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2017年高考数学试题分类汇编及答案---常用逻辑用语1.（2017北京）已知U =R ¸集合{|22}A x x x =<->或¸则U A =ð（Α）(2,2)- （Β）(,2)(2,)-∞-+∞ （C ）[2,2]- （D ）(,2][2,)-∞-+∞2．（2017新课标Ⅱ理）设集合{}1,2,4A =¸{}240B x x x m =-+=．若{}1A B =I ¸则B = Α．{}1,3-Β．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 З（2017天津理）设集合{1,2,6},{2,4},{|1A B C x x ===∈-≤≤R¸则()A B C =U I（Α）{2} （Β）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R4（2017新课标Ⅲ理）已知集合Α={}22(,)1x y x y +=│¸Β={}(,)x y y x =│¸则ΑI Β中元素的个数为 Α．ЗΒ．2C ．1D ．05（2017山东理）设函数Α¸函数y=ln(1-x)的定义域为Β,则A B =I（Α）（1,2） （Β）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) б（2017新课标Ⅰ理）已知集合Α={x |x <1}¸Β={x |31x <}¸则 Α．{|0}A B x x =<Β．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅7（2017江苏）已知集合{1,2}A =¸2{,3}B a a =+¸若}1{=⋂B A ¸则实数a 的值为 ．8（2017天津）设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===¸则()A B C =U I（Α）{2} （Β）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,4,6} 9（2017新课标Ⅱ）设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==¸则A B =Α．{}123,4，， Β．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，，10（2017北京理）若集合Α={x |–2x 1}¸Β={x |x –1或x З}¸则ΑΒ=（Α）{x |–2x –1} （Β）{x |–2x З}（C ）{x |–1x 1} （D ）{x |1xЗ}11（2017浙江）已知集合}11|{<<-=x x P ¸}20{<<=x Q ¸那么=Q P Α．)2,1(-Β．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(12（2017新课标Ⅲ）已知集合Α={1,2,З,4}¸Β={2,4,б,8}¸则Α⋂Β中元素的个数为（ ） Α．1 Β．2 C ．З D ．41З（2017新课标Ⅰ）已知集合Α={}|2x x <¸Β={}|320x x ->¸则 Α．ΑI Β=3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭Β．ΑI Β=∅ C ．Α Β3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．Α Β=R14（2017山东）设集合{}11M x x =-<，{}2N x x =<，则M N =I（Α）()1,1- （Β）()1,2- （C ）()0,2 （D ）()1,215．（2017浙江）已知等差数列{a n }的公差为d ¸前n 项和为S n ¸则“d >0”是“S 4 + S б>2S 5”的Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1б.（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩¸老师说：你们四人中有2位优秀¸2位良好¸我现在给甲看乙、丙的成绩¸给乙看丙的成绩¸给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩¸根据以上信息¸则Α．乙可以知道四人的成绩 Β．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩17．（2017新课标Ⅱ理）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀¸2位良好¸我现在给甲看乙、丙的成绩¸给乙看丙的成绩¸给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息¸则 Α．乙可以知道四人的成绩Β．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩18.（2017天津理）设θ∈R ¸则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （Β）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件19.（2017山东）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是（Α）p q ∧ （Β）p q ∧⌝ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q ⌝∧⌝20.（2017山东理）已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ¸则a b 22＞¸列命下题为真命题的是 （Α） p q ∧ （Β）p q⌝∧ （C ）p q ⌝∧ （D ）p q⌝⌝∧21.（2017北京）根据有关资料¸围棋状态空间复杂度的上限M 约为ЗЗб1¸而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080．则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg З≈0.48）（Α）10ЗЗ （Β）105З （C ）107З （D ）109З22.（2017北京）能够说明“设a ¸b ¸c 是任意实数．若a >b >c ¸则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 ______________________________．2З.（2017北京理）设m ,n 为非零向量¸则“存在负数λ¸使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 （Α）充分而不必要条件 （Β）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件答案：1-5 CC ΒΒD б-10 Α 1 ΒΑΑ 11-15 ΑΒΑCC 1б-20 D ΑΒΒD21 -1,-2,-З（答案不唯一）22.Α201б年高考数学试题分类汇编及答案解析---常用逻辑用语1、（201б年北京高考）设a ¸b 是向量¸则“||||a b = ”是“||||a b a b +=-”的（ ）Α.充分而不必要条件 Β.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D2、（201б年山东高考）已知直线a ¸b 分别在两个不同的平面α¸β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（Α）充分不必要条件 （Β）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】ΑЗ、（201б年上海高考）设R a ∈¸则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （Β）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】Α4、（201б年四川高考）设p ：实数x ¸y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2¸q ：实数x ¸y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（Α）必要不充分条件 （Β）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】Α5、（201б年天津高考）设{a n }是首项为正数的等比数列¸公比为q ¸则“q <0”是“对任意的正整数n ¸a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（Α）充要条件 （Β）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】Cб、（201б年浙江高考） 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ¸使得2n x >”的定义形式是 Α．*x n ∀∈∃∈，R N ¸使得2n x < Β．*x n ∀∈∀∈，R N ¸使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ¸使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ¸使得2n x < 【答案】D2015年高考数学试题分类汇编及答案解析---常用逻辑用语1.（15北京理科）设α¸β是两个不同的平面¸m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的Α．充分而不必要条件Β．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Β 【解析】试题分析：因为α¸β是两个不同的平面¸m 是直线且m α⊂．若“m β∥”¸则平面、αβ可能相交也可能平行¸不能推出//αβ¸反过来若//αβ¸m α⊂¸则有m β∥¸则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.2.（15年安徽文科）设p ：x<З¸q ：-1<x<З¸则p 是q 成立的( ) （A ）充分必要条件 （Β）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：∵3: x p ¸31: x q -∴p q ⇒¸但p ⇒/q ¸∴p 是q 成立的必要不充分条件¸故选C.考点：充分必要条件的判断.З.（15年新课标1理科）设命题P ：∃n ∈N ¸2n >2n¸则⌝P 为（Α）∀n ∈N, 2n >2n （Β）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n【答案】C【解析】p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤¸故选C.4.（15年陕西理科）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】Α 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=¸所以sin cos αα=或sin cos αα=-¸因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”¸但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”¸所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件¸故选Α． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．5.（15年陕西文科）“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）Α充分不必要条件 Β必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要 【答案】A考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.б.（15年天津理科）设x R ∈ ¸则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （Α）充分而不必要条件 （Β）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】Α考点：充分条件与必要条件. 7.(15年浙江理科)8.（15年湖南理科）设Α,Β是两个集合¸则”A B A = ”是“A B ⊆”的（ ） Α.充分不必要条件 Β.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得¸A B A A B =⇒⊆ ¸反之¸A B A B A =⇒⊆ ¸故为充要条件¸选C .考点：集合的关系.9.（15年山东理科）若“[0,],t a n 4x x m π∀∈≤”是真命题¸则实数m 的最小值为 .解析：“[0,],t a n 4xx m π∀∈≤”是真命题¸则tan14m π≥=¸于是实数m 的最小值为1.2014年高考数学试题分类汇编及答案---常用逻辑用语2．