高中物理第五章曲线运动第6节向心力教学案新人教版必修2(1)
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1 第6节向心力
一、 向心力
1．向心力
(1)定义：
做匀速圆周运动的物体受到指向圆心的合力。
(2)方向：
始终指向圆心，与线速度方向垂直。
(3)公式：
Fn＝mv2r或Fn＝mω2r。
(4)效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
2．实验验证
(1)装置：细线下面悬挂一个钢球，用手带动钢球使它在某个水平面内做匀速圆周运动，组成一个圆锥摆，如图561所示。
1．做匀速圆周运动的物体受到了指向圆心的合力，这
个合力叫向心力， 它是产生向心加速度的原因。
2．向心力的大小为Fn＝mv2r＝mω2r，向心力的方向始
终指向圆心，与线速度方向垂直。
3．向心力可能等于合外力，也可能等于合外力的一个
分力，向心力是根据效果命名的力。
4．可把一般的曲线运动分成许多小段，每一小段按圆
周运动处理。 2 图561
(2)求向心力：
①可用Fn＝mv2r计算钢球所受的向心力。
②可计算重力和细线拉力的合力。
(3)结论：
代入数据后比较计算出的向心力Fn和钢球所受合力F的大小，即可得出结论：钢球需要的向心力等于钢球所受外力的合力。
二、 变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动
变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果：
(1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述线速度大小变化的快慢。
(2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向。
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧。圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径。这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
1．自主思考——判一判
(1)向心力既可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。(×)
(2)物体做圆周运动的速度越大，向心力一定越大。(×)
(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。(×)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。(√)
(5)圆周运动中，合外力等于向心力。(×)
(6)向心力产生向心加速度。(√)
2．合作探究——议一议
(1)如图562所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动，试问：物体受几个力作用？向心力由什么力提供？ 3
图562
提示：物体受三个力，分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动，向心力等于以上三个力的合力，由于重力与摩擦力抵消，实际上向心力仅由弹力提供。
(2)荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡下时，
图563
①此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
②绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
提示：①秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。
②由于秋千做变速圆周运动，合外力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点。
对向心力的理解
1．向心力的大小
Fn＝man＝mv2r＝mω2r＝mωv。
对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
2．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
3．向心力的作用效果
由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的4 大小，只改变线速度的方向。
1．关于向心力，下列说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生一个向心力
B．向心力不改变物体做圆周运动的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力
D．做一般曲线运动的物体所受的合力即为向心力
解析：选B 向心力是根据力的作用效果命名的，它不改变速度的大小，只改变速度的方向，选项A错误，B正确；做匀速圆周运动的物体的向心力始终指向圆心，方向在不断变化，是变力，选项C错误；做一般曲线运动的物体所受的合力通常可分解为切线方向的分力和法线方向的分力，切线方向的分力提供切向加速度，改变速度的大小，法线方向的分力提供向心加速度，改变速度的方向，选项D错误。
2．一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动。在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做加速圆周运动(如图564所示)，则关于木块A的受力，下列说法正确的是(
)
图564
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力
解析：选D 木块随圆盘做加速圆周运动，摩擦力沿半径方向的分力提供向心力，摩擦力沿切线方向的分力改变速度的大小。所以两个分力合成后的合力不沿半径方向，不指向圆心，只有D项正确。
3. (多选)如图565所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是(
)
图565
A．小球受到重力、线的拉力和向心力三个力 5 B．向心力是线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分量
D．向心力的大小等于Mgtan θ
解析：选BCD 对于匀速圆周运动，向心力是物体实际受到的所有力的指向圆心的合力，受力分析时不能再说物体又受到向心力，故A错误，B正确。再根据力的合成求出合力大小，故C、D正确。
匀速圆周运动的特点及解题方法
1．质点做匀速圆周运动的条件
合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是仅速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以只存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
2．匀速圆周运动的三个特点
(1)线速度大小不变、方向时刻改变。
(2)角速度、周期、频率都恒定不变。
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变，但方向时刻改变。
3．分析匀速圆周运动的步骤
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
(2)将物体所受外力通过力的正交分解，分解到沿切线方向和沿半径方向。
(3)列方程：沿半径方向满足F合1＝mrω2＝mv2r＝4π2mrT2，沿切线方向F合2＝0。
(4)解方程求出结果。
4．几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
Fcos θ＝mgFsin θ＝mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2lsin θ
an＝gtan θ
FNcos θ＝mgFNsin θ＝mω2r
或mgtan θ＝mrω2
an＝gtan θ 6
F升cos θ＝mgF升sin θ＝mω2r
或mgtan θ＝mrω2
an＝gtan θ
FN＝mgF拉＝mBg＝mω2r
an＝ω2r
[典例] 图566甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6, cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
图566
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
[思路点拨]
(1)质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。
(2)质点到竖直轴OO′间的距离为小球圆周运动的半径。
[解析] (1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向：Fcos 37°－mg＝0
解得F＝mgcos 37°＝750 N。 7
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mω2R
R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝ gtan 37°d＋lsin 37°＝32 rad/s。
[答案] (1)750 N (2)32 rad/s
匀速圆周运动解题策略
在解决匀速圆周运动的过程中，要注意以下几个方面：
(1)知道物体做圆周运动轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
(2)分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的。
(3)根据线速度、角速度的特点，选择合适的公式列式求解。
1．未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形 “旋转舱”，如图567所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是( )
图567
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
解析：选B 旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝gr，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B正确。
