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七年级下册数学知识点分式七年级下册数学知识点：分式分式在初中数学中起着重要的作用。
分式不仅仅是一个简单的数学概念，还是应用到许多实际问题，尤其是在代数学中常常被使用。
在本文中，将介绍有关分式的定义、简化、运算等基本知识点。
一、分式的定义分式是指一种表达形式，其中包含两个或两个以上的数，并且它们之间以斜线表示分子与分母的关系。
例如：2/3，3/8，x/y 等等。
其中，2/3 表示分子为2，分母为3的分式，3/8 表示分子为3，分母为8的分式，x/y 表示分子为x，分母为y的分式。
二、分式的简化简化分式是指将其分子和分母的公共因数约分至最简形式，例如：4/6 = 2/3,20/100 = 1/5x^2y/xy^2 = x/y三、分式的运算1. 加减法对于分数的加减法，需要将分母化为相同的通分式。
例如：3/4 + 1/6 = 9/12 + 2/12 = 11/122/5 - 3/8 = 16/40 - 15/40 = 1/402. 乘除法对于分数的乘除法，需要分别将分子和分母进行相应的乘除运算。
例如：2/3 * 3/5 = 6/15 = 2/55/6 ÷ 3/10 = 50/18 = 25/9四、分式的应用分式在代数学中有着广泛的应用，例如：1. 比例问题比例问题常常使用分式来解决，例如：如果小明家有8个苹果，他想将这些苹果分给5个朋友，每个人分到的苹果个数相等，那么每个人分到几个苹果？答案为： 8/5 = 1.6每个人可以分到1.6个苹果。
2. 百分数和小数问题百分数和小数问题同样使用分式来解决，例如：将0.6转化为分数表示。
答案为： 0.6 = 6/10 = 3/5因此，0.6可以表示为3/5的分数形式。
总结本文中介绍了分式的定义、简化、运算以及应用。
分式是初中数学中不可或缺的一部分，熟练掌握分式的基本知识点有助于学生更好地掌握代数学知识，解决实际问题。
分式的意义及性质目标认知学习目标1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。
2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。
重点分式的意义及其基本性质。
难点分式的变号法则。
知识要点梳理要点一：分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
要点诠释：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件1、分式有意义的条件是分式的分母不为0；2、分式无意义的条件是分式的分母为零；3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
要点诠释：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
要点三：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
要点诠释：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式的概念及基本性质分式的运算1. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理1.分式的概念形如一（A、B是整式，且B中含有字母，B 0 ）的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，B叫分式的B分母。
注：（1）分式的分母中必须含有字母（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类单项式有理式整式多项式分式3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A A M A A M，（M为整式，且M 0）B B M B B M4. 分式的约分与通分（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幕的积。
求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算（1）乘除运算（2）分式的乘方（3）分式的加减运算（4）分式的混合运算【典型例题】例1.下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
例2.下列分式何时有意义(1)1|x| 1 (3)4xx2 1x~2 ~x 2xab21 a a ，x，3x x 1 1 ,厂y，，;(x1y)，(ayb)，例3.下列分式何时值为零F列各式中x为何值时，分式的值为零?(1) 4x 33x(2)x22 |x|1)(x 2)1. 填空。
(1)x xy /(y0) x1( )(3) x y(2 2) (x y 0) x y x y2.3xy-2 ~x 2xa2ab(4)h( )x 2a b( ) 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
(1)0.3x y0.02x 0.5y11x—y（2）3412—x—y23例5.约分(1) 21a3b5c56a2b10d(2)3ab(a b)612a(b a)(3) x2 4x 4 2 2(3a 2a )(3 2a a )2 2(a a)(2a 5a 3)(1)3512 ，2 4a b6b2c2ac(2)x 2x32x x2x 2 2 8 4x例6.通分:1 1例7.分式运算 1. 计算:⑴羊（診a 2 43a 242. 3. 5. 6. (3)计算: x 2 2xy y 2(1)(计算:计算:计算:xy2xy y x 22xy(4) (abb 2)b 2a 8)(弓ab)7 aU )6 ；(2)x )2 (y 22~~2-x4.a 22a 3计算:1x 2 4x 4(x1)2 2x 3x 2 x 17.计算： 22x y2例8.能力提高题2 211.已知X 2 3x 1 0，求X 2牙的值。
分式的基本性质及其运算【知识点归纳】知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式11+x 有意义． 分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可当x ≠-1时，分式11+x 有意义． （2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ． 评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式A B在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。
