2009级试题及解答大一上高数及其答案

武汉理工大学考试试题纸（A卷）

课程名称：高等数学A（上） 专业班级：全校2009级理工类各专业

题号 一 二 三 四 五 六 七 总分

题分

备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

（1）0x是函数arctan()xfxx 的（ ）.

A．连续点； B．可去间断点； C．跳跃间断点； D．无穷间断点.

（2）设函数()fx在0x的某个邻域内具有连续二阶导数，且0()lim11xxfxe，

则()fx在0x处（ ）.

A．有极值； B．无极值； C．无拐点； D．有拐点.

（3）设函数43()fxxx，则使()(0)nf存在的最高阶数n ( ).

A．1； B. 2； C. 3； D. 4.

（4）设函数fx连续，则2fxdx( ).

A.2fxc； B. 2fxc； C. 122fxc； D. 2xfxc.

（5） 设反常积分1kxdx收敛，则（ ）.

A．k＞1； B．k≥1； C．k≤1； D．k＜1.

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

（1）sinlimxxxx .

（2）设函数()fx可导，且22(sin)(cos)yfxfx，则dydx .

（3）0sinnxdx .

（4）设()sinfxxx，则(6)(0)f .

（5）曲线21ln102yxx的弧长为 . 三、计算题（本题共2小题，每小题7分，共14分）

(1) 1sinsin22sinlimsin2xxx.

(2) 求正常数,ab，使得22001tlim3sinxxdtbxxat.

四、计算下列导数或微分（本题共2小题，每小题7分，共14分）

(1) 2ln(1)arctanxtyt，求22dydx.

(2) 设函数)(xfy由方程2cossin1xyytdte确定，求dy.

五、计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，共21分）

(1) arctanxxdx

(2) 21212cos11xxxdxx

(3) 20100xxedx.

六、.应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）

(1) 求函数321xyx的增减区间和凹凸区间，并求其极值和拐点。

(2) 试确定常数C之值，使得曲线2yxCx与直线1,2xx及x

轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小。

七、证明题（本题满分5分）

设函数()fx在,ab上连续，()()0bbaafxdxxfxdx，

求证：,,,()ab，使得()0,()0ff. 武汉理工大学2009级理工类各专业

高等数学A（上）试题（A卷）答案及评分标准

一、（1）B; （2）D; （3）B; （4）C; （5）A .

二、（1）1; （2）22sin2(sin)(cos)xfxfx; （3）2n;

（4）6; （5）1ln32.

三、（1）解： 1sinsin22sinlimsin2xxx＝1sinsin22sinsin2lim1sin2xxx --------(4分)

＝sin21sinsin2sin22sinsin2lim1sin2xxx ------(6分)

＝1sin2e. --------------(7分)

（2）解：220/lim3cosxxaxbx ------------(3分)

0limcos01xbxb ------------(5分)

22200/24lim3lim31cos9xxxaxaxax

------------(7分)

四、（1）解： 221/(1)12/(1)2dytdxttt ----------------- (4分)

2222231/212/(1)4dyttdxttt. -------------------(7分)

（2）解： 两边同时求导得, 2cos2cos0yxyyey ------(4分)

即 2cos2cosyxyye --------------------(6分)

故2cos2cosyxdydxye. -------------------(7分) 五、（1）解：

原式2211arctanarctan(1)22xdxxdx ------------(3分)

＝211arctan12xxdx ----------------(6分)

＝21arctanarctan2xxxxc. -----------------(7分)

（2）解：

原式2120411xdxx ----------------------(3分)

120411xdx ------------------------(5分)

4144 -----------------------(7分)

（3）解：

令20102010201000xxIxedxxde -----------(2分)

则 201020092010020100xxxIxedxe ----------(4分)

即 20102009020102010!III -----------------(6分)

又 0010xxIedxe，

故20102010!I. -----------------------(7分)

六、（1）解：

23436,,,11,11xxxyyxxx ------ (2分)

故 函数的单调增加区间为,13,；函数的单调减少区间为

1,3；函数有极小值3274xy -------------(5分)

函数在区间,0内是向上凸的，在区间0,11,内是向上

凹的，拐点坐标为0,0。 -------------(8分)

（2）解：

2221()()Vcxcxdt --------------------(4分)

231157()523Vccc ------------------------(5分)

令6215()052Vcc,得 75124c -------------(6分)

又 62()05Vc

故 75124c为唯一极小值点，亦即是最小点. --------(8分)

七、证明：

令()()()()0xaFxftdtFaFb， ---------------(2分)

()()()0(,),()0bbaabxfxdxxFxFxdxabFa ----(3分)

对()Fx在区间,,,ab上分别应用Rolle定理，得

,,,,()ab，使得()0,()0ff. ------(5分)