[2014·安徽卷] “x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．Β5．[2014·北京卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列¸则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．Dб．、[2014·福建卷] 直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于Α¸Β两点¸则“k ＝1”是“△O ΑΒ的面积为12”的( )Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 б．ΑЗ．[2014·湖北卷] U 为全集¸Α¸Β是集合¸则“存在集合C 使得Α⊆C ¸Β⊆∁U C ”是“Α∩Β＝∅”的( )Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 З．C8．[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1¸z 2互为共轭复数¸则|z 1|＝|z 2|”¸关于其逆命题¸否命题¸逆否命题真假性的判断依次如下¸正确的是( )Α．真¸假¸真 Β．假¸假¸真 C ．真¸真¸假 D ．假¸假¸假 8．Β7．[2014·天津卷] 设a ¸b ∈R ¸则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 7．C2．、[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位¸a ¸b ∈R ¸得“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．Αб．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ¸总有2x >0¸q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件¸则下列命题为真命题的是( )Α．p ∧q Β．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q б．DΑЗ 基本逻辑联结词及量词5．[2014·湖南卷] 已知命题p ：若x ＞y ¸则－x ＜－y ¸命题q ：若x ＞y ¸则x 2＞y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中¸真命题是( )Α．①③ Β．①④ C ．②③ D ．②④ 5．C5．、[2014·辽宁卷] 设a ¸b ¸c 是非零向量¸已知命题p ：若a ·b ＝0¸b ·c ＝0¸则a ·c ＝0¸命题q ：若a ∥b ¸b ∥c ¸则a ∥c ¸则下列命题中真命题是( )Α．p ∨q Β．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．Α9．、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ¸有下面四个命题：p 1：∀(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≥－2¸p 2：∃(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≥2¸ p З：∀(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≤З¸ p 4：∃(x ¸y )∈D ¸x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) Α．p 2¸p З Β．p 1¸p 2 C ．p 1¸p 4 D ．p 1¸p З 9．ΒΑ4 单元综合201З年全国高考理科数学试题分类汇编：常用逻辑用语一、选择题1 ．（201З年普通高等学校招生统一考试福建数学（理））已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） Α．充分而不必要条件Β．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】Α2 ．（201З年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）Α．对任意x R ∈,都有20x <Β．不存在x R ∈,都有20x <C ．存在0x R ∈,使得200x ≥D ．存在0x R ∈,使得200x <【答案】D3 ．（201З年高考四川卷（理））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（ ）Α．:,2p x A x B ⌝∀∃∈∉ Β．:,2p x A x B ⌝∀∉∉ C ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈D ．:,2p x A x B ⌝∃∈∈【答案】D 4 ．（201З年高考湖北卷（理））在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） Α．()()p q ⌝∨⌝ Β．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨【答案】Α5 ．（201З年高考上海卷（理））钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（ ）Α．充分条件 Β．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】Β．6 ．（201З年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:（ ） Α．①②③ Β．①② C ．②③ D ．②③ 【答案】C 7 ．（201З年高考陕西卷（理））设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）Α．若12||0z z -=, 则12z z = Β．若12z z =, 则12z z = C ．若||||21z z =, 则2112··z z z z =D ．若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D8 ．（201З年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））给定两个命题p ,q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（ ）Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件C ．充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 【答案】Α9 ．（201З年高考陕西卷（理））设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的（ ） Α．充分不必要条件Β．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C10．（201З年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω,则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的（ ）Α．充分不必要条件 Β．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Β11．（201З年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（ ） Α．充分不必要条件Β．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C12．（201З年高考北京卷（理））“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（ ）Α．充分而不必要条件 Β．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】Α13．（201З年上海市春季高考数学）已知 a b c R ∈、、,“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）Α．充分非必要条件 Β．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】D二、填空题14．（201З年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））定义“正对数”:0,01,ln ln ,1,x x x x +<<⎧=⎨≥⎩现有四个命题: ①若0,0a b >>,则ln ()ln b a b a ++=; ②若0,0a b >>,则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>,则ln ()ln ln a a b b+++≥- ④若0,0a b >>,则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④。
阿伏加德罗常数高考题汇编（2017年高考全国新课标Ⅱ卷）阿伏加德罗常数的值为。
下列说法正确的是（）A.1 L 0.1 mol·L-1NH4Cl溶液中NH4+的数量为0.1NAB 2.4 g Mg与H2SO4完全反应，转移的电子数为0.1NAC.标准状况下，2.24 L N2和O2的混合气体中分子数为0.2NAD.0.1 mol H2和0.1 mol I2于密闭容器中充分反应后，其分子总数为0.2NA （2017年高考全国新课标III卷）NA为阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是（）A.0.1 mol 的11B中，含有0.6NA个中子B.pH=1的H3PO4溶液中，含有0.1NA个H+C.2.24 L（标准状况）苯在O2中完全燃烧，得到0.6NA个CO2分子D.密闭容器中1 mol PCl3与1 mol Cl2反应制备 PCl5（g），增加2NA个P-Cl键（2016年高考海南卷）利用太阳能分解制氢，若光解0.02 mol水，下列说法正确的是（）A．可生成H2的质量为0.02gB．可生成氢的原子数为2.408×1023个C．可生成H2的体积为0.224L（标准情况）D．生成H2的量理论上等于0.04mol Na与水反应产生H2的量（2016年高考江苏卷）下列说法正确的是（）A．氢氧燃料电池工作时，H2在负极上失去电子B．0.1mol/LNa2CO3溶液加热后，溶液的pH减小C．常温常压下，22.4L Cl2中含有的分子数为6.02×1023个D．室温下，稀释0.1mol/LCH3COOH溶液，溶液的导电能力增强（2016年高考四川卷） NA为阿伏伽德罗常数的值。
下列说法正确的是（）A．2.4g镁在足量的氧气中燃烧，转移的电子数为0.1NAB．标准状况下，5.6L二氧化碳气体中含有的氧原子数为0.5NAC．氢原子数为0.4NA 的甲醇分子中含有的σ键数为0.4NAD．0.1L0.5mol/LCH3COOH溶液中含有的氢离子数为0.05NA（2016年高考新课标Ⅰ卷）设N A为阿伏加德罗常数值。
全国卷2013-2017年高考汇编---5.二项式定理
5.二项式定理
【2017全国1，理6】621(1)(1)x x +
+展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【2017全国3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为（ ）
A ．80-
B ．40-
C ．40
D ．80
【2016全国1，理14】
5(2x 的展开式中，x 3的系数是 .（用数字填写答案）
【2015全国1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）
（A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）60
【2015全国2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．
【2014全国1，理13】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数
为 .(用数字填写答案)
【2014全国2，理13】()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)
【2013全国1，理9】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【2014全国2，理5】已知（1+ɑx ）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=
（A ）-4
（B ）-3 （C ）-2 （D ）-1。
2013---2017近五年全国1卷高考理科数学分类汇编---平面向量
1.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=23.
