高中常见函数图像及基本性质

. . 常见函数性质汇总及简单评议对称变换

常数函数 f(x)=b (b∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线

一次函数 f(x)=kx+b (k≠0,b∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当b≠0时，函数f(x)没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。

补充：反函数定义：

例题：定义在r上的函数y=f（x）; y=g（x）都有反函数，且f（x-1）和g-1(x)函数的

x y b

O f(x

)

x y O f(x)=k

R .

. 图像关于y=x对称，若g（5）=2016，求f（4）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：

2、与曲线函数的联合运用 反比例函数 f(x)=xk (k≠0，k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f(x)的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f(x)的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,( 值 域：),0()0,(

单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身

补充：1、反比例函数的性质

2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断

x y O f(x)=

2）点关于直线（点）对称，求点的坐标 .

. 未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x）图像移动比较 3）、f(x)= dcxbax (c≠0且 d≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容）

二次函数 一般式：)0()(2acbxaxxf

顶点式：)0()()(2ahkxaxf

两根式：)0)()(()(21axxxxaxf

图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标

为 ②当0a时，开口向上，有最低点 当0a时。。。。。 ③当 = >0时，函数图象与x轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。 ④)0()(2acbxaxxf 关系 )0()(2aaxxf

定 义 域：R 值 域：当0a时，值域为（ ）；当0a时，值域为（ ） 单 调 性：当0a时；当0a时. 奇 偶 性：b=/≠0 反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无 补充： 1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的 ） 2、

x y O f(x)= .

. 3、二次函数的对称问题：关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于（m，n）对称 4、二次函数常见入题考法：⑴交点（交点之间的距离） ⑵值域、最值、极值、单调性 ⑶数形结合判断图形走势（选择题）

指数函数 )1,0()(aaaxfx，系数只能为1。 图象及其性质： 1、恒过)1,0(，无限靠近x轴； 2、xaxf)(与xxaaxf)1()(关于y轴对称；但均不具有奇偶性。 3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”——靠近关系?

定 义 域：R 值 域：),0( 单 调 性：当0a时；当0a时。 奇 偶 性：无 反 函 数：对数函数)1,0(log)(aaxxfa 周 期 性：无 补充： 1、

2、图形变换 Log21/x和Log2- x ln（x-1）和lnx - 1

对数函数（和指数函数互为反函数） )1,0(log)(aaxxfa

x y O f(x)=

f(x)=

x y O f(x)=

f(x)=. . 图象及其性质：①恒过)0,1(，无限靠近y轴； ②xxfalog)(与xxxfaaloglog)(1关于x轴对称；

③x＞1时“底大图低”；0＜x＜1时“底大图高”（理解记忆）

定 义 域：R 值 域：),0( 单 调 性：当0a时；当0a时； 奇 偶 性：无 反 函 数：指数函数)1,0()(aaaxfx 周 期 性：无 补充： 1、

双钩函数 xxxf1)(（变形式 ） 图象及其性质：①两条渐近线： ②最值计算： 定 义 域： 值 域： 单 调 性： 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无

注意 :双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法 幂函数（考察时，一般不会太难） .

. 无论n取任何实数，幂函数图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。 不需要背记，只要能够快速画出n=±1， ±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行 注意： 掌握y=x3 的图像； 掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像(当a>0,当a<0时)； 补充： 利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。 例：P393，例题10 .

. 函数)(xfy图象变换 一．平移变换

二．对称变换 ①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称； ②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称； ③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称； ④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称； ⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变． ⑥y＝f（|x|）的图象：可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性． 三、伸缩变换 ①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到． ②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a

＞1）到原来的a1，纵坐标不变而得到． 四、函数及图象(大致图象) 典型例题精讲 例1：已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（ A ）

向下平移b个单位向上平移b个单位向左平移a个单位向右a平移个单位

y=fx()y=fx+a()

y=fx()-b

y=fx()+by=fx-a().

. A．1||22xx B．x2－2|x|＋1 C．|x2－1| D．122xx

解析：当f（x）＝1||22xx时， |1|||)1|(|)(2xxxf







)1( )1()01( 1)10( 1)1( 1xxxxxxxx

其图象恰好是上图． 例2：画出函数y＝lg|x＋1|的图象．

解析：y＝lg|x＋1|)1( )1lg()1( )1lg(xxxx．

例3：要将函数y＝12xx的图象通过平移变换得到y＝x1的图象，需经过怎样的变换 解析：y＝11x－1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得到y＝x1的图象． 例4：方程kx＝2)2(1x有两个不相等的实根，求实数k的取值范围． 解析：设y1＝kx ① y2＝2)2(1x ②

方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当. . OA与半圆相切时，33OAk ，故当0≤k＜33时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜33时，

原方程有两个不相等的实根．

例5：作函数f（x）＝x＋x1的图象． 分析：f（x）＝x＋x1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究． 解析：函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）， ∵f（－x）＝－f（x）， ∴f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数， 又|f（x）|＝|x＋x1|＝|x|＋||1x≥2，当且仅当|x|＝1时等号成立， ∴当x>0时y≥2；当x<0时，y≤－2； 当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减； 当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0， ∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象， 再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．

评述： （1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用