第六节 利用导数解决函数的零点问题
考点1 判断、证明或讨论函数零点的个数
判断函数零点个数的3种方法
直接法 令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数
画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可
定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决
(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：
(1)f′(x)在区间－1，π2存在唯一极大值点；
(2)f(x)有且仅有2个零点．
[证明] (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－11＋x，g′(x)＝－sin x＋1（1＋x）2.当x∈－1，π2时，g′(x)单调递减，而g′(0)＞0，g′π2＜0，可得g′(x)在－1，π2有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)＞0；当x∈α，π2时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(－1，α)单调递增，在α，π2单调递减，故g(x)在－1，π2存在唯一极大值点，即f′(x)在－1，π2存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(ⅰ)当x∈(－1，0]时，由(1)知，f′(x)在(－1，0)单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－1，0)单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1，0]的唯一零点． (ⅱ)当x∈0，π2时，由(1)知，f′(x)在(0，α)单调递增，在α，π2单调递减，而f′(0)＝0，f′π2＜0，所以存在β∈α，π2，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)＞0；当x∈β，π2时，f′(x)＜0.故f(x)在(0，β)单调递增，在β，π2单调递减．
导数中的零点问题解决方法
解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。
一、能直接分离参数的零点题目
此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。
例1.已知函数(),()lnafxxgxxx，若关于x的方程2()()2gxfxex只有一个实数根，求a的值。
解析：22()ln()22gxxfxeaxexxx，令2ln()2xhxxexx，'21ln()22xhxxex，令'()0hx，则xe
当0xe时，'()0hx，()hx单调递增；当xe时，'()0hx，()hx单调递
减，2max1()()hxheee
—
注意这里()hx的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()hx的式子很复杂，但是如果把()hx当成两个函数的和，即2ln(),()2xmxnxxexx，此时(),()mxnx的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()hx的单调性和极值点。
所以21aee（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）
二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）
这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()fx在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()fx在区间(0,1)上存在极值点。
在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。
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一．方法综述
导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究fx的单调性，往往需要解方程0fx＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题.
二．解题策略
类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点
【例1】【2020·福建南平期末】已知函数21exfxxax.
（1）讨论fx的单调性；
（2）若函数21e1xgxxmx在1,有两个零点，求m的取值范围.
【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为11exfxaxx，再对参数a分类讨论可得；
（2）依题意可得21exgxmx，当0m函数在定义域上单调递增，不满足条件；
当0m时，由（1）得gx在1,为增函数，因为01gm，00g.再对1m，1m，01m三种情况讨论可得.
【解析】（1）因为21xfxxaxe，所以221exfxxaxa，
即11exfxaxx.
由0fx，得11xa，21x.
①当0a时，21e0xfxx，当且仅当1x时，等号成立.
故fx在,为增函数.
②当0a时，11a，
由0fx′得1xa或1x，由0fx′得11ax；
所以fx在,1a，1,为增函数，在1,1a为减函数.
③当0a时，11a，
由0fx′得1xa或1x，由0fx′得11xa；
导数大题零点问题解题技巧
导数大题零点问题的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 确定函数的单调性：通过求导数并判断导数的正负，可以确定函数的单调性。如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的值域就是连续的，因此在这个区间内函数最多只有一个零点。
2. 利用零点存在定理：如果函数在区间端点的函数值异号，即 f(a)f(b)<0，则函数在这个区间内至少有一个零点。
3. 构造函数：通过构造函数，可以将问题转化为求函数的最值问题，从而找到函数的零点。
4. 结合图像：通过画出函数的图像，可以直观地观察函数的零点位置和个数。
5. 转化问题：将问题转化为其他形式，例如转化为求函数的最值问题、不等式问题等，从而简化问题。
在解题过程中，要注意以下几点：
1. 确定函数的定义域和值域，确保函数的连续性和可导性。
2. 注意函数的奇偶性和周期性，这些性质可能会影响函数的零点位置和个数。
3. 注意函数的极值点和拐点，这些点可能是函数的零点或拐点。
4. 注意题目中的隐含条件，例如函数在某点的导数值、函数在某区间的单调性等。
5. 注意计算精度和误差控制，避免计算错误导致答案不准确。