2.设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=-2.
3.设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD，则AD=-
AB+AC。
4.已知A,B,C是圆O上的三点，若AO=AB+AC，则AB 与AC的夹角为。
5.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t)b，若b•c=0，则t=1/2.
解析：
1.根据向量加法公式，
|a+2b|=√[(2+2cos60°)²+(2sin60°)²]=23.
2.根据向量的数量积及坐标运算，|a+b|²=(m+1)²+(1+2)²，|a|²=m²+1，|b|²=5，代入得到m=-2.
3.根据向量的加法和减法，
AD=AC+CD=AC+BC=AC+(AC-AB)=-AB+AC。
4.根据向量的减法和模长的定义，
AO²=AB²+BO²=AB²+AC²+2AB·ACcos∠BAC，代入得到cos∠BAC=(AB²+AC²-AO²)/(2AB·AC)，再利用余弦定理求出∠BAC。
5.根据向量的线性运算和数量积的定义，b•c=t(b•a)+(1-t)(b•b)=tcos60°+(1-t)=1/2-t/2，令其为0解得t=1/2.。
近5年2013-2017各地⾼考数学真题分类专题汇总--不等式2017年⾼考数学试题分类汇编--- 不等式 1（2017北京⽂）已知0x ≥?0y ≥?且x +y =1?则22x y +的取值范围是__________．2（2017浙江）已知a ∈R ?函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1?4]上的最⼤值是5?则a 的取值范围是___________．З（2017新课标Ⅲ⽂数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x =│x +1│–│x –2│.（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集⾮空?求实数m 的取值范围. 4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集⾮空?求m 的取值范围． 5（2017新课标Ⅱ⽂）[选修4?5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=.证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤.б（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．7（2017新课标Ⅰ⽂数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4?g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时?求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1?1]?求a 的取值范围. 8（2017新课标Ⅰ理数）设x 、y 、z 为正数?且235x y z ==?则Α．2x <Зy <5zΒ．5z <2x <Зy C ．Зy <5z <2xD ．Зy <2x <5z 9（2017新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4?g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时?求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1?1]?求a 的取值范围.10（2017天津⽂）若a ?b ∈R ?0ab >?则4441a b ab++的最⼩值为 . 11（2017天津理）若,a b ∈R ?0ab >?则4441a b ab++的最⼩值为___________. 12（2017⼭东⽂）若直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最⼩值为 .（7）（2017⼭东理）若0a b >>?且1ab =?则下列不等式成⽴的是（Α）()21log 2a b a a b b +<<+ （Β）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 1З（2017江苏）某公司⼀年购买某种货物б00吨?每次购买x 吨?运费为б万元/次?⼀年的总存储费⽤为4x 万元．要使⼀年的总运费与总存储费⽤之和最⼩?则x 的值是▲．14［选修4-5：不等式选讲］（本⼩题满分10分）已知,,,a b c d 为实数?且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤15（2017北京理）能够说明―设a ?b ?c 是任意实数．若a ＞b ＞c ?则a +b ＞c ‖是假命题的⼀组整数a ?b ?c 的值依次为______________________________．201б年⾼考数学试题分类汇编及答案解析--- 不等式1、（201б年⼭东⾼考）若变量x ?y 满⾜2,239,0,x y x y x +≤??-≤??≥?则x 2+y 2的最⼤值是（Α）4（Β）9（C ）10（D ）12【答案】C 2、（201б年浙江⾼考）若平⾯区域30,230,230x y x y x y +-≥??--≤??-+≥?夹在两条斜率为1的平⾏直线之间?则这两条平⾏直线间的距离的最⼩值是（）ΑΒ【答案】ΒЗ、（201б年浙江⾼考）已知a ?b >0?且a ≠1?b ≠1?若4log >1b ?则（）Α.(1)(1)0a b --<Β. (1)()0a a b --> C. (1)()0b b a --<D. (1)()0b b a --> 【答案】D⼆、填空题 1、（201б年北京⾼考）函数()(2)1x f x x x =≥-的最⼤值为_________. 【答案】2 2、（201б江苏省⾼考）已知实数x ?y 满⾜240220330x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则x 2+y 2的取值范围是▲ . 【答案】4[,13]5З、（201б年上海⾼考）设x ∈R ?则不等式31x -<的解集为_______.【答案】)4,2( 4、（201б上海⾼考）若,x y 满⾜0,0,1,x y y x ≥??≥??≥+?则2x y -的最⼤值为_______.【答案】2-5、（201б全国I 卷⾼考）某⾼科技企业⽣产产品Α和产品Β需要甲、⼄两种新型材料.⽣产⼀件产品Α需要甲材料1.5 kg ?⼄材料1 kg ?⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品Β需要甲材料0.5 kg ?⼄材料0.З kg ?⽤З个⼯时?⽣产⼀件产品Α的利润为2100元?⽣产⼀件产品Β的利润为900元。
第二章函数第 6 节函数的图像及应用题型 30识图（知式选图、知图选式）1. （ 2013 山东文 9）函数y x cos x sin x 的图象大致为（）.y y y yππππO x O x O x O xA B C D1.分析结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解.解析当 x时， y1> 0 ，排除 C.当 x时， y1，排除 B；或利用y xcos x sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B.当 x时， y< 0 ，排除 A.故选D.2． (2013 福建文5）函数 f x ln x21的图像大致是（） .2.分析根据函数图象上的特殊点及奇偶性，利用排除法判断.20时， f 0 ln10 ，即f x 过点0,0 ，排解析 f x l n x + 1， x R，当x除 B ，D.因为f x ln 2，所以f x 是偶函数，其图象关于y 轴x 1 ln x2 1 f x对称，故选 A.3.（ 2013 湖北文 5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是（）.距学校的距离距学校的距离O时间O时间A ．B．距学校的距离距学校的距离O时间O时间C． D ．3.分析先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断.解析距学校的距离应该逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故选 C.4. （ 2013 江西文，圆心在l1 上、半径为1m的圆 O 在 t 0 时与l2相10）如图 .已知l1l2切于点 A ，圆O沿l1以1m / s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为 x ，令y cos x ，则y与时间t（0剟x1，单位：s）的函数y f (t) 的图像大致为（） .4.分析通过圆心角将弧长x与时间t联系起来.解析圆半径为1，设弧长 x 所对的圆心角为，则x，如图所示，cos1 t，即2x1 t ，则 y2x22cos cos x 2cos 1 2 1 t 1 2 t 1 1 0 ≤ t ≤ 1.其图象为开口向22l 2α1 2 1 -tl 1上，在0,1 上的一段抛物线.故选 B.5. (2013 浙江文 8）已知函数y f x的图像是下列四个图像之一，且其导函数y f ' x的图像如右图所示，则该函数的图像是（） .5.分析根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况.解析从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x 0 时最大，所以函数f x的y y y y-1O1x-1O1x y-1O1x-1O 1xA. B. C. D.