江西省南昌十九中2013届高三第三次月考数学试卷(文科)

江西省南昌十九中2013届高三第三次月考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（每题5分，共50分）

1．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（ ）

A． 21 B． 18 C． 14 D． 9

考点： 元素与集合关系的判断．

专题： 计算题．

分析： 根据新定义A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，把集合A与集合B中的元素分别代入再求和即可求出答案．

解答： 解：∵A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，

∴A*B={2，3，4，5}，

∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，

故选C．

点评： 本题考查了元素与集合关系的判断，属于基础题，关键是根据新定义求解．

2．（5分）（2011•辽宁）设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）

A． [﹣1，2] B． [0，2] C． [1，+∞） D． [0，+∞）

考点： 对数函数的单调性与特殊点．

专题： 分类讨论．

分析： 分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．

解答： 解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，

∴0≤x≤1．

当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，

∴x≥1，

故答案为[0，+∞）．

故选D．

点评： 本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．

3．（5分）（2009•重庆）设△ABC的三个内角A，B，C，向量，，若=1+cos（A+B），则C=（ ）

A． B． C． D．

考点： 三角函数的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 利用向量的坐标表示可求=1+cos（A+B），结合条件C=π﹣（A+B）可得sin（C+=，由0＜C＜π可求C

解答： 解：因为

=

又因为

所以

又C=π﹣（B+A）

所以

因为0＜C＜π，所以

故选C．

点评： 本题主要以向量的坐标表示为载体考查三角函数，向量与三角的综合问题作为高考的热点，把握它的关键是掌握好三角与向量的基本知识，掌握一些基本技巧，还要具备一些运算的基本技能．

4．（5分）已知奇函数f（x）定义在（﹣1，1）上，且对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立，若f（2x﹣1）+f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（ ）

A． （，1） B． （0，2） C． （0，1） D． （0，）

考点： 奇偶性与单调性的综合．

专题： 计算题；函数的性质及应用．

分析： 先确定函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，再利用函数是奇函数，即可将不等式转化为具体不等式，从而可求x的取值范围．

解答：

解：∵对任意的x1，x2∈（﹣1，1）（x1≠x2），都有成立，

∴函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减

∵函数是奇函数

∴f（2x﹣1）+f（x﹣1）＞0等价于f（2x﹣1）＞f（1﹣x）

∴，∴0＜x＜

故选D．

点评： 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查解不等式，考查学生的计算能力，确定函数的单调性是关键．

5．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（ ）

A． 18 B． 21 C． 24 D． 15

考点： 数列与三角函数的综合．

专题： 综合题．

分析： 设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故

A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．

解答： 解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，

设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，

则a﹣b=b﹣c=2，

a=c+4，b=c+2，

∵sinA=，

∴A=60°或120°．

若A=60°，因为三条边不相等，

则必有角大于A，矛盾，故A=120°．

cosA=

=

=

=﹣．

∴c=3，

∴b=c+2=5，a=c+4=7．

∴这个三角形的周长=3+5+7=15．

故选D．

点评： 本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．解题是要认真审题，注意余弦定理的合理运用．

6．（5分）（2012•安徽模拟）设函数是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数f'（x）满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（ ）

A． f（2）＞e2f（0），f（2012）＞e2012f（0） B． f（2）＞e2f（0），f（2012）＜e2012f（0）

C． f（2）＞e2f（0），f（2012）＜e2012f（0） D． f（2）＜e2f（0），f（2012）＞e2012f（0）

考点： 利用导数研究函数的单调性．

专题： 计算题．

分析：

根据函数的导数为F′（x）＜0，可得函数是定义在R上的减函数，故有F（2）＜F（0），

推出f（2）＜e2f（0）．同理可得f（2012）＜e2012f（0），从而得出结论．

解答：

解：函数的导数为F′（x）==＜0，

故函数是定义在R上的减函数，

∴F（2）＜F（0），即＜，

f（2）＜e2f（0）．

同理可得f（2012）＜e2012f（0）．

故选B．

点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题．

7．（5分）（2012•安徽模拟）函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A． B． C． x=1 D． x=2

考点： 余弦函数的对称性．

专题： 计算题．

分析： 函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，求出φ，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，求出函数的周期，然后得到ω，求出对称轴方程即可．

解答： 解：函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ=，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，

所以T=4，ω=，所以函数的表达式为：y=﹣sin，显然x=1是它的一条对称轴方程．

故选C

点评： 本题是基础题，考查函数解析式的求法，三角函数的对称性的应用，考查发现问题解决问题的解决问题的能力．

8．（5分）（2012•张掖模拟）设实数x，y满足

，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

考点： 简单线性规划．

专题： 数形结合．

分析：

先根据约束条件画出可行域，设 ，再利用z的几何意义求最值，表示的是区域内的点与点O连线的斜率．故 z的最值问题即为直线的斜率的最值问题．只需求出直线OQ过可行域内的点A时，从而得到z的最大值即可．

解答： 解：作出可行域如图阴影部分所示：

目标函数 ═≥2

当且仅当 =1时，z最小，最小值为：2．

又其中 可以认为是原点（0，0）与可行域内一点（x，y）连线OQ的斜率．

其最大值为：2，最小值为：，

因此 的最大值为

，

则目标函数 则的取值范围是

故选C．

点评： 巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

9．（5分）（2012•张掖模拟）函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2012的值为（ ）

A． B． C． D．

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．

专题： 计算题；导数的概念及应用．

分析： 对函数求导，根据导数的几何意义可求切线在x=1处的斜率，然后根据直线平行时斜率相等的条件可求b，代入可求f（n），利用裂项求和即可求

解答： 解：∵f（x）=x2+bx

∴f′（x）=2x+b

∴y=f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2+b

∵切线与直线3x﹣y+2=0平行

∴b+2=3

∴b=1，f（x）=x2+x

∴f（n）=n2+n=n（n+1）

∴=

∴S2012=

=1﹣

=1﹣=

故选D

点评： 本题以函数的导数的几何意义为载体，主要考查了切线斜率的求解，两直线平行时的斜率关系的应用，及裂项求和方法的应用．

10．（5分）（2012•泉州模拟）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D且x1+x2=2a，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）的对称中心，可得=（ ）

A． 4023 B． ﹣4023 C． 8046 D． ﹣8046

考点： 数列的求和；函数的值．

专题： 计算题．

分析： 函数（x）=x3﹣3x2﹣sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，﹣2），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣4，