2020年10月江苏省苏州八校联盟2021届高三上学期第一次适应性联考检测数学试题(解析版)

3 的直线与双曲 3
()
√
21
13
5
A. 2
B.
C.
D.
3
3
3
二. 多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
9. 随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人オ的需求越来越大，因此考研现象在我国不断升温。某大 学一学院甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表：
性别 男 女
a1 和 a2, 半焦距分别为 c1 和 c2, 离心率分别为 e1, e2, 则下列结论正确的是
A. a1 + c1 > 2(a2 + c2)
B. a1 − c1 = a2 − c2
C. a1c2 > a2c1
D.
e1
=
e2
+1 2
()
12. 已知函数 y = f(x) 的定义域为 (0, +∞)，导函数为 y = f′(x)，若 xf′(x) − f(x) = x ln x，且 f( 1 ) = 1 ，则 ( )
(2)
√ 若函数 g(x) = 2f(−x) + 1 − x2 + 1，求证：g(x2 − x) ⩽
5 .
4
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.（12 分）已知 f(x) = x3 + 3ax2 + bx + a2(a > 1) 在 x = −1 时有极值 0. (1) 求常数 a,b 的值; (2) 求函数 y = f(x) 在区间 [−4, 0] 上的最值．
.
16. 已知数 f(x) = x2 + 2ax, g(x) = 4a2 ln x + b，设两曲线 y = (x), y = g(x) 有公共点 P，且在 P 点处的切线相同，当

江苏省2019—2020学年高三上学期八校联考数学试卷2019．10一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，则A U B ＝ ． 答案：{1，5} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{1}，B ＝{1，5}，所以A U B ＝{1，5}． 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+ 考点：复数解析：2215i (15i)(1i)5i 4i 164i2i 31i (1i)(1i)1i 2--+--+-====-+--+-． 3．如图伪代码的输出结果为 ．答案：11考点：算法初步（伪代码） 解析：第一步：S ＝1＋1＝2 第二步：S ＝2＋2＝4第三步：S ＝4＋3＝7 第四步：S ＝7＋4＝114．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75)中的频数为100，则n 的值为 ．答案：1000考点：频率分布直方图S←1For i from 1 to 4 S←S+i End For Print S解析：100÷(0.004×25)＝10005．某校有A ，B 两个学生食堂，若a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人在同一个食堂用餐的概率为 ． 答案：14考点：古典概型解析：a ，b ，c 三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种情况，其中三人在同一个食堂用餐共有2种情况，故概率为2÷8＝14． 6．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x ，5)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ． 答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：由α终边上一点P(x ，5)，得22cos 35x α==-+，解得：24x =，α是第二象限角，所以x 的值为﹣2．7．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移3π个单位，得到的图像对应的解析式是 ． 答案：1sin()26y x π=-考点：三角函数的图像与性质解析：函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y ＝1sin()23y x π=-，将所得的图像向左平移3π个单位得11sin[()]sin(2332y x x ππ=+-=)6π-．8．已知函数23log (1)3()213x x x f x x -+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，，，满足()3f a =，则a = ．答案：7考点：指对数函数解析：当a ＞3时，2log (1)3a +=，得a ＝7；当a ≤3时，3213a -+=，解得a ＝4＞3（舍）；所以a 的值为7．9．已知实数a ，b 满足224549a ab b -+=，则a ＋b 最大值为 ． 答案：23考点：基本不等式解析：由224549a ab b -+=得24()913a b ab +-=，由基本不等式得2()2a b ab +≤，则可发现224()9()132a b a b +-+≤，解得a b +≤a ＋b最大值为 10．已知θ∈[0，4π]，且1cos43θ=-，则44sin ()sin ()44ππθθ+--= ．考点：三角恒等变换解析：因为θ∈[0，4π]，所以2θ∈[0，π]，所以sin20θ≥，因为1cos43θ=-，即2112sin 23θ-=-，所以sin 2θ=442222sin ()sin ()[sin ()sin ()][sin ()sin ()]444444ππππππθθθθθθ+--=++-+--＝1cos(2)1cos(2)1cos(2)1cos(2)2222[][]2222ππππθθθθ-+---+--+- ＝1sin 21sin 21sin 21sin 2()()sin 22222θθθθθ+-+-+-== 11．直角△ABC 中，点D 为斜边BC 中点，AB ＝AC ＝6，1AE ED 2=u u u r u u u r，则AE EB⋅u u u r u u u r＝ ．答案：14考点：平面向量数量积解析：以O 为坐标建立平面直角坐标系即可，建系后可得A(0，0)，B(0，，C(6，0)，D(3，，E(1，所以AE =u u u r (1)，EB =u u u r (﹣1，)，则AE EB ⋅u u u r u u u r＝﹣1＋15＝14．12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当x ∈(﹣1，1)时，1()lg1xf x x+=-且(2019)1f a -=-(0＜a ＜1)，则实数a = ．答案：211考点：函数奇偶性与周期性解析：根据(1)(1)f x f x -=+，()f x 是奇函数，可得()f x 是周期为4的函数，所以(2019)(50541)(1)(1)(1)f a f a f a f a f a -=⨯--=--=-+=-- 因为0＜a ＜1，所以0＜1﹣a ＜1，所以2(1)lg1af a a ---=-=-，解得211a =． 13．已知a ≠0，函数()x f x ae =，()ln g x ea x b =+(e 为自然对数的底数），若存在一条直线与曲线()y f x =和()y g x =均相切，则ba最大值是 ． 