-1O1x图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大 .A 项，在x0 时变化率最小，故错误； C 项，变化率是越来越大的，故错误； D 项，变化率是越来越小的，故错误.B 项正确 .故选 B.6.（2014浙江文 8）在同一直角坐标系中，函数 f x x a x0 ， g x log a x的图像可能是（） .y y y y1O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x7.（2014 福建文 8）若函数y log a x a 0,且a 1 的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（） .yy log a x1O3xyxyyx ayyxay3y a1 1y log ax-31OxO1x1OxO 1 x-1A.B.C.D.8.（2014 江西文 10）在同一平面直角坐标系中，函数y ax 2xa与 y a 2 x 32ax 2x a(a R ) 的图像不可能 的是（） .2．．．yyyyOxOxOxOxA.B.C.D.9.（2014 福建文 12）在平面直角坐标系中，两点P x ，y ， P 2 x 2，y 2 间的“L 距离”1 11定义为 PPxxyy2则平面内与 x 轴上两个不同的定点F 1, F 2 的“ L 距离” 之和1 2121等于定值（大于F 1 F 2 ）的点的轨迹可以是（）.yyyyF 1 O F 2xF 1 O F 2xF 1 O F 2xF 1 O F 2xA.B.C.D.10.（2016 全国乙文 9）函数 y2x 2x2,2） .e在的图像大致为（y y yy 1111-2 O2 x -2 O2 x -2 O2 x -2 O 2 xA. B. C. D. 10. D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.解析设 fx2x 2 x28 e 20,1 ，可排除 A （小于 0 ），B （从趋势上e ，由 f超过 1）；又 x0,2 时， f x4x e x ， f0 f14 e 0 ，所以 f x 在0,1 上不是单调函数，排除 C.故选 D.评注排除 B 选项的完整论述， 设=，则xgxf xg x4e .由g 1 0 ，，g 2 可知存在 x 0 1,2 使得 g x 00 且 xx 0,2 时 g x 0 ，所以 fx 在 x 0 ,2 是减函数，即 xx 0 ,2 时 f x 切线斜率随 x 的增大而减小，排除B.11.（2016 浙江文 3）函数 y2） .sinx 的图像是（y y y y11π11-πππ2OxOπx Oπxπ Oπx--22-22222A. B. C. D.11. D解析易知 ysinx 2 为偶函数，所以它的图像关于y 轴对称，排除 A ， C 选项；当x2 π π 1，排除 B 选项，故选 D.，即 x时， y max2212.（ 2017 全国 1 文 8）函数y sin 2 x的部分图像大致为（1 cos xy y y111-πO 1π x-πO 1πx-πO1A. B. C.）.y1π x-πO 1π xD.12.解析由题意知，f (2 x) ln(2x) ln x f ( x) ，所以 f ( x) 的图像关于直线x 1 对称，选项 C 正确，选项 D 错误，又f x 112(1x)x 2) ，在(0,1)上单x 2 x x(2(0x)调递增，在 1,2 上单调递减，选项 A ， B 错误 .故选 C.13.（ 2017 全国 3 文 7）函数y 1x sin x） . x2的部分图像大致为（A ．B．C． D ．13.解析令 x 1 ，则有f 1 1 1sin1 2 ，所以排选项A，C；又当 x时，sin x0 ， y，所以排除选项 B.故选 D.x评注函数的解析式与图形表示问题是高考的一个必考点，此类问题大多围绕函数的性质来考查，只要方法正确，一般不太会出错. 解题时一般用特例+排除法可以快速求解 .题型 31作函数的图像——暂无题型 32函数图像的应用一、求方程根的个数、函数零点的个数、函数图像交点的个数问题或已知方程根的个数及函数零点的个数、函数图像交点的个数，求参数的取值范围问题.二、求解函数的零点所在的区间或利用函数图像特征研究函数零点的整体性质三、利用函数的零点确定参数的取值范围yy log a x1四、解函数不等式O 3x五、利用函数图像求函数的最值1.(2013 湖南文 6）函数f x lnx 的图像与函数 g x x24x 4 的图像的交点个数为（） .A. 0B. 1 C. 2D. 31.分析作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解.yg( x)=(x-2)2 64解析g x 24x 42，在同一平面直角坐标系内画出函x x 22f(x)=ln x数 f x ln x 与g2O12345x x x 2 的图象（如图所示）.由图可得两个函数的图象有 2 个交点.故选C.2. （ 2013湖北文 8）x为实数，[ x]表示不超过x的最大整数，则函数f ( x) x[ x] 在R 上为（） .A ．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数2.分析首先理解题意，画出函数的图象 .解析函数的图象（图象略）在两个整数之间都是斜率为1的线段（不含终点），故选 D. 3. (2013 安徽文8）函数y f x 的图象如图所示，在区间a，b 上可找到 n n≥ 2个不同的数 x1， x2，， x n，使得f x1 f x2 f x n，yx1x2x n则 n 的取值范围是（） .A.2，3B.2，3，4C.3，4D.3，4，53. 解析同理科卷 8题.答案 B.O a b x 4. (2013 安徽文 10）已知函数f x x3ax2 bx c 有两个极值点x1，x2，若 f x1关于x 的方程3 f x 2b0 的不同实根个数是（2af x） .A.3B. 4C. 5D. 64. 分析先求给定函数的导函数，由极值点的定义及题意，得出f x x1或 f x x2，再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.解析因为 f x3x22ax b ，函数 f x 的两个极值点为 x1 , x2，则 f x1 0 ，f x20 ，所以 x1， x2是方程3x22ax b0的两根，所以解关于x的方程2f x x f x x f x3 f x 2 a f x b0，得或.由上述可知函数在区间12, x1 , x2 ,上单调递增，在区间x1 , x2上单调递减，又 f x1x1<x2，如图所示，由数形结合可知f x x1时有两个不同实根，f x x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.故选A.yx2x1x2O x1x5．(2013 福建文 12）设函数 f x 的定义域为R， x0 x00 是 f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（） .A ．x R , f x , f x0B．x0是 f x 的极小值点C．x0是 f x 的极小值点 D ．x0是 f x 的极小值点5. 分析不妨取函数 f x x33x ，则 f x 3 x 1 x 1，易判断x01为 f x 的极大值点，但显然 f x0不是最大值，故排除 A.解析因为 f x x33x, f x 3 x 1 x 1 ，易知，x01为 f x 的极大值点，故排除B；又 f x x33x, f x 3 x 1 x 1 ，易知，x0 1 为f x 的极大值点，故排除C；因为 f x 的图象与 f x 的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得x0应为函数f x 的极小值点.故D正确.6. （ 2013 四川文10）设函数f x e x x a （ a R ，e为自然对数的底数），若存在 b01，使 f f b b 成立，则 a的取值范围是（） .A.1，eB.11， eC. e，1eD. 01，6.分析由f f b b 得 A b, f b， A f b , b都在 y f x的图象上为突破口解决.解析若存在 b0,1使 f f b b 成立，则 A b, f b， A f b , b 都在 y f x 的图象上 .又 f x e x x a 在0,1上单调递增，所以x A x A y A y A≥ 0，即f b b b f≥b 0 f b 2≤ 0，所以f b b .，所以b所以 f x x 在 x0,1 上有解，即e x x a x 在 0,1上有解，所以 a e x x x 2，x 0,1.令x e x x x2， x0,1，则x e x 1 2x ≥ 0 ， x0,1 x 在0,1上单调递增，又01,1 e ，所以x1,e ，即 a1,e，所以，故选 A.7.(2013 安徽文 14）定义在R上的函数f x满足 f x 1 2 f x .若当0≤x≤1时，f x x 1x，则当 1≤ x ≤ 0 时，f x.7.由于当 0 ≤ x ≤ 1时解析式已知，且已知f x 1 2 f x ,可设1≤ x ≤ 0,分析则 0≤ x1≤ 1,整体代入求解.解析设 1≤ x ≤ 0, 则 0 ≤ x1≤ 1,所以 f x 1x 1 1 x 1x x 1 .又因为 f x1 2 f x , 所以f x f x1x x1.228.2013江苏13）在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y（ x0 ）（1x图象上一动点，若点 P， A 之间的最短距离为 2 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为.8.分析设出P点坐标，然后将PA 表示为P点坐标的函数，通过换元求出PA 的最小值，合已知条件即可求得 a 的 .