如何求极限

高等数学中求极限的方法

高等数学中求极限的方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

1 高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设Axfxx)(lim0，

（i）若A0，则有0，使得当||00xx时，0)(xf；

（ii）若有,0使得当||00xx时，0A,0)(则xf。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为x时函数的极限和0xx的极限。要特别注意判定极限是否存在在：

（i）数列的充要条件收敛于anx是它的所有子数列均收敛于a。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”

（ii）AxxfxAxfxlimlimlim)()(

(iii)AxxxxAxfxxlimlimlim000)(

(iv)单调有界准则

（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）

（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim0xfxx存在的充分必要条件是：|)()(|)(,0,021021xfxfxUxxo时，恒有、使得当

二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。

2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

洛必达法则（定理）

设函数f(x）和F(x）满足下列条件：

⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;

⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;

⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大

则

x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))

注： 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

看到某些书籍或者有人总结的求极限的方法，笔者不禁打了一个寒颤！有的甚至总结了20多种方法，甚至把什么分子分母有理化、初等函数直接代入法都给算作了一种方法。笔者觉得，记那么多方法不累吗？？而且像什么初等函数直接代入法、因式分解法之流的方法都不能算作方法，顶多算作做题时的一种技巧而已。做题多了，自然而然就熟能生巧，根本不需要专门当做一种方法来记，否则那么多方法，又乱又臭，脑袋还不得爆炸啊。因此有笔者今天就把求极限的非常常用的方法给大家梳理一下。

正儿八经真正求解极限的方法有6种最常用的，大家只要把这6种做到了然于胸，每次做题时都能在脑海中过一遍这6种方法，则做题基本无大碍了。

一、两个重要极限

首当其冲的自然是两个重要极限。这个没话说，必须记住。如下：

①0sinlim1xxx

②1lim1xxex或10lim1xxxe

注意：

（1）对于第一个极限而言，只要满足sinlim，且lim0的形式，它的极限就都是1。

===========================

（2）对于第二个极限，实际上只要满足以下两点，其极限都是e：

1、类型为”1∞”，也就是说括号里的极限应该为1，上标的极限应该为∞。

2、形式为11，也就是说括号里面的三角形块的部分要与括号外面的三角形块成倒数关系。

具体咱们来看两道例题吧。

例1：0sin3lim13xxx。

例2：求极限23lim21xxxx 解析：仔细观察这个式子，当x趋于无穷的时候，括号内的极限为1，上标极限为无穷，显然属于1∞类型。所以我们将其配凑成标准形式1lim1x即可。如下

2212122lim212lim1212lim121xxxxxxxxxxxee

二、等价替换

等价替换又称为等价无穷小替换。具体常用替换如下：

1

求极限的各种方法

1．约去零因子求极限

例1：求极限11lim41xxx

【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。

【解】6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx=4

2．分子分母同除求极限

例2：求极限13lim323xxxx

【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。

【解】3131lim13lim311323xxxxxxx

【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；

(2)

nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim011011

2

3．分子(母)有理化求极限

例3：求极限)13(lim22xxx

【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx

0132lim22xxx

例4：求极限30sin1tan1limxxxx

【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim3030

41sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300xxxxxxxxxxx

【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键

4．应用两个重要极限求极限

两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

例5：求极限xxxx11lim