当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式A B无意义；当A=0且B ≠0时，分式A B 的值为0 考点2：分式的变形例2．（2006年山西省）下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y-+ 解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C ）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等于0的整式（x-y ）所得，故分式的值不变．考点3：分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例2．（2006年临安市）化简：x －1x ÷(x －1x). 分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算解：原式x x x x 112-÷-=)1)(1(1-+⨯-=x x x x x 11+=x 评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．考点4：分式的求值例4．（2006年常德市）先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．解：化简得：21x +，取x=0时，原式=1；评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．考点5：解分式方程例5．（2006年陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程解：)4(2)2(3)2(22-=+--x x x x ，82634222-=---x x x x ， 27-=-x 72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为72=x 点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！考点6：分式方程的应用例6．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B 城市每立方米水的水费为x 元，则A 城市为1.25x 元,25.120220xx =- 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。
分式的概念和性质要点一、分式的概念一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如2x y x是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M 是不等于零的整式）. 要点诠释：在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有b b a a -=-，b b a a-=-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a b-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】1. 下列各式中，m 取何值时，分式有意义？（1）2m m +；（2）1||2m -；（3）239m m --．2. 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为___________________.3. 当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负数？4. 填写下列等式中未知的分子或分母．（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?()()()b a c b a c a b b c a c --=----．【变式1】将下列各式约分：（1）23412ax x ；（2）243153n n x y x y+-；（3）211a a --；（4）321620m m m m -+-．【变式2】将下列各式通分：（1）4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211x -．（3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，22x -．5. 若2x y =-，求22222367x xy y x xy y----的值．要点七、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点八、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a ba b a bb b b---⎛⎫=≠⎪⎝⎭.6、计算：(1)422449158a b xx a b；(2)222441214a a aa a a-+--+-．7、计算：(1)222324a b a bc cd-÷；(2)2222242222x y x yx xy y x xy-+÷+++．8、计算：（1）432xy⎛⎫⎪-⎝⎭；（2）323a bc⎛⎫⎪-⎝⎭．9、计算：（1）23422x y yy x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）222223()a b aba abb b a⎛⎫-⎛⎫÷+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．。
-------------分式的意义和性质（★★）1、理解和掌握分式的概念；2、通过类比分数探究分式有意义的条件和分式值为零的条件，初步形成运用类比转化的思想方法解 决问题的能力。
3、通过类比方法的教学，知道事物之间是普遍联系又是变化发展的辨证观点。
4、通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握约分的方法和最简分式的化简方法。
知识结构 能准确地辨别分式与整式明确分式有意义和值为零的条件灵活运用分式的基本性质进行分式的恒等变形及最简分式的化简方法M B M A BA ⨯⨯= MB M A BA ÷÷=1.本部分建议时长5分钟.2.让学生回答分式无意义的条件，简述分式性质内容，老师给与补充。
“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.分式的意义：例题1x 取何值时，下列分式无意义？（★★）（1）x x 212+ , (2) 25++x x , (3) 252++x x (4) xx x )1(-。
（1）x=0（2）x=-2是比较容易得出答案的。
（3）中分母x 2+2无论x 取何值时，x 2+2都不可能为零，所以这个分式总是有意义的。
（4）中分子与分母有相同的因式x,有学生说“可以将这个因式约去，这个式子就变成了x-1, 也就是变成了一个整式，所以也总是有意义的。
”这种想法是错误的，看一个代数式是不是分式，要看原来的式子，将分式约分是可以的，但必须有这个前提：被约去的因式不能为零。
分式的性质及意义分式是数学中一种特殊的表达形式，由分子和分母组成，分子与分母都可以是数或者代数式。
1.分式的值是唯一的：分式所代表的数值是确定的，不会因为分式写法的不同而改变。
2.分式的分母不能为零：分母不能为零，因为除数不能为零。
3.分式的约分：分式可以通过约分化简为最简形式，即分子和分母没有相同的因子。
4.分式的乘法和除法：两个分式相乘时，可以将分子和分母分别相乘；两个分式相除时，可以将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，并将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。
5.分式的加法和减法：两个分式相加时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变；两个分式相减时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相减，分母保持不变。
分式的意义：1.分数的意义：分式可以用来表示一个整体被划分成若干等份中的一份。
分母表示整体被划分的份数，分子表示被划分的份数中的一份。
例如，1/2表示一个整体被划分为两份中的一份。
2.比值的意义：分数也可以表示两个数的比值。
分子表示比例中的前一个数，分母表示比例中的后一个数。
例如，2/3表示两个数的比值为2：33.量的意义：分数可以用来表示一定数量的其中一种东西。
分子表示具体的量值，分母表示这个量与单位的关系。
例如，1/4表示一个量的值为1，单位为4个。
4.分式的运算意义：分式的运算可以用来解决实际问题，如分数的相加减、相乘除等运算可以用来求解各种问题，如物品的比例增减、人员的比例关系等。