依 意可 Px,1x > 0 ， PAx a2 12x 212a x12a 2 .a2xxx 2x令 x 1 t ， t ≥ 2 且 PA2t22 2at 2a2t2a22 .ax若 a ≥ 2 ， 当 t a2取最小 a 2 ，令 a 22， PA2 22 2 ，解得a10 a10舍去 ；若 a < 2 ， 当 t2 ， PA22a24a2 ，令取最小 2a 24a 22a 3舍去 .2 2 ，解得 a 1上， 足条件的所有 a 的1和 10 .9.（2014新 Ⅰ文 12）已知函数 f ( x) ax 33x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点x 0 ，且x 0 0 ， a 的取 范 是（） .A. (2,)B.(1, )C.( , 2)D. (,1)10.（2014 重 文 10）已知函数1， ，在（， f ( x) x 1 3 x ( 10]，且f ( x) mxg(x)m11] 内有且 有两个不同的零， x ，x (01]点， 数 m 的取 范 是（） .A. ( 9 ， 2]1B. (11 14(0， ]， 2] (0， ]24 2 C.(9 ， 2] 2D. (11 24 (0， ]， 2] (0，]343x = x 211.（2014 湖北文 9）已知 f x是定 在 R 上的奇函数，当x ⋯0 ，f3x. 函数 g x f xx + 3 的零点的集合 （）.A.1, 3B.3, 1,1, 3C. 27 ,1, 3D.27 , 1, 312.（2014 江西文 4）已知函数 f ( x)a 2x ,x ≥0( a R ) ，若 f [ f (1)]1 ， a（）.2 x , x 0 1 1 C.1D.2A.B.4213. （ 2014安徽文 9）若函数f ( x)x 1 2x a 的最小3，数a的（）A. 5或8B. 1或5C.1或 4D. 4或813.分析本考函数的最 .解析依几何性得，当 x ax取得最小，x a f a a1 3，， f2222解得 a4或 8 .故 D.14.（2014 北京文 6）已知函数 f x 6log 2 x ，在下列区中，包含f x 零点的区x是（） .A.0,1B. 1,2C.2,4D. 4,14.解析因f162lo g 1 ， 6f2 03log 2 2 2 0，f32log 2 30 ，f464320 ，所以包含f xlog 22零点的区是42,4 ，故 C.15.（2014湖北文9）已知f x是定在 R 上的奇函数，当x⋯0 ，f x = x23x. 函数g x f xx + 3 的零点的集合（）.A.1,3B.3,1,1,3C.27 ,1, 3D.27 , 1, 316.（ 2014 新Ⅰ文 12）已知函数f ( x)ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0，且x00， a 的取范是（） .A. (2,)B. (1,)C.(,2)D. (, 1)17.（ 2014 浙江文 10）如所示，某人在垂直于水平地面ABC 的面前的点 A 行射. 已知点A到面的距离AB ，某目点 P 沿面上的射CM 移，此人了准确瞄准目点P ，需算由点 A 察点 P 的仰角的大小（仰角直 AP 与平面 ABC.AB15m, AC25m, BCM30 ，tan的最大是（）.所成角）若MPBC AA．30B．30C．4 3D．5 35109918（.2014 江苏 10）已知函数f x x 2mx1，若对于任意x m, m 1，都有 f x0成立，则实数 m 的取值范围是．19. （ 2014江苏13 ）已知 f x 是定义在R 上且周期为 3 的函数，当x0,3时，f x x2 2 x1．若函数 y f x a 在区间3,4上有 10 个零点（互不相同），则2实数 a 的取值范围是．20．（ 2014 湖北文15）如图所示，函数y f x的图像由两条射线和三条线段组成．若x R ，f x> f x1，则正实数 a 的取值范围为．ya 第 15 图yf ( x)3a2a aa2ax O3aae x 1, x121.（2014 新课标Ⅰ文15）设函数f ( x)1，则使得 f ( x)≤2 成立的 x 的取值x 3 ,x≥1范围是.22.（2014 福建文15）函数f x x2，≤0. 2x的零点个数是2x6，0 ln x x23. （ 2014天津文 14）已知函数 f x x25x 4 , x ,0f x a x 恰2 x 2 ,x，若函数 y有 4 个零点，则实数a的取值范围为_______.24.（2014 江苏 19）已知函数f x e x e x，其中 e 是自然对数的底数．（1）求证： f x 是R上的偶函数；（2）若关于x 的不等式 mf x ≤ e x m 1 在 0,上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数 a 满足：存在 x 0 1, ，使得 f x 0 ax 03 3x 0 成立．试比较 e a 1 与a e 1的大小，并证明你的结论．25.（2014 重庆文 19）（本小题满分12 分）x aln x3 R ，且曲线 yf ( x) 在点 (1， f (1)) 处的切线垂已知函数 f ( x)x，其中 a4 2直于 直线 y1x .2（ 1）求 a 的值；（ 2）求函数 f (x) 的单调区间和极值 .26．（ 2014 安徽文 20）（本小题满分 13 分）设函数 f ( x)1 (1 a) x x2 x3 ，其中 a0 .（1）讨论 f (x) 在其定义域上的单调性；（2）当 x [0,1] 时，求 f (x) 取得最大值和最小值时的x 的值 .26. 解析（ 1） fx 的定义域为,， fx1 a 2x 3x2 .令 fx 0 ，得14 3a14 3ax 2 ，所以 fx3 xx 1 x x 2 .x 13， x 23， x 1当 x x 1 或 x x 2 时， f x 0 ；当 x 1x x 2 时， f x 0 . 故 f x 在, x 1 和x 2 ,内单调递减，在x 1 , x 2 内单调递增 .（2）因为 a0 ，所以 x 10 ， x 20 .（i ）当 a ⋯ 4 时，，由（ I ）知，f x在 0,1 上单调递增， 所以f x在 x 0 和 x 1x 2 ⋯1处分别取得最小值和最大值 .（ii ）当 0 a4 时， x 2 1.由（ I ）知， f x 在 0,x 2 上单调递增， 在 x 2 ,1 上单调递减，因 此 fx 在 x x 214 3a处 取 得 最 大 值 . 又 f 01 ， f 1a ， 所 以 当30 a 1时， f x在 x1处取得最小值；当a1时， fx 在 x 0 和 x 1 处取得最小值；当 0a4 时， f x 在 x 0 处取得最小值；评注 本题考查利用导数求函数的单调区间和最大 （小） 值，同时考查分类讨论的思想， 分类讨论的关键是确定分类的标准 .27.（2014 江西文 18）（本小题满分12 分）22x ，其中a 0.已知函数 f (x) (4x4ax a )（1）当a4 时，求f (x)的单调递增区间；（2）若f ( x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值 .28.（2014 四川文 19） (本小题满分 12 分 )设等差数列 a n的公差为 d ，点a n,b n在函数 f x2x的图像上n N*.（1）求证：数列b n为等比数列；（ 2）若a11，函数f x的图像在点a2 ,b2处的切线在x轴上的截距为21，求数ln 2列a n b n2的前n项和S n.29. （ 2014 浙江文 21）函数 f x x3 3 x a a 0 ，若 f x 在1,1 上的最小值记为g a .（1）求g a；（2）求证：当x1,1 时，恒有 f x , g a 4 .30.（ 2014 北京文 20）（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) 2 x33x .（1）求 f ( x) 在区间 [21]，上的最大值；（2）若过点P(1， t ) 存在 3 条直线与曲线y f ( x) 相切，求t （ 3）问过点A( 1，2)， B (2，10)， C(0，2) 分别存在几条直线与曲线结论）的取值范围；y f ( x) 相切？（只需写出30. 解析（ I ）由f x 2x33x 得 f x6x23.令 f x0，得x2或 x2.22因为 f21022 ， f22， f11 ，所以f x 在区间， f222,1上的最大值为22 . f2（II ）设过点P1,t的直线与曲线y f x相切于点 x0 , y0，则 y0 2 x033x0，且切线斜率为 k 6 x02 3 ，所以切线方程为y y06x02 3 x x0. 因此t0y620x3 1 .0x整理得4x036x02t 3 0 .设 g x4x36x2t 3 ，则“过点 P 1,t存在3条直线与曲线 y f x相切”等价于“g x有 3个不同零点”.g x12x212x 12x x 1g x 与 g x的变化情况如下表：x,000,111,g x00g x t3t1所以， g 0t3是 g x的极大值， g 1t 1 是 g x的极小值 .当 g 0t 3 ,0 ，即t , 3 ，此时g x在区间,1 和 1,上分别至多有 1 个零点，所以 g x 至多有2个零点.当 g 1t 1 ⋯0 ，即t⋯1时，此时g x在区间,0和 0,上分别至多有 1 个零点，所以 g x 至多有2个零点.当 g 00 且 g 10 ，即3t 1 时，因为g1t 70， g 2t11 0 ，所以 g x 分别在区间1,0，0,1 和 1,2 上恰有 1 个零点 .由于g x在区间,0和1,上单调，所以g x分别在区间,0和 1,上恰有1 个零点 .综上可知，当过点 P1,t存在 3 条直线与曲线y f x相切时， t 的取值范围是3,1 .（III ）过点A 1,2存在 3条直线与曲线 y f x 相切；过点 B2,10 存在2条直线与曲线 y f x 相切；过点 C0,2存在 1 条直线与曲线y f x 相切.评注本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题，考查学生运用导数研究函数性质的能力，考查了函数与方程，等价转化等思想方法.。