答案：e考点：导数的几何意义，导数与切线解析：因为()x f x ae =，()ln g x ea x b =+，所以()x f x ae '=，()ea g x x'=， 设曲线()y f x =和()y g x =的切点坐标分别为(1x ，1xae )，(2x ，2ln ea x b +)，则112122(ln )x x ae ea x b eaae x x x -+==-，可得122ln 1ln e x x x ==-，代入上式可得：222(1)ln e x x be a x -=-，构造函数2222(1)ln ()e x x h x x -=，求得最小 值为0，所以222(1)ln e x x be a x -=-的最大值为e ． 14．若关于x 的方程222(2)x x a x ae x e ---=-有且仅有3个不同实数解，则实数a 的取值范围是 ．答案：0a <或1a = 考点：函数与方程解析：原方程可转化为2(2)2(2)0x x x e a x e a ⎡⎤---+=⎣⎦，令(2)xt x e =-，当方程220t at a -+=有且只有一个根时，0a =或1a =，发现1a =符合题意， 当方程220t at a -+=有且只有两个根时，此时1a >或0a <，且两根1t ∈(0，e )，2t ∈(-∞，0)，此时2020a e ae a <⎧⎨-+>⎩，解得0a <，综上实数a 的取值范围是0a <e或1a =．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知集合A ＝{}22log (4159)x y x x x R =-+-∈，，B ＝{}1x x m x R -≥∈，．（1）求集合A ；（2）若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）集合A 即为函数22log (4159)y x x =-+-定义域，即需241590x x -+->----2分，即241590,x x -+<即(3)(43)0x x --<---5分，得3(,3)4A = -------7分（2）由111,11x m x m x m x m x m -≥⇔-≥-≤-≥+≤-或即或，------9分 则[1,)(,1]B m m =+∞⋃-∞-----10分因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集------11分即需31314m m +≤≤-或得144m m ≤-≥或-------13分所以实数m 的取值范围是1(,][4,)4-∞-⋃+∞------14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cosC ＝35． （1）若9CB CA 2⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积；（2）设向量x r ＝(B 2sin 2，y u r ＝(cos B ，Bcos 2)，且x r ∥y u r ，b＝，求a的值．解（1）由CB →·CA →＝92，得ab cos C ＝92． ………2分又因为cos C ＝35，所以ab ＝92cos C＝152． ………4分 又C 为△ABC 的内角，所以sin C ＝45． 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3． (6)分（2）因为x //y ，所以2sin B 2cos B2＝3cos B ，即sin B ＝3cos B ． ………………8分因为cos B ≠0，所以tan B ＝3．因为B 为三角形的内角，0B π<<，------9分 所以B ＝3π． ………………10分所以314sin sin()sin cos cos sin 525A B C B C B C =+=+=+⨯=----12分由正弦定理，4sin sin a b a A B =⇒=⇒=+------14分 18．（本小题满分16分）已知梯形ABCD 顶点B ，C 在以AD 为直径的圆上，AD ＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB ，BC ，CD 组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧»AB，»CD 和弦BC 这三部分组成，在弧»AB ，»CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1 图2【解】设， -------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值， 此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分 ()48sin g θθ'=------11分 令，即，因，所以，-------12分 当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分19．（本小题满分16分）设常数a ∈R ，函数2()2x x af x a +=-．（1）当a ＝1时，判断()f x 在(0，+∞)上单调性，并加以证明； （2）当a ≥0时，研究()f x 的奇偶性，并说明理由；（3）当a ≠0时，若存在区间[m ，n ](m ＜n )使得()f x 在[m ，n ]上的值域为[2m ，2n]，求实数a 的取值范围．解(1)1a =时，12212()1,,(0,),2121x xx f x x x +==+∀∈+∞--且12x x < 21121212222(22)()()02121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=>----所以()y f x =在(0,)+∞上递减。

江苏省苏州市2020～2021学年第一学期高三期初调研试卷数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．集合A ＝{}2230x x x --≤，B ＝{}1x x >，A B ＝A ．(1，3)B ．(1，3]C ．[﹣1，+∞)D ．(1，+∞)2．复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面表示的点所在的象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．421(2)x x-的展开式中x 的系数为 A ．﹣32B ．32C ．﹣8D ．84．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.9，则P(﹣2＜ξ＜1)为 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4 D ．0.65．在△ABC 中，AB+AC=2AD ，AE+2DE=0，若EB=XAB+YAC ，则 A ．y ＝2x B ．y ＝﹣2x C ．x ＝2y D ．x ＝﹣2y6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵，记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ．科学研究发现v 与3Qlog 100成正比，当v ＝1m /s 时，鲑的耗氧量的单位数为900．当v ＝2m /s 时，其耗氧量的单位数为 A ．