分式在日常生活中的应用非常广泛，如：1.厨房中的食谱：食谱中经常用到分数，如“1/2杯糖”、“3/4勺盐”等，用来表示食材的量。
2.比例关系：比值经常用到分数的形式，例如比例尺上的比例关系就是使用分数表示的。
3.金融中的利率：利息的计算中用到的年利率、月利率等都可以看作分数的形式。
4.化学中的配方：不同化学物质的配方中经常使用到分数，如“2:1”的配方比例表示两个物质的摩尔比。
1 / 19一、分式的意义与基本性质： 1、分式的概念：两个整式、B 相除，即A B ÷时，可以表示为AB．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式，叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点： （1）分式的分母中必然含有字母； （2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式1x ，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义．3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m ÷=÷(0m ≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：A C ACB D BD ⋅=．2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即nn n A A B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：A C A D ADB D BC BC ÷=⋅=．4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 【注意】分式的意义、性质及综合计算1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算． 三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则：（1） 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2） 异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简． 四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．一、选择题1. 代数式中分式有（）A 、6个B 、4个C 、3个D 、2个【答案】C 【解析】x x 21+，112+-x x ，y 3是分式．【总结】本题主要考查分式的概念．2. 下列判断中，正确的是（） A 、分式的分子一定含有字母B 、只要分式的分子为零，则分式的值为零C 、2x x 不是分式而是整式D 、只要分式的分母为零，则分式必无意义【答案】D【解析】考查分式的概念．3. 以下分式化简：（1）；（2）；（3）； （4）．其中错误的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，42226131x x x x ++=--x a ax b b +=+22x y x y x y +=++22x y x y x y-=-+【答案】C【解析】（1）（2）（3）都是最简分式，不能化简． 【总结】本题主要考查最简分式的概念以及如何化简分式．4. 不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）A 、10B 、9C 、45D 、90【答案】D【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．【总结】本题主要考查分式的基本性质．5. 分式1a b +、222a a b -、bb a -的最简公分母是（）A 、()()()22a b a b b a +-－ B 、()()22a b b a +－ C 、()()22a b b a -－D 、22a b -【答案】D【解析】考察最简公分母的定义．6. 化简：222m n m mn -+的结果是（ ）A 、2m n m -B 、m n m-C 、m nm+ D 、m nm n-+【答案】B【解析】()()()222=m n m n m n m nm mn m m n m +---=++．【总结】本题主要考查分式的约分．7. 已知：25，a b ab +==-，则a bb a +的值等于（ ） A 、25-B 、145- C 、195- D 、245-【答案】B【解析】()222222101455a b ab a b a b b a ab ab +-+++====--．【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用．8. 在下列各式中：①222mn a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭；②42528m n an a b bm -⋅；③2222m nb ab a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222mn a ab m ÷．相等的两个式子是（ ）A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【答案】B【解析】①22224224mn m n a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；②4223524288m n an m n a b bm a b -⋅=-；③2222222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； ④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b ÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的约分．9. 计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是（） A 、13x x --B 、19x x +-C 、2219x x --D 、2213x x ++【答案】C 【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++-+--．【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先分解因式．10. 化简：2129m -＋23m +的结果是（ ） A 、269m - B 、23m - C 、23m + D 、2269m m +-【答案】B 【解析】2129m -＋()()2222323212239993m m m m m m m -+=+==+----． 【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算．11. 计算22222a b a b a ba b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭的结果是（ ）A 、1a b- B 、1a b+ C 、a －b D 、a ＋b【答案】B【解析】22222a b a b a b a b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭()()()()()2222a b a b a b a b a b a b a b ab ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦()()22ab a b a b a b ab -=⨯+-1a b=+． 