高中常见函数图像及基本性质
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常见函数性质汇总及简单评议对称变换
常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1)、y=a 和 x=a 的图像和走势
2)、图象及其性质:函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴)的直线
一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)
1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2)、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势: 3)、|k|越大,图象越陡;|k|越小,图象越平缓
4)、定 义 域:R 值域:R
单调性:当k>0时 ;当k<0时
奇 偶 性:当b =0时,函数f (x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x )没有奇偶性; 反 函 数:有反函数(特殊情况下:K=±1并且b=0的时候)。
补充:反函数定义:
例题:定义在r 上的函数y=f (x ); y=g (x )都有反函数,且f (x-1)和g -1
(x)函数的
x
y
b O
f (x )x
y
O
f (x )=k
R
图像关于y=x 对称,若g (5)=2016,求
f (4)=
周 期 性:无
5)、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法:
2、与曲线函数的联合运用
反比例函数 f (x )=
x
k
(k ≠0,k 值不相等永不相交;k 越大,离坐标轴越远) 图象及其性质:永不相交,渐趋平行;当k>0时,函数f (x )的图象分
别在第一、第三象限;当k<0时,函数f (x )的图象分别在第二、第四象限;
双曲线型曲线,x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线; 既是中心对成图形也是轴对称图形
定 义 域:),0()0,(+∞-∞ 值 域:),0()0,(+∞-∞ 单 调 性:当k> 0时;当k< 0时 周 期 性:无 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:原函数本身
补充:1、反比例函数的性质
2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有
两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断x
y
O
f (x )=
2)点关于直线(点)对称,求点的坐标
未知数取值(计算面积基本方法也基于此)
3、反函数变形(如右图)
1)、y=1/(x-2)和y=1/x-2的图像移动比较 2)、y=1/(-x)和y=-(1/x )图像移动比较 3)、f (x )=
d
cx b
ax ++ (c ≠0且 d ≠0)(补充一下分离常数)
(对比标准反比例函数,总结各项内容)
二次函数
一般式:)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式:)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f
图象及其性质:①图形为抛物线,对称轴为 ,顶点坐标
为
②当0>a 时,开口向上,有最低点 当0 ③当 = >0时,函数图象与x 轴有两个交点( );当<0时,函数图象与x 轴有一个交点( );当=0时,函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2≠=a ax x f 定 义 域:R 值 域:当0>a 时,值域为( );当0a 时;当0 反 函 数:定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数 周 期 性:无 补充: 1、a 的正/负;大/小与和函数图象的大致走向(所以,a 决定二次函数的 ) 2、 x y O f (x )= 3、二次函数的对称问题:关于x 轴对称;关于y 轴对称;关于原点对称;关于(m ,n )对称 4、二次函数常见入题考法:⑴交点(交点之间的距离) ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势(选择题) 指数函数 )1,0()(≠>=a a a x f x ,系数只能为1。 图象及其性质: 1、恒过)1,0(,无限靠近x 轴; 2、x a x f =)(与x x a a x f -==)1()(关于y 轴对称;但均不具有奇偶性。 3、在y 轴右边“底大图高”;在y 轴左边“底大图低”——靠近关系? 定 义 域:R 值 域:),0(+∞ 单 调 性:当0>a 时;当0=a a x x f a 周 期 性:无 补充: 1、 2、图形变换 Log 21/x 和Log 2- x ln (x-1)和lnx - 1 对数函数(和指数函数互为反函数) )1,0(log )(≠>=a a x x f a x y O f (x )= f (x )= x y O f (x )= f (x )= 图象及其性质:①恒过)0,1(,无限靠近y 轴; ②x x f a log )(=与x x x f a a log log )(1-==关于x 轴对称; ③x >1时“底大图低”;0<x <1时“底大图高”(理解记忆) 定 义 域:R 值 域:),0(+∞ 单 调 性:当0>a 时;当0=a a a x f x 周 期 性:无 补充: 1、 双钩函数 x x x f 1 )(+ =(变形式 ) 图象及其性质:①两条渐近线: ②最值计算: 定 义 域: 值 域: 单 调 性: 奇 偶 性:奇函数 反 函 数:定义域内无反函数 周 期 性:无 注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多,需特别注意最值得算法 幂函数(考察时,一般不会太难)