第2课时 二次根式的混合运算

在教学方法上，我也要不断尝试创新。例如，利用多媒体教学手段，以动画或图像的形式展示二次根式的混合运算过程，让学生更加直观地理解。同时，引入一些趣味性的数学游戏，让学习变得更加轻松愉快。
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。

人教版八年级下册第2课时 二次根式的混合运算(146)1.先化简，再求值:1−a 2+4ab+4b 2a 2−ab ÷a+2b a−b，其中a,b 满足(a −√2)2+√b +1=0. 2.进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如√3，√23，√3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： √3=√3√3×√3=5√33；(一) √23=√2×33×3=√63；(二) √3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1.(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 我们还可以用以下方法化简： √3+1=√3)22√3+1=√3−1)(√3+1)√3+1=√3−1.(四)(1)请用不同的方法化简√5+√3：参照(三)式得√5+√3= ；参照(四)式得√5+√3= ．(2)化简√3+1√5+√3√7+√5+…√2017+√2015．3.①计算√12+√6×√12时，先算 法，再算 法，过程如下：原式= + = ．②计算(√18−√8)×√2时，先算 里面的，再算 法；也可利用 律，先算 法，再算 法，结果是 ．4.下列计算错误的是（） A.√2×√3=√6B.√2+√3=√5C.√12÷√3=2D.√8−√2=√25.计算（5√15−2√45）÷(−√5)的结果为（） A.5 B.−5 C.7 D.−76.化简√3−√3(1−√3)的结果是（）A.3B.−3C.√3D.−√37.计算：(1)√20+√5(2+√5);(2)√48÷√3+√12×√12−√24．8.下列各数中，与2−√3的积不含二次根式的是（）A.2+√3B.2−√3C.√3−2D.√39.计算：(√2+1)(√2−1)=．10.计算:(2+√3)2−(2−√3)2=．11.已知长方形的长为(2√5+3√2)cm，宽为(2√5−3√2)cm，则长方形的面积为cm2.12.计算：(1)(√5+2)2；(2)(2√3−√2)2.13.已知x=√3+√2，y=√3−√2，求x3y−xy3的值．14.若(2√3−3√2)2=m−√6n(m，n为有理数)，则m，n的值分别为（）A.m=30，n=6B.m=30，n=12C.m=30，n=−12D.m=12，n=−1215.如果5+√7，5−√7的小数部分分别为a,b，那么a+b的值为（）A.0B.−1C.1D.±116.若a=5+2√6，b=2√6−5，则a，b的关系为（）A.互为相反数B.互为倒数C.积为−1D.绝对值相等17.计算：(1)(3√12−2√13+√48)÷2√3；(2)(2√32−√12)(12√8+√23)；(3)(1+√2)2×(1+√3)2×(1−√2)2×(1−√3)2;(4)(2+√3)2017×(2−√3)2018.参考答案1.【答案】:1−a2+4ab+4b2a2−ab ÷a+2ba−b=1−(a+2b)2a(a−b)·a−ba+2b=1−a+2ba=a−a−2ba=−2ba．∵a,b满足(a−√2)2+√b+1=0，∴a−√2=0，b+1=0，∴a=√2，b=−1. 当a=√2，b=−1时，原式=√2=√2【解析】:先将原式化简成最简形式，再根据题意求出a、b的值，最后将其代入求出原式的值.2(1)【答案】√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3；√5)2√3)2√5+√3=√5+√3)(√5−√3)√5+√3=√5−√3【解析】:利用平方差公式分母有理化(2)【答案】原式=√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)+…√2017−√2015(√2017+√2015)(√2017−√2015)=√3−1 2+√5−√32+√7−√52+…+√2017−√20152=√2017−12【解析】:通过分母有理化列项相消即可3.【答案】:乘；加；2√3；√3；3√3；括号；乘；分配；乘；减；2【解析】:考察二次根式的混合运算方法4.【答案】:B【解析】:因为√2与√3的被开方数不相同，不能合并，所以√2+√3=√5错误5.【答案】:A【解析】:(5√15−2√45)÷(−√5)=−5√15÷5+2√45÷5=−5×15+6=56.【答案】:A【解析】:√3−√3(1−√3)=√3−√3+3=3.故选 A.7(1)【答案】原式=2√5+2√5+5=4√5+5【解析】:考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=√48÷3+√1×12−2√62=4+√6−2√6=4−√6【解析】:考察二次根式的混合运算8.【答案】:A【解析】:考察平方差公式的运用9.【答案】:1【解析】:利用平方差公式计算：(√2+1)(√2−1)=(√2)2−1=110.【答案】:8√3【解析】:方法一：(2+√3)2−(2−√3)2=[(2+√3)+(2−√3)][(2+√3)−(2−√3)]= 4×2√3=8√3．方法二：(2+√3)2−(2−√3)2=4+4√3+3−(4−4√3+3)=4√3+4√3=8√311.【答案】:2【解析】:(2√5+3√2)(2√5−3√2)=(2√5)2−(3√2)2=20−18=2(cm2)12(1)【答案】原式=5+4√5+4=9+4√5【解析】:本题考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=12−4√6+2=14−4√6【解析】:本题考察了二次根式的混合运算13.【答案】:x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y)．把x=√3+√2，y=√3−√2代入上式，得原式=(√3+√2)(√3−√2)［(√3+√2)+(√3−√2)］×［(√3+√2)−(√3−√2)］=2√3×2√2=4√6【解析】:先对原式进行因式分解，再代入求值14.【答案】:B【解析】:因为(2√3−3√2)2=(2√3)2−2×2√3×3√2+(3√2)2=30−12√6，所以m=30，n=1215.【答案】:C【解析】:因为5+√7，5−√7的小数部分分别为√7−2,3−√7，故a+b=(√7−2)+(3−√7)=116.【答案】:C【解析】:因为ab=(5+2√6)(2√6−5)=−1，所以a，b的积为−117(1)【答案】原式=(6√3−23√3+4√3)÷2√3=283√3÷2√3=143【解析】:本题考察二次根式的混合运算(2)【答案】原式=(√6−12√2)(√2+13√6)=√6×√2+√6×13√6−1 2√2×√2−12√2×13√6=2√3+2−1−13√3=1+53√3【解析】:本题考察了二次根式的混和运算(3)【答案】原式=[(1+√2)×(1−√2)]2×[(1+√3)×(1−√3)]2 =(1−2)2×(1−3)2=4【解析】:本题考察了二次根式的混和运算(4)【答案】(2+√3)2017×(2−√3)2018=[(2+√3)×(2−√3)]2017×(2−√3)=2−√3【解析】:本题考察了二次根式的混和运算。