另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算．12. 已知2519970x x --=，则代数式()()222112x x x ---+-的值为（ ）A 、1999B 、2000C 、2001D 、－2【答案】D【解析】()()222112x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．二、填空题 13. 分式()()()()1221x x x x +---有意义的条件是_________．【答案】2≠x 且1≠x ．【解析】考察分式有意义的条件是分母不为0．14. 桶中装有液体纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为__________升． 【答案】aa 324-． 【解析】4升中含药百分比为aa 324-． 【总结】本题主要考查的是含药量的问题，与浓度有关，可以选择性的讲解．15. 当x =_________时，分式231x x --的值等于1．【答案】2．【解析】132-=-x x ，∴2=x ．【总结】当分式的值为1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等． 16. 若13x x +=，则221x x+=______．【答案】7．【解析】2222112327x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭．【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它们的平方和等于和的平法减2．17. 若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】32． 【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴26910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，∴3=a ，1=b ．∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --⎛⎫-÷+=⋅== ⎪+⎝⎭． 【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念． 18. 当x _______时，分式1111x++有意义．【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】∵01≠+x 且0111≠++x ，∴1-≠x 且2-≠x ．【总结】本题主要考查分式有意义的条件．19. 当x _______时，分式211xx++的值为零．【答案】2-=x ．【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且011≠+x，所以2-=x ． 【总结】本题主要考查分式值为零的条件．20. 已知：222222M xy y x yx y x y x y --=+--+，则M =_________．【答案】2x ．【解析】因为()()()22222222x y xy y x x y x y x y x y --+=-+--，所以2M x =．【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．21. 若223a b ab +=，则3332211b b a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭的值等于_____________． 【答案】21． 【解析】3332211b b a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭333333322a b b a b b a b a b a b a b ⎛⎫--⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3333a b a ba b a b +-=⋅-+()()()()2222a b a b ab a ba ba b a b ab ++--=⋅+-++2222a b ab a b ab +-=++33ab ab ab ab -=+12=． 【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．22. 已知对任意x 有324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+，则A =_______，B =______，C =______．【答案】1；-1；-1．【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++3()()(3)23A B x A B C x A C x x ++-++-=+-，又324231+3x A Bx C x x x x x ++=++--+所以0134A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩， 解得111A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．三、计算题23. 将下列分式化为最简分式： （1）222a ab a b +-； （2）2239m m m --；（3）2223332ab b a b ab b +++．【答案】（1）b a a -；（2）3+-m m ；（3）ba +3． 【解析】（1）()()()222a ab a ab aa b a b a b a b ++==-+--；（2）()()()22339333m m m m m m m m m --==--+-+；（3）()()()()22223223333322b a b b a b ab b a b ab b a bb a ab b b a b +++===++++++．【总结】本题主要面考查分式的约分．24. 计算：（1）；（2）．【答案】（1）b ad 52；（2）ax103． 【解析】本题考查分式的乘法．22635a b cdc ab --⋅21285xyx y a÷25. 计算：（1） ；（2）2241222a a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭．【答案】（1）1-x x ；（2）a1． 【解析】（1）原式=()()11112-=-+⋅+x xx x x x x ；（2）原式=()()()()aa a a a a a a a a 12122221242=+⋅--+=+⋅--． 【解析】本题主要考查分式的除法运算． 26. 计算：（1）21639a a-+-； （2）231326629x x x-++--．【答案】（1）31-a ；（2）()()332-+x x x ．【解析】（1）原式=()()()()()()31333336333-=-++=-++-+-a a a a a a a a a ；（2）原式=()()()()()()()()()()()33233243326332333233-+=-+=-++-+++-+-x x xx x x x x x x x x x x ．【解析】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意最终结果一定要化到最简．27. 计算：（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-； （2）222221211()(22x x x x x x x x --+÷÷---+．【答案】（1）2；（2）xx -22．