).PBAB

6、掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为..

7、设()0.4,()0.7,PAPAB 假设,AB独立，则().PB

8、设,AB为两事件，11()(),(|),36PAPBPAB 则(|).PAB

9、设123,,AAA相互独立，且2(),1,2,3,3iPAi 则123,,AAA最多出现一个的概率是.

10、某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为 .

11、一枚硬币独立的投3次，记事件A“第一次掷出正面”，事件B“第二次掷出反面”，事件C“正面最多掷出一次”。那么(|)PCAB= 。

12、已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,求此人是男性的概率 。

13、将3个球随机的放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

杯中最多有两个球时，概率为 。

14、把CBA表示为互不相容事件的和是 。

15、,,ABC中不多于两个发生可表示为 。

二、选择题

1、下面四个结论成立的是〔 〕

概率论练习题与解析.

概率论练习题与解析.

概率与数理统计释疑解难

208 十、概率论与数理统计

一、填空题

1、设在一次试验中，事件A发生的概率为p。现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为np)1(1；而事件A至多发生一次的概率为1)1()1(nnpnpp。

2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

解：用iA代表“取第i只箱子”，i=1，2，3，用B代表“取出的球是白球”。由全概率公式

12053853163315131)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP

由贝叶斯公式 概率与数理统计释疑解难

209 5320120536331)()|()()|(222BPABPAPBAP

3、 设三次独立试验中，事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率为 。

解：设事件A在一次试验中出现的概率为)10(pp，则有2719)1(13p，从而解得31p

4、已知随机事件A的概率5.0)(AP，随机事件B的概率6.0)(BP及条件概率8.0)|(ABP，则和事件BA的概率)(BAP= 。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(ABPAPBPAPABPBPAPBAP

5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，概率与数理统计释疑解难

210 其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。

用A代表事件“甲命中目标”，B代表事件“乙命中目标”，则BA代表事件“目标被命中”，且