平面向量高考真题专题1.（2017全国1.理数.13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= _____________ .2.（2016全国1.理数.13）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ．3.（2015全国1.理数.7）设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-4.（2014全国1.理数.15）已知,,A B C 是圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .5.（2013全国1.理数. 13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t) b ，若b c •=0，则t =_____.高考平面向量专题答案（2017全国1.理数.13）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= _____________ .【考点】：向量的模长。
【思路】：牢记求解模长问题利用平方的思路，直接将所求的内容进行平方即可。
【解析】：222124444421122a b a b a b +=++⋅=++⨯⨯⨯=，故而模长为223a b +=。
（2016全国1.理数.13）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ．【答案】2-【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .（2015全国1.理数.7）设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =- 【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算（2014全国1.理数.15）已知,,A B C 是圆O 上的三点，若()12AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .【解析】：∵1()2AO AB AC =+，∴O 为线段BC 中点，故BC 为圆O 的直径， ∴090BAC ∠=，∴AB 与AC 的夹角为090（2013全国1.理数. 13）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t) b ，若b c •=0，则t =_____.【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题.【解析】•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2.。
第三节抛物线及其性质题型122 抛物线的定义与标准方程2013年1.（2013四川文5）抛物线28y x =的焦点到直线0x =的距离是（）.A. B. 2 C.D. 12014年1.（2014安徽文3）抛物线214y x =的准线方程是（）. A.1y =- B.2y =- C.1x =- D. 2x =-2.（2014辽宁文8）已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（） A ．43-B ．1-C ．34-D ．12- 3.（2014新课标Ⅰ文10）已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（） A.1 B.2C.4 D. 84.（2014陕西文11）抛物线24y x =的准线方程为___________.5.（2014湖南文14）平面上一机器人在行进中始终保持与点()01，F 的距离和到直线1-=x 的距离相等.若机器人接触不到过点()01，-P 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是.2015年1.（2015陕西文3）已知抛物线()220y px p =>的准线经过点()11-，，则该抛物线的焦点坐标为（）.A. ()10-，B. ()10，C. ()01-，D. ()01，1. 解析由抛物线()220y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点()11-，，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为()10，.故选B.2.（2015福建文19）已知点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =． （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，求证： 以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．2.分析（1）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题 由3AF =可得232p+=，可求p 的值，进而确定抛物线方程； （2）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明AGF BGF ∠=∠，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数． 解析（1）由抛物线的定义得22p AF =+．因为3AF =，即232p+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =．（2）解法一：因为点()2,A m ，在抛物线E ：24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()1,0F 可得直线AF的方程为)1y x =-．由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=.解得2x =或12x =，从而1,2B ⎛ ⎝．又()1,0G -，所以()0213GA k ==--，()01312GA k ==---， 所以0GA GB k k +=，从而AGF BGF ∠=∠，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 解法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,A m 在抛物线E ：24y x =上，所以m =±(2,A ．由(2,A ，()1,0F 可得直线AF的方程为)1y x =-．由)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =，从而1,2B ⎛ ⎝． 又()1,0G -，故直线GA的方程为30y -+=，从而r ==． 又直线GB的方程为30y ++=，所以点F 到直线GB的距离d r ===． 这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2016年1.（2016四川文3）抛物线24y x =的焦点坐标是（）.A.0,2)（B.0,1)（C.20（，）D.10（，）1. D 解析由题意，的焦点坐标为.故选.2.（2016江苏22（1））如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线()2:20C y px p =>.若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程.24y x =(1,0)D2.解析因为，所以与轴的交点坐标为，抛物线的焦点为， 所以，故. 3.（2016浙江文19（1））如图所示，设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -. 求p 的值.3.解析因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即. 题型123 与抛物线有关的距离和最值问题2013年1. （2013江西文9）已知点()20A ，，抛物线C ：24x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM MN =：（）.2.（2013江苏9）抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）.若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是. 3．（2013广东文20）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)(0)F c c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 做抛物线C 的两条切线PA ， PB ，其中A ，B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点00(,)p x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3) 当点P 在直线l 上移动时，求·AF BF 的最小值．:20l x y --=l x ()2,0()2,022p=28y x =A F A 2px =-12p=2p =4.（2013浙江文22）已知抛物线C 的顶点为()00O ，，焦点()0,1F . （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于,A B 两点，若直线,OA OB 分别交直线l ：2y x =-于,M N 两点，求MN 的最小值.2017年1.（2017全国2卷文12）过抛物线2:4C y x =的焦点F ，C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）.B.C.D.1.解析由题知:1)MF y x =-，与抛物线24y x =联立得231030x x -+=，解得121,33x x ==，所以M .