【解析】（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-2211x x x x+-÷()()()()223321(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+-- 2=；（2）222221211()(22x x x x x x x x--+÷÷---+()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-． 【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．28. 计算：（1） 22221244n m m n m n m mn n --+÷--+； （2）322114221x x x x x x ⎛⎫+--+⋅ ⎪-++⎝⎭．【答案】（1）nm n+3；（2）44223+-+x x x ． 【解析】（1）原式()()()2122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2212m n n mm n m n m n --=+⋅-+-21m n m n -=-+3nm n =+；（2）原式322214142121x x x x x x x x +---=⋅+⋅-+++ ()()()()()()()()2112211222121x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=⋅+⋅-+++()()()()21212x x x x x =-+++--32244x x x =+-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．29. 计算：（1） ； （2）．【答案】（1）()()()()2423-++-x x x x ；（2）22+-a a ． 【解析】（1）原式()()()()()()2232444322x x xx x x x x -+-=⋅⋅+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；（2）原式()()()()()211221112a a a a a a a -++-=⋅⋅+-+2222a aa a --=-=++．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．30. 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且()20x a y b -++=，求代数式：2222a ay bxb a ax by b x y a b +-+++-÷++的值．【答案】21． 【解析】由题意得：a x =，b y -=．所以2222a ay bx b a ax by b x y a b +-+++-÷++()222222a ab ba b a a b b a b a b+⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+()()()22a b a b a b a b a b -+=⋅-+-12=． 【总结】本题一方面考查非负数的特性，另一方面考查分式的除法运算．31. 计算：()()221111a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-÷-⎢⎥ ⎪+-⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦【答案】222b a a-．【解析】原式()()()()()()()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤--+--+=÷⎢⎥⎢⎥+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()2242a b a b abb a b a b +--=⋅-+- 2222963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---22214(1)441a a a a a a --÷+⋅++-()()2a a b a b =+-222aa b =-．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的．32. 计算：222211113256712920x x x x x x x x +++++++++++【答案】5642++x x ． 【解析】原式()()()()()()()()111112233445x x x x x x x x =+++++++++++1111111112233445x x x x x x x x =-+-+-+-++++++++1115x x =-++()()415x x =++2465x x =++．【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算，注意裂项法的运用．33. 计算：2222x z y x y zx xy xz yz x xy xz yz +-++--+-+++．【答案】222yx y-． 【解析】原式()()()()x z x y x y x z x x y z x y x x y z x y ++-+++=--+-+++()()()()x z x y x y x zx z x y x z x y ++-+++=-+-++1111x y x z x z x y ⎛⎫=+-+ ⎪-+++⎝⎭11x y x y =--+()()2y x y x y =-+222y x y =-．【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意裂项法的运用．34. 计算：222211a b a ba b a b a ab b a ab b -++---+++-+．【答案】4666ab a b -．【解析】原式222211a b a ba b a ab b a b a ab b -+=-+--+++-+()()()()()()2222222222a ab b a b a ab b a b a b a ab b a b a ab b ++---+-+=+-+++-+333333ab aba b a b =--+()()()()3333333333ab a b ab a b ab a b +--=-+4666ab a b=-．【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意立方差和立方和公式的运用， 2233()()a b a ab b a b ±+=±，立方差和立方和有些学校不讲，请选择运用．四、解答题35. 为何值时，分式无意义？【答案】41-=x ．【解析】考查分式无意义的条件是分母为0．36. 求下列各分式有意义的条件：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0≠x ；（2）3-≠x ；（3）b a ≠2，且0a ≠，0b ≠． 【解析】考查分式有意义的条件是分母不为0．37. 当为何值时，下列分式的值为0？ （1）；（2）；（3）288xx +；（4）224216136x x x x --++【答案】（1）1-=x ；（2）21=x ；（3）0=x ；（4）7=x 或3-=x ． 【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为0．38. 若，的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ （1）；（2）22x yx y -+；（3）22239x y x+．【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的31；（3）扩大为原来的3倍．