1800 B ．2700 C ．7290 D ．81007．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是 A ．直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于4πB ．点C 到面ABC 1D 1 C ．两条异面直线D 1C 和BC 1所成的角为4πD ．三棱柱AA 1D 1—BB 1C 1外接球半径为3 8．设a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则12a a a b++ A ．有最小值为4B ．有最小值为221+ C ．有最小值为143D ．无最小值 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．A ，B 是不在平面α内的任意两点，则A ．在α内存在直线与直线AB 异面B ．在α内存在直线与直线AB 相交C ．存在过直线AB 的平面与α垂直D ．在α内存在直线与直线AB 平行10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3，33-)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设点P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足()Ry f t ==sin()t ωϕ+(t ≥0，ω＞0，2πϕ<)，则下列叙述正确的是 A ．3πϕ=-B ．当t ∈(0，60]时，函数()y f t =单调递增C ．当t ∈(0，60]时，()f t 的最大值为33D ．当t ＝100时，PA 6=11．把方程1x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有 A ．()y f x =的图象不经过第三象限 B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()g x f x x =+不存在零点 12．数列{}n a 为等比数列 A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项和三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知tan 2α=，则cos(2)2πα+＝．14．已知正方体棱长为2，以正方体的一个顶点为球心，以为半径作球面，则该球面被正方体表面所截得的所有的弧长和为．15．直线40kx y ++=将圆C ：2220x y y +-=分割成两段圆弧之比为3：1，则k ＝． 16．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现在以下三个条件：①(2c ＋b)cosA ＋acosB ＝0；②sin 2B ＋sin 2C ﹣sin 2A ＋sinBsinC ＝0；③a 2﹣b 2﹣c 2＝3S ．请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量m ＝(4sin x ，，n ＝(cos x ，sin 2x )，函数()23f x m n =⋅-，在△ABC 中，a ＝()3f π，且，求2b ＋c 的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前 3项．（1）求{}n a ，{}n b ； （2）设1(1)n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．（1）证明：EF ∥平面SAD ；（2）若SD ＝8，求二面角D —EF —S 的正弦值．20．（本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案，在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分：思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如表：现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布N(75.8，36)．若Y~N(μ，2σ)，令Y μησ-=，则η~N(0，1)，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求P(ξ＝k )取得最大值时k 的值．附：若η~N(0，1)，则P(η≤0.8)≈0.788，P(η≤1.04)≈0.85． 21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的长轴两个端点分别为A ，B ，P(0x ，0y )(0y ＞0)是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使AD ＝kb (k ＞0)，PD 交AB 于 E ，PC 交AB 于F ．（1）若k ＝1，△PCD 的最大面积为12，离心率为3，求椭圆方程； （2）若AE ，EF ，FB 成等比数列，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln sin 1f x x x x =-++．（1）求证：()f x 的导函数()f x '在(0，π)上存在一零点； （2）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点．。

11．已知 ，则 __________．
12．已知点 是圆 上任意两点，且满足 .点 是圆 上任意一点，则 的取值范围是______.
13．设实数 ，若不等式 ，对任意的实数 恒成立，则满足条件的实数 的取值范围是_____.
14．在 中，若 ，则 的最大值为_____.
二、解答题
15．如图，在直三棱柱 中， ，点 是棱 的中点.
江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期期初调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 _____.
2．如果复数 的实部与虚部互为相反数，则 等于_____.
3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为______.
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量X的概率分布及数学期望 ．
25．设集合 ，集合 ，集合 中满足条件 “ ”的元素个数记为 .
（1）求 和 的值；
(2)当 时，求证： .
参考答案
1．
【分析】
根据并集的运算即可求解.
【详解】
集合 ， ，
由并集的运算可得 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查了并集的简单运算，属于基础题.
，
，
所以输出的 ，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了伪代码的简单应用，属于基础题.
6．
【解析】
【分析】
由双曲线的两条渐近线方程是y＝±2x，得b＝2a，从而 ，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
∵双曲线 ( )的两条渐近线方程是y＝±2x，
∴ ，即b＝2a，∴ ，∴ ．