求轨迹方程的方法
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1 §2.1 曲线与方程
知识点一 直接法求曲线的方程
已知线段AB的长度为10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是________．
解析 设点P的坐标为(x，y)，则A点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)．由两点间的距离公式可得(2x)2＋(2y)2＝10，即(2x)2＋(2y)2＝100，
整理、化简得x2＋y2＝25.
答案 x2＋y2＝25
知识点二 代入法求曲线的方程
已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
分析 由重心坐标公式，可知△ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线y＝x2＋3上运动，故重心与C相关联．因此，设出重心与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程y＝x2＋3即可．
解 设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得
x＝0＋6＋x′3，y＝0＋0＋y′3
∴ x′＝3x－6，y′＝3y.
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
∴3y＝(3x－6)2＋3，①
整理，得y＝3(x－2)2＋1，
故所求轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
知识点三 定义法求曲线的方程
设A(1,0)，B(－1,0)，若动点M满足kMA·kMB＝－1，求动点M的轨迹方程．
解 如图所示，设动点M的坐标为(x，y)．由题意知：MA⊥MB. 2
所以△MAB为直角三角形，AB为斜边．
又因为原点O是AB的中点，
所以，|MO|=12， |AB|=1，所以，动点M在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上．
根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2=1.
又因为动点M不能与点A，B重合，所以，x≠±1，
所以，动点M的轨迹方程为x2+y2=1 (x≠±1)．
知识点四 参数法求曲线的方程
已知定点P(a，b)不在坐标轴上，动直线l过点P，并分别交x轴，y轴于点A，B，分别过A，B作x轴，y轴的垂线交于点M，求动点M的轨迹方程．
解 设M(x，y)，并设l：y－b＝k(x－a)，由题意知k存在，且k≠0，则得A(a－bk，0)，B(0，b－ak)，又AM，BM分别是x轴，y轴的垂线，得M(a－bk，b－ak)．
即 x＝a－bk，y＝b－ak，消去参数k，
得xy－ay－bx＝0.
所以动点M的轨迹方程是xy－ay－bx＝0.
知识点五 交轨法求曲线的方程
如果两条曲线的方程是f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0，它们的交点是P(x0，y0)，证明：f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲线也经过P点(λ∈R)，并求经过两条曲线x2＋y2＋3x－y＝0和3x2＋3y2＋y＝0的交点的直线方程．
解 ∵P(x0，y0)是两曲线的交点，
∴f1(x0，y0)＝0，f2(x0，y0)＝0，
∴f1(x0，y0)＋λf2(x0，y0)＝0.
即方程f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的曲线经过P点．
x2＋y2＋3x－y＝0， ①3x2＋3y2＋y＝0， ②
①×3－②得9x－4y＝0.
即过两曲线的交点的直线方程为9x－4y＝0.
3 考点赏析
1.(福建高考) 如图，已知点F（1,0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP·QF=FP·FQ.
求动点P的轨迹C的方程.
解 方法一 设点P(x，y)，则Q(1，y)，
由PQ→·QF→＝FP→·FQ→ 得：(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
化简得C：y2＝4x.
方法二 由
QF→·QF→＝FP→·FQ→
得：(PQ→·(PQ→＋PF→)
＝0，
∴ PF→－PF→)·(PQ→＋PF→)＝0，
PQ→2－PF→2－PF→2＝0，
∴ |PQ→|＝|PF→|.
所以点P的轨迹C是抛物线，
由题意，轨迹C的方程为：
y2＝4x.
2.（陕西高考）如图所示，三定点A（2，1），B（0， 1），C（2，1）；三动点D，E，M满足AD=tAB，BE=tBC，DM =tDE，t∈［0，1］.
(1)求动直线DE斜率的变化范围；
(2)求动点M的轨迹方程．
解 (1)设D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y)
由AD=tAB，BE=tBC，知（xD 2，yD 1）= t（2， 2），
∴ xD＝－2t＋2，yD＝－2t＋1.同理 xE＝－2t，yE＝2t－1.
∴kDE＝yE－yDxE－xD＝2t－1－(－2t＋1)－2t－(－2t＋2)＝1－2t.
∵t∈[0,1]，∴kDE∈[－1,1]．
（2）∵ tDE→＝tDE→，
∴(x＋2t－2，y＋2t－1)
＝t(－2t＋2t－2,2t－1＋2t－1) 4 ＝t(－2,4t－2)＝(－2t,4t2－2t)．
∴ x＝2(1－2t)，y＝(1－2t)2.
∴y＝x24，即x2＝4y.
∵t∈[0,1]，
∴x＝2(1－2t)∈[－2,2]．
所求轨迹方程为x2＝4y，x∈[－2,2]
1．如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是( )
A．坐标满足f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
答案 D
解析 对于命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”的否定是“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”，即至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足方程f(x，y)＝0.
2．△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)
答案 C
解析 易知B、C中点D即为原点O，所以|OA|＝3，
所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，
又因△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠0.所以选C.
3．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
答案 B
解析 由两点式，得直线AB的方程是y－04－0＝x＋12＋1，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|＝(2＋1)2＋42＝5.设C的坐标为(x，y)，则12×5×|4x－3y＋4|5＝10，即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
4．在下列图中方程表示图中曲线的是( ) 5
答案 C
解析 对于A，方程x2+ y2=1表示一个完整的圆．对于B，x2y2=(x+y)(xy)=0，它表示两条相交直线．对于D，由lgx+lgy=0知xy=1，x>0且y>0.
5. 设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP=2PA，且OQ·AB= 1，则P点的轨迹方程是 ( )
A．3x2＋32y2＝1(x>0，y>0)
B．3x2－32y2＝1(x>0，y>0)
C.32x2－3y2＝1(x>0，y>0)
D.32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
答案 D
解析 如图所示，若P(x，y)，则A32x，0，B(0,3y)，
AB＝－32x，3y，OQ→＝－32x，3y，OQ→＝(－x，y)，
AB→＝－32x，3y，OQ→＝1，∴32x2＋3y2＝1(x>0，y>0)，
即为点P轨迹方程．
6．设动点P是曲线y＝2x2＋1上任意一点，定点A(0，－1)，点M分PA所成的比为2∶1，则点M的轨迹方程是( )
A．y＝6x2－13 B．y＝3x2＋13
C．y＝－3x2－1 D．x＝6y2－13
答案 A
解析 设点M的坐标为(x0，y0)，因为点A(0，－1)，点M分PA所成的比为2∶1，所以P点的坐标为(3x0,3y0＋2)，代入曲线y＝2x2＋1得y0＝6x20－13，即点M的轨 6 迹方程是y＝6x2－13.
7．点P(a，b)是单位圆上的动点，则Q(a＋b，ab)的轨迹方程是________________．
答案 x2－2y－1＝0
解析 设Q(x，y)则 x＝a＋b，y＝ab.因为a2＋b2＝1，即(a＋b)2－2ab＝1.所以x2－2y＝1.所以点Q的轨迹方程是x2－2y－1＝0.
8．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，y2)，C(x，y) 若AB⊥BC，则动点C的轨迹方程为________．
答案 y2＝8x
解析 AB＝－32x，3y，OQ→＝(0，y2)－(－2，y)＝(2，－y2)，
BC＝(x，y)－(0，y2)＝(x，y2)．
因为AB⊥BC,所以AB·BC,
所以(2，－y2)·(x，y2)＝0，即y2＝8x.所以动点C的轨迹方程为y2＝8x.
9．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解 方法一 设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)．
∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝4－02－2x(x≠1)，kPB＝4－2y2－0，
∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)．
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，
它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
方法二