二次根式混合运算法则
二次根式混合运算法则是指在计算含有二次根式的算式时，按照一定的顺序进行运算。

这个规则是由平方、开平方、乘法、除法、加法、减法等运算法则组成的。

我们需要知道二次根式的基本性质。

二次根式是指一个数的平方根再开平方根。

例如，√(9+4√5)就是一个二次根式。

我们可以将其化简为a+b√5的形式，其中a和b是有理数。

接下来，我们来看看二次根式混合运算法则的具体步骤。

第一步：先计算二次根式内的运算
如果二次根式内有加减乘除的运算，先进行内部运算。

例如，计算√(3+2√2)+√(3-2√2)。

我们可以将两个二次根式内的加法运算先进行计算，得到：
√(3+2√2)+√(3-2√2)=√3+√2+√3-√2=2√3
第二步：计算二次根式之间的运算
如果算式中含有多个二次根式，先进行二次根式之间的加减运算。

例如，计算√5+√2-√10。

我们可以先将√5和√2进行加法运算，再将结果与√10进行减法运算，得到：
√5+√2-√10=√5+√2+(-√10)=√5+√2-√10
第三步：计算非二次根式的运算
如果算式中还含有非二次根式的运算，最后进行加减运算。

例如，计算(√3+√2)×(√3-√2)。

我们可以先将括号内的二次根式之间的减法运算进行计算，得到：
(√3+√2)×(√3-√2)=√3×√3-√2×√3+√2×√3-√2×√2=3-2=1
我们需要注意的是，在计算含有二次根式的算式时，需要特别注意运算的顺序。

只有按照一定的顺序进行运算，才能得到正确的结果。

(A)3-2 2
(B)2+2 2
(C)1- 2
(D)3+2 2
4.(2016 包头)计算:6 1 - 3 1 2 = -4 3
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5.计算:
(1) 2 (2 6 - 3 );(2)(4 6 -8 2 )÷2 2 ;
(3) 2 3 1 2 ;(4)(3 2 +2 3 )(2 3 -3 2 ).
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第2课时 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算 1.二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算 乘方 ,再算
乘除 ,最后算 加减 ,有括号的先算括号内的. 2.在进行二次根式的混合运算时,实数的运算律和乘法公式都适用.
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探究点一:二次根式的混合运算 【例1】 计算:
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二次根式的混合运算 (1)确定运算顺序; (2)正确应用运算律和乘法公式; (3)结果要化成最简.
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探究点二:与二次根式有关的化简求值
【例2】 (2016青海)先化简,后求值:
(x- 4 x )÷ x2 4x 4 ,其中 x=2+ 3 .
x 1
x 1
【导学探究】
2 32 3
3
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1.下列计算正确的是( C )
(A) 3 + 2 = 5
(B) 3 × 2 =6
(C) 12 - 3 = 3
(D) 8 ÷ 2 =4
2.化简 8 - 2 ×( 2 +2)的结果为( D )
(A)2
(B) 2 -2
(C)2- 2
(D)-2
3.已知 x= 2 -5,则代数式(x+4)2 的值为( A )