结构力学期末考试及答案

. . . . .. 专业. . . 一、 （6分）图示结构是 多余约束的几何 变体系（简述分析过程） 解：先计算体系的计算自由度W 如果以结点为观察对象：W = 2j – b = 2×6-16 =0 以刚片为对象：W = 3m-2j-b = 3×12 – 2×16 – 4 =0 以三角形组成的不变体系I和II加为III组成三刚片体系。刚片1和2以二平行的连杆组成平行于地面的无穷远处虚铰，实铰（1，3）和（2，3）与此无穷远虚铰不成一线，因而体系为几何不变。 由于W=0，所以本体系为无多余约束的几何不变体系。

此题应先计算W，再分析是否几何可变。如果W>0, 则一定为几何可变；如果W=0,则无多余约束；如果W<0,则有多余约束。

I II III 1，3 2，3

1，2 . . . .

.. 专业. . . 二、 （15分）快速作下列3个图示结构弯矩图 由C点弯矩为零可以判断支座F的水平反力必须向右，得DF段M图。

由右部无垂直支承知梁BC要承担剪力F。得BC段M图。BD段无外力作用，其M图必为一直线，得CD段M图。

F处的水平力只能由A点向左的水平力平衡，所以得DA段M图。

BD段没有竖向剪力，M值不变。 A点的水平反力左向以平衡F，得BA段M图左斜。在F延长线与BA交点处M=0。

铰A， C处M=0。 DE段无剪力，M不变。 BD段无外力，M为一直线，由已知的D点和C点将直线延到B点。

AB段无外力，M为一直线，由已知的B点和A点作直线。

(a) F A B C

D

F E

(b) F A

B D

C

(c) M A B C D E . . . .

.. 专业. . . 45kN/m A C

6m 2m

B

45kN/m M 1 A C

B

M 2

三、 （10分）已知EI = 3.15×1010kNmm2, 求图示等截面梁C点的竖向位移 解： 1、先求支座反力，然后根据支座反力作荷载下的弯矩图

kNFFBA1352645

kNmAFM5.2025.2023135223453max

2、为求梁C点处的竖向位移，在C点处施加一竖向单位力。求单位力作用下的支座反力，并由此做出单位力

作用下的弯矩图M。 3、根据求位移的单位力法

)(0257.00101015.36)05.2022(26610mdxEIMMdxEIMMdxEI

MMCBB

AVC

故C点的竖向位移为25.7mm，方向向上。

简支梁的跨中弯矩可直接由8

2

maxql

M求得

一般情况下是需要先求的反力然后再作弯矩图的，然而在很多情况下单位力作用下的弯矩图可以不通过求反力直接作出，本例即是如此。

BC段的积分为0因为在BC段M=0

负号表示实际位移与单位力的方向相反。

注意EI的单位从kNmm2换算到kNm2。 . . . .

.. 专业. . . 四、 （6分）用机动法作图示连续梁支座C左侧的剪力

影响线 为画C点左侧的剪力影响线，应在

C点左侧制造一单位剪切位移，因C点是一竖向支座，其右侧不可有任何竖向位移，因此只能是其左侧上移一单位位移。B点为铰，可适应此位移，AB段不能有任何位移。

BCD段不容许有剪切位移以外的的任何位移， 因此，CD必须保持与BC段平行。D点为一铰可容许转角发生。

E点位支座，不容许竖向位移发生，由D、E两点即可得到DF段的形状。

机动法假定结构为刚体，只有支座和连接条件容许的变形和单位虚位移才能发生 。

A C D

2m 2m 2m B E F 2m 2m

1 1 1 . . . .

.. 专业. . . 五、 （13分） 选用适当的方法分析图示超静定梁，作弯矩图，求D点的竖向位移。 设梁的EI=5.2×1010KNmm2。

解：如采用位移法分析 以B点转角为未知位移Z1 位移法典型方程： 01111PRZr i = EI/5 r11 = 3i + 3i = 6i kNmMBAF12585402kNmMkNmMCDFBCF1802502240352502240218540222 kNmRP90351251 irRZP151111 由此得：kNmiiiZMMBCFBC8015312531 作弯矩图M。由弯矩图可求得支座反力： 考虑AB段（见右侧脱离体图）： kNFAy8458025402, 中点弯矩kNMABM8525.2405.2842 BD段：kNFCy25058027407502 中点弯矩kNmMBCM55.45025.4405.22502 kNmMCDM7015021402 注，原题为EI=5.2×108KNmm2，数据不合理 本题采用力法和位移法均为一个未知量，作为比较，先用位移法分析，再用力分析得出荷载作用下超静定结构的弯矩图，然后根据单位力法求D点的竖向位移

注意，CD段为静定，C点的任何位移不会引起CD段的力变化，因此MCD保持在180kNm。当B点固定时、C点有弯矩时，B点为C点的远端，因此，MCD的一半会传递到MFBC。

FAy FBy MB=80 40kN/m

A C

D

40kN/m

5m 5m

B 2m

50kN

M1 3i 3i

MP 125 35

180

M 80 180

85 5 70 . . . .

.. 专业. . . 五、力法分析：以C点的支座反力为未知力 力法典型方程：01111Px 对基本结构： kNFAyP166511240750kNmMABM54025.2405.21662 kNmMBCM63025.4405.4502 当单位荷载作用于基本体系时： 1551AyF 作弯矩图M EIEIdxEIMM3.833555211EIEIdxEIMMPP3.83613306302556133054025511 2501111Px 所以： 01AAPAMxMM kNmMxMMABMABPMABM855.22505401 kNmMxMMBBPB80525013301 kNmMxMMBCMBCPMBCM55.22506301 kNmMxMMCCC18002501801 kNmMxMMCDMCDPMCDM700250150214021 据此，画弯矩图M 作为比较，现用力法分析本题

A C

D

40kN/m

5m 5m

B 2m

50kN

MP 1330 50kN 180 1 MM 5

A C

D

40kN/m

5m 5m

B 2m

540 630

A C

D

B

M 85

80 5

180

70 . . . .

.. 专业. . . . . . .

.. 专业. . . 五 (续) 当分析超静定结构得到弯矩图M之后，即可由单位力法求算任意一点的位移。 为了计算D点的垂直位移，要将一个垂直的单位力加在一个由原超静定结构除去冗余约束之后的静定结构上，为了计算简单，取静定结构位如左第三图所示： 单位力作用下的弯矩图VDM如左第四图。 mEIEIdsEIMMdsEIMMdsEIMMdsEIMMDCVDCBVDBAVDVDVD0102.010102.5530670218022618052250610 超静定结构分析得到结构的全部支座反力和力。由于此平衡力系满足所有平衡条件和位移条件，任何一个支座均可被一个与支座反力相等的外力取代，即任何一个支座均可被除去而不会影响原结构的力和变形，因此，在用单位力法计算位移时，可将单位力加在任意一个由原超静定结构除去冗余约束后的静定结构上。

注意单位转换 六、 （20分）利用对称性，选用适当的方法分析图示刚架，作结构弯矩图，已知EI为常数。

解：本结构为一称刚架，将荷载分解为对称荷载和反对称荷载的叠加， 分别分析然后叠加：

2m 6m

6m 2P A B

C D

l/2 l/2

P 已知MF=-3/8Pl

50kN 1 VDMM

2

A C

D

40kN/m

5m 5m

B 2m

A C D B

M 85

80 5

180

70