【解析】考查分式的基本性质．x 2141x x ++1x 33x +2a b a b +--x 1x x+213x x -+x y x y x y+-39. 求下列各组分式的最简公分母：（1），，； （2），，．【答案】（1）()()2117-+a a ；（2）()()()215++-x x x ． 【解析】考查最简公分母的定义．40. 把下列各式通分． （1），，；（2），，．【答案】（1）z y x z xy y x 33221204583-=-，z y x y yz x 332312050125=，zy x x z xy 332312018203-=-；（2）()()()()()11111122+--+=-+x x x x x x x x ，()()()2221111-+-=-x x x x x x x ，()()()221112122-++=+-x x x x x x x ．【解析】考查分式的基本性质．41. 求代数式的值：236214422x x x x x x +-÷-+++-，其中6x =-．【答案】14-．【解析】原式()()23221222x x x x x ++=⋅---+3122x x =---22x =-， 当6x =-时，原式21624==---．【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化．277a -2312a a a -+211a -2145x x --232xx x ++22310x x x --238x y -3512x yz 3320xy z -1(1)x x x +-21x x -2221x x -+42. 已知：250m n -=，求下式的值：11n m n m m m n m m n ⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭．【答案】187-． 【解析】∵250m n -=，∴25=n m ． ∴52=m n ，35=-n m m ，75=+n m m ．∴原式=18735241547552135521-=÷-=⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值．43. 已知21610x x --=，求331x x-的值．【答案】4144．【解析】∵21610x x --=，∴161=-xx ．∴331x x -2211++1x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211=+2+1x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2=1616+3⨯=4144．【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．44. 已知：0a b c ++=，8abc =，求证：1110a b c++<．【答案】证明略，见解析．【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221()2ab ac bc a b c ++=-++．∵8abc =， ∴a 、b 、c 均不为零．∴2221111=()016bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<． 【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．45. 已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若21010a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），求分式22222a ab b ab a b+++的值．【答案】990109． 【解析】找规律可知：10=a ，99=b ．所以()()2222221099109990990a b a ab b a b ab a b ab a b ab +++++====++．【总结】本题是一道规律题，解题时注意总结．46. 已知2210a a +-=，求222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭的值．【答案】1．【解析】原式()()2212242a a a a a a a ⎡⎤--+=-⋅⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦()2224242a a a a a a a --++=⋅-+()12a a =+212a a =+． 又2210a a +-=，所以原式=1．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用．47. 已知1abc =，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值．【答案】1．【解析】因为1abc =，所以a 、b 、c 均不为零．所以原式1a b cab a abc bc b ac c abc =++++++++11111b c b bc bc b c b=++++++++ 1111b bc b bc bc b bc b =++++++++11b bcb bc ++=++1=．【总结】本题综合性较强，要善于发现每一项的特征，从而利用代入法求出结果．48. 已知a 、b 、c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，那么abcab bc ca ++的值是多少？ 【答案】61． 【解析】∵13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+， ∴3=+ab b a ，4=+bc c b ，5=+cac a ． ∴311=+b a ，411=+c b ，511=+c a ， ∴121112=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a ． ∴6111=++cb a ． ∵6111=++=++cb a abc ac bc ab ，∴16abc ab bc ca =++．【总结】本题主要考查对分式之间的关系，要善于总结．49. 若111122229999199991A +=+，222233339999199991B +=+，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >．【解析】设11119999a =，则2+1=1a A a +，23+1=1a B a +．则B A -2322323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++223(1)(1)(1)a a a a -=++． 又111199991a =>，所以10a ->．所以0A B ->，所以A B >．【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大 小．50. 设10x y z a b c a b c x y z ++=++=，，求222222x y z a b c ++的值．【答案】1．【解析】设m a x =，n b y =，t c z=．∵1x y za b c ++=， ∴1=++t n m ．∵0=++zcy b x a ，∴0111=++tn m ，∴0=++mntmnmt nt ，∴0=++mn mt nt ．∴()()222222222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c++=++=++-++=-=． 【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．。