解法一：因为MN l ⊥，所以(1N -，因为(1,0)F，所以:1)NF y x =-，所以M 到NF=故选C.解法二：如图所示，在MFN △中，由抛物线定义知，MF =MN .因为tan MFx =∠所以60MFx =∠ .又MN x ∥轴，所以60NMF =∠ ，所以MFN △为等边三角形，且21cos 1cos 60p pMF =p θ==--，则点M 到直线NF 的距离为d ===题型124 抛物线中三角形、四边形的面积问题2016年1.（2016上海文20）有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为()1,0，如图所示.（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的经验值. 1.解析（1）不妨设设分界线上任一点为，依题意化简得. （2）因为，所以，设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则，设五边形面积为，过作交于点，如图所示.则， 因为，， 所以五边形的面积更接近的面积.第四节曲线与方程题型125 求动点的轨迹方程2013年1.（2013辽宁文20）如图，抛物线()2212:4:2>0C x y C x py p ==-，.点()00M x y ，在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A B ，（M 为原点O 时，A B ，重合于O ）.当01x =时，切线MA 的斜率为12-.（1）求P 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A B ， 重合于O 时，中点为O ）.2.(2013陕西文20）已知动点()M x y ，到直线:4l x =的距离是它到点()10N ，的距离的2倍. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点()03P ，的直线m 与轨迹C 交于两点A B ，.若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率.(),x y 1x +=y =()01x 剟1M y =2144M M y x ==EH M 3S 3122154S ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭=EOMGH 4S M 1MM HE ⊥HE 1M 114EOMM M MGH S S S =+梯形梯形151511=1+1++2124244⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13851326S S -=-=411181143126S S -=-=<EOMGH 1S2014年1.（2014福建文21）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.2. （2014广东文20）（14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.3.（2014湖北文22）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C . （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.2015年1.（2015浙江文7）如图所示，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30PAB ∠=，则点P 的轨迹是（）.A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支1.解析若30PAB ∠= ，则AP 绕点A 旋转形成圆锥面，这面被平面α截得图像是椭圆.故选C.2016年1.（2016四川文15）在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222,y x P x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是.1.②③解析对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误； 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以③正确；对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的序号为②③.(1,1),A 11,22A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭11,22A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭()11--，P (cos ,sin )P x x (sin ,cos )P x x '-(,)0f x y =x (,)0f x y -=(,)0f x y =2222,0y x f x y x y ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭2222,0y x f x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭2222,0y x f x y x y ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭y y kx b =+2222,y x x y x y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭2017年1.（2017全国2卷文20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .1.解析（1）如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y .由NP知，1y =，即1y 又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.（2）设())3,,Q t P θθ-，则有)()3,t OP PQ θθθθ⋅=⋅-=222cos sin 2sin 1θθθθ---=，即sin 30θθ--=.椭圆C的左焦点()1,0F -.又)()3,FP OQ t θθ⋅=+⋅-=3sin 0θθ--=，所以FP OQ ⊥.所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .。
1A第4节 直线、平面平行的判定与性质题型93 证明空间中直线、平面的平行关系1．（2013江西理8）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n +=（ ）.A ．8B ．9C ．10D ．11 2．（2013广东理6）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个 不同的平面下列命题中正确的是（ ）.A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 3. (2013安徽理19）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为225.o ，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60o . （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠.4. (2013全国新课标卷理18）如图，直棱柱111-ABC A B C 中，D E ，分别是1AB BB ，的中点，12AA AC CB AB ===. （1）证明：1BC ∥平面11ACD ；αAB CDEFBPQPMDBA（2）求二面角1--D AC E 的正弦值.5.（2013山东理18）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC与FQ 交于点H ，连接GH . （1）求证：GH AB ∥；（2）求二面角D GH E --的余弦值. 6.（2013江苏16）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.7.（2013浙江理20）如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60o ，求BDC ∠的大小.8. (2015福建理7) 若,l m 是两条不同的直线，m α⊥，则“l m ⊥ ”是“//l α”的（ ）. A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件ABCS G F EC ．充要条件 D.既不充分也不必要条件8.解析 若l m ⊥，又因为m ⊥α，则//l α或l α⊂；若//l α，又因为m ⊥α， 则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件．故选B ．9.（2016全国甲理14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥． ③如果//a β，m α⊂，那么//m β．④如果//m n ， //αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 以上命题正确的命题有 .9. ②③④ 解析 将题中假设放在一个正方体模型中易知②③④正确.10.（2016浙江理2）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线,m n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ）. A.l m ∥ B.n m ∥ C.n l ⊥ D.m n ⊥10.C 解析 对于选项A ，因为l αβ=I ，所以l α⊂.