最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-5同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-5仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4习题7-51. 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0.2. 求过点M 0(2, 9, -6)且与连接坐标原点及点M 0的线段OM 0垂直的平面方程.解所求平面的法线向量为n =(2, 9, -6), 所求平面的方程为 2(x -2)+9(y -9)-6(z -6)=0, 即2x +9y -6z -121=0.3. 求过(1, 1, -1)、(-2, -2, 2)、(1, -1, 2)三点的平面方程. 解 n 1=(1, -1, 2)-(1, 1, -1)=(0, -2, 3),n 1=(1, -1, 2)-(-2, -2, 2)=(3, 1, 0),所求平面的法线向量为 k j i k j i n n n 69301332021++-=-=?=, 所求平面的方程为-3(x -1)+9(y -1)+6(z +1)=0, 即x -3y -2z =0.4. 指出下列各平面的特殊位置, 并画出各平面:(1)x =0;解 x =0是yOz 平面.(2)3y -1=0;解 3y -1=0是垂直于y 轴的平面, 它通过y 轴上的点)0 ,31 ,0(. (3)2x -3y -6=0;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4解 2x -3y -6=0是平行于z 轴的平面, 它在x 轴、y 轴上的截距分别是3和-2. (4)03=-y x ;解 03=-y x 是通过z 轴的平面, 它在xOy 面上的投影的斜率为33. (5)y +z =1;解 y +z =1是平行于x 轴的平面, 它在y 轴、z 轴上的截距均为1.(6)x -2z =0;解 x -2z =0是通过y 轴的平面.(7)6x +5-z =0.解 6x +5-z =0是通过原点的平面.5. 求平面2x -2y +z +5=0与各坐标面的夹角的余弦.解此平面的法线向量为n =(2, -2, 1).此平面与yOz 面的夹角的余弦为 321)2(22||||) ,cos(cos 122^=+-+=??==i n i n i n α; 此平面与zOx 面的夹角的余弦为 321)2(22||||) ,cos(cos 122^-=+-+-=??==j n j n j n β; 此平面与xOy 面的夹角的余弦为 311)2(21||||) ,cos(cos 122^=+-+=??==k n k n k n γ.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢46. 一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程.解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 3011112-+=-=?=, 所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.7. 求三平面x +3y +z =1, 2x -y -z =0, -x +2y +2z =3的交点.解解线性方程组=++-=--=++3220213z y x z y x z y x得x =1, y =-1, z =3. 三个平面的交点的坐标为(1, -1, 3).8. 分别按下列条件求平面方程:(1)平行于zOx 面且经过点(2, -5, 3);解所求平面的法线向量为j =(0, 1, 0), 于是所求的平面为0?(x -2)-5(y +5)+0?(z -3)=0, 即y =-5.(2)通过z 轴和点(-3, 1, -2);解所求平面可设为Ax +By =0.因为点(-3, 1, -2)在此平面上, 所以-3A +B =0,将B =3A 代入所设方程得Ax +3Ay =0,所以所求的平面的方程为仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 x +3y =0,(3)平行于x 轴且经过两点(4, 0, -2)和(5, 1, 7).解所求平面的法线向量可设为n =(0, b , c ). 因为点(4, 0, -2)和(5, 1, 7)都在所求平面上, 所以向量n 1=(5, 1, 7)-(4, 0, -2)=(1, 1, 9)与n 是垂直的, 即b +9c =0, b =-9c ,于是 n =(0, -9c , c )=-c (0, 9, -1).所求平面的方程为9(y -0)-(z +2)=0, 即9y -z -2=0.9. 求点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离.解点(1, 2, 1)到平面x +2y +2z -10=0的距离为 1221|1012221|222=++-?+?+=d .。
同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数第七章空间解读几何与向量代数教案目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教案重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教案难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7. 1 向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号:以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F .自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a 和b 的大小相等,且方向相同,则说向量a 和b 是相等的,记为a =b .相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a 与b 平行,记作a // b .零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念.设有k (k ≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k 个终点和公共起点在一个平面上,就称这k 个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法:设有两个向量a 与b ,平移向量使b 的起点与a 的终点重合,此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和,记作a +b ,即c =a +b . 三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时,平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ;(2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n 个向量a 1,a 2,,a n (n ≥3)相加可写成bacABCABCa 1+a 2++a n ,并按向量相加的三角形法则,可得n 个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a 1,a 2,,a n ,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和. 