又因为//m α，所以m 与l 平行或异面.故选项A 不正确；对于选项B 和D ，因为αβ⊥，n β⊥，所以n α⊂或//n α.又因为//m α，所以m 与n 的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B 和D 不正确；对于选项C ，因为,l αβ=I 所以,l β⊂因为,n β⊥所以n l ⊥，故选项C 正确，故选C.11．（2016江苏卷16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B上，且11B DA F ⊥，1111AC AB ⊥．求证：（1）直线//DE 平面11AC F ；11.解析 （1）因为,D E 分别为,AB BC 的中点，所以DE 为ABC △的中位线，所以//DE AC ，又因为三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，故11//AC AC ，所以11//DE AC ，又因为11A C ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，故//DE 平面11AC F ．12.（2016天津理17）如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，2AB BE ==.ABC DEFA 1B 1C 1（1）求证：//EG 平面ADF ；12.分析 （1）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证. 解析 解法一：（1）取AD 中点M ，连接FM ，GM ，如图所示. 由题意可得//GM BO ，且GM BO =，所以四边形EGMF 为平行四边形. 所以//EG FM ，且FM ⊂平面ADF ，所以//EG 平面ADF .13.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，BC AD ∥，=90ADC PAB ∠∠=o ，12BC CD ==AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90o . （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；13.解析 （1）取棱AD 的中点()M M PAD ∈平面，点M 即为所求的一个点.证明如下： 因为AD BC ∥，12BC AD =，所以BC AM ∥，且BC AM =.所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM AB ∥.又AB ⊂平面PAB ，CM PAB ⊄平面，所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).OABCD EFGHMH G FE DCBA O PAB CD E14.（2016山东理17）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知,G H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH P 平面ABC ；14.解析（1）证明：设FC 的中点为I ，连接,GI HI ，在CEF △中，因为G 是CE 的中点，所以GI EF P .又EF OB P ，所以GI OB P .在CFB △中，因为H 是FB 的中点，所以HI BC P .又HI GI I =I ，OB BC B =I ，所以平面GHI P 平面ABC ， 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH P 平面ABC .BGIO 'EF H CAO15.（2107浙江19（1））如图所示，已知四棱锥P ABCD -，PAD △是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点. （1）证明：//CE 平面PAB .MDCBAP15.解析 （1）如图所示，设PA DE 的中点为F ，联结EF ，FB . 因为E ，F 分别为PD ，PA 的中点，所以//EF AD ，且1=2EF AD . 又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//EF BC ，且=EF BC ，所以四边形BCEF 为平行四边形，所以//CE BF ，又BF ⊂平面PAB ，所以//CE 平面PAB .H QPN F DBCEA16.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEF16.解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EFAD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .ACD PE（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AB AD ⊥，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.17.（2017全国2卷理科19）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点.（1）求证：直线//CE 平面PAB ；EM DCBAP17．解析 （1）令PA 的中点为F ，联结EF ，BF ，如图所示．因为点E ，F 为PD ，PA 的中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1//2EF AD ．又因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥．又因为12AB BC AD ==，所以=1//2BC AD ，于是=//EF BC ．从而四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥．又因为BF PAB ⊂面，所以CE ∥平面PAB.题型94 与平行有关的开放性、探究性问题 1.（2016四川理18）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，BC AD ∥，=90ADC PAB ∠∠=o，12BC CD ==AD .E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90o . （1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；1.解析 （1）取棱AD 的中点()M M PAD ∈平面，点M 即为所求的一个点.证明如下： 因为AD BC ∥，12BC AD =，所以BC AM ∥，且BC AM =.所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM AB ∥.又AB ⊂平面PAB ，CM PAB ⊄平面，所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).2.（2016北京理17）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM P 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.2. 解析 （1）如题中的图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB ⊂PAB CD EMDCBAPDCBAP平面,ABCD AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ，所以PD AB ⊥.又因为,PD PA PA ⊥⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB PA A =I ，所以PD ⊥平面PAB . （2）如图所示，设棱AD 的中点是O ，由题设可得直线,,OC OA OP 两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.可得(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D P -，所以(2,0,1),(0,1,1)PC DP =-=u u u r u u u r ，(1,1,1)PB =-u u u r.设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，得20PC x z DP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u u u rn n ，所以可得(1,2,2)=-n . 设直线PB 与平面PCD 所成角的大小为ϕ，可得sin 3PB PB ϕ⋅====⋅u u u r u u u r n n ， 即直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值是3. （3）设棱PA 上存在点(,,)M x y z ，使得BM P 平面PCD ，并设(01)AMAPλλ=≤≤，得AM APλ=u u u u r u u u r ，即(,1,)(0,1,1)x y z λ-=-，即(,,)(0,1,)x y z λλ=-.得(0,1,),(1,,)M BM λλλλ-=--u u u u r.由BMP 平面PCD ，平面PCD 的一个法向量是(1,2,2)=-n ，得(1,2,2)(1,,)1220BM λλλλ⋅=-⋅--=-++=u u u u rn ，解得14λ=. 又BM ⊄平面PCD ，所以BMP 平面PCD .即在棱PA 上存在点M 使得BM P 平面PCD ，且14AM AP =.。