负向量:设a 为一向量,与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量,记为-a . 向量的减法:我们规定两个向量b 与a 的差为b -a =b +(-a ).即把向量-a 加到向量b 上,便得b 与a 的差b -a . 特别地,当b =a 时,有 a -a =a +(-a )=0.显然,任给向量→AB 及点O ,有→→→→→A O OB OB O A AB -=+=,因此,若把向量a 与b 移到同一起点O ,则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a . 三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理,有|a +b |≤|a |+|b |及|a -b |≤|a |+|b |,其中等号在b 与a 同向或反向时成立. 2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数λ的乘积记作λa ,规定λa 是一个向量,它的模|λa |=|λ||a |,它的方向当λ>0时与a 相同,当λ<0时与a 相反.当λ=0时,|λa |=0,即λa 为零向量,这时它的方向可以是任意的. 特别地,当λ=±1时,有1a =a ,(-1)a =-a .运算规律:(1)结合律λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb .b-a b -abab -a例1.在平行四边形ABCD 中,设?→?AB =a ,?→AD =b .试用a 和b 表示向量?→?MA 、?→?MB 、?→?MC 、?→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点. 解由于平行四边形的对角线互相平分,所以a +b ?→→==AM AC 2,即-(a +b )?→=MA 2, 于是21-=?→MA (a +b ).因为?→→-=MA MC ,所以21=?→MC (a +b ).又因-a +b ?→→==MD BD 2,所以21=?→MD (b -a ).由于?→→?-=MD MB ,所以21=?→MB (a -b ).例1在平行四边形ABCD 中,设→a =AB ,→b =AD .试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点.解由于平行四边形的对角线互相平分,所以→→→MA AM AC 22-===+b a ,于是→)(21b a +-=MA ;→→)(21b a +=-=MA MC . 因为→→MD BD 2==+-b a , 所以→)(21a b -=MD ;→21-=MB 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a . 于是a =|a |e a . 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a .于是a = | a | e a .定理1 设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ,使b =λa .证明: 条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.设b //a .取||a b ||||=λ,当b 与a 同向时λ取正值,当b 与a 反向时λ取负值,即b =λa .这是因为此时b 与λaBCD BCD同向,且|λa |=|λ||a ||b ||a a b ==|||||. 再证明数λ的唯一性.设b =λa ,又设b =μa ,两式相减,便得(λ-μ)a =0,即|λ-μ||a |=0. 因|a |≠0,故|λ-μ|=0,即λ=μ.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ,对于轴上任一点P , 对应一个向量→OP , 由→OP //i , 根据定理1, 必有唯一的实数x , 使→OP =x i (实数x 叫做轴上有向线段→OP 的值), 并知→OP 与实数x 一一对应. 于是点P ?向量→OP = x i ?实数x ,从而轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数x 为轴上点P 的坐标. 由此可知, 轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是→OP = x i .三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴,依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面:在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面,另两个坐标面是yOz 面和zOx 面. 卦限:三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy 面的上方.在xOy 面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy 面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式:任给向量r ,对应有点M ,使→r =OM .以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有→→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,设→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =,则→k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式,x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量.显然,给定向量r ,就确定了点M 及→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =三个分向量,进而确定了x 、y 、z 三个有序数。
《高等数学》第六版同济大学上册课后答案详解
第六版同济大学高等数学上册课后答案详解
《高等数学第六版上册》是2007年高等教育出版社出版的图书。
本书是同济大学数学系编《高等数学》的第六版，依据最新的“工科类本科数学基础课程教学基本要求”，为高等院校工科类各专业学生修订而成。
本次修订时对教材的深广度进行了适度的调整,使学习本课程的学生都能达到合格的要求,并设置部分带*号的内容以适应分层次教学的需要;吸收国内外优秀教材的优点对习题的类型和数量进行了凋整和充实,以帮助学生提高数学素养、培养创新意识、掌握运用数学工具去解决实际问题的能力;对书中内容进一步锤炼和调整,将微分方程作为一元函数微积分的应用移到上册,更有利于学生的学习与掌握。
本书分上、下两册出版,上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容,书末还附有二、三阶行列式简介、几种常用的曲线、积分表、习题答案与提示
高等数学是大学必修数学科目之一，当然这对于非数学专业的同学而言，简直就是难上加难，但是对于数学专业同学而言，这就是基础课，必须踏踏实实的学好，否则对于以后的学习真的就是难上加难，牧边我就是深有体会啊。
