江苏省启东中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理

2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为个．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为．12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝．14．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设复数z满足i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），则z的虚部为﹣3．【解答】解：∵i（z﹣4）＝3+2i（i是虚数单位），∴z＝+4＝+4＝6﹣3i，其虚部为﹣3．故答案为：﹣3．2．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，b＝2不满足条件a＞31，a＝2不满足条件a＞31，a＝4不满足条件a＞31，a＝8不满足条件a＞31，a＝16不满足条件a＞31，a＝32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32．故答案为：32．3．（5分）命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．【解答】解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）＝﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max＝f（1）＝1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为．【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4的圆心为C（2，﹣1），半径r＝2，∵点C到直线直线x+2y﹣3＝0的距离d＝＝，∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3＝0被圆（x﹣2）2+（y+1）2＝4截得的弦长为2＝2＝故答案为：．5．（5分）函数y＝xlnx的单调减区间为（0，）．【解答】解：y′＝1+lnx，令，又因为函数y＝xlnx的定义域为（0，+∞）所以函数y＝xlnx的单调减区间为故答案为：6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，则实数b的值是﹣1．【解答】解：设切点为（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∵直线y＝x+b是曲线y＝lnx的切线，∴＝1，即x0＝1，∴lnx0＝ln1＝0，把切点（1，0）代入y＝x+b，得0＝1+b，即b＝﹣1．故答案为：﹣1．7．（5分）已知双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程是＝1．【解答】解：∵双曲线C：＝1（a，b＞0）的焦距是10，点P（3，4）在C的渐近线上，∴，解得a＝9，b＝16，∴双曲线C的方程为：＝1．故答案为：＝1．8．（5分）设函数f（x）＝x2﹣lnx．则零点个数为0个．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝；故x∈（0，）时，f′（x）＜0；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0；故f（x）≥f（）＝﹣ln＞0；故函数f（x）＝x2﹣lnx没有零点；故答案为：0．9．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故答案为：．10．（5分）已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB ＝120°，则x1x2+y1y2＝﹣1．【解答】解：由题意，x1x2+y1y2＝∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2＝2上两点，且∠AOB＝120°，∴＝＝＝﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为[e﹣2，+∞）．【解答】解：求导函数，可得g′（x）＝1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，∴g（x）max＝g（e）＝e﹣1，令f'（x）＝0，∵a＞0，x＝±当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min＝f（1）＝1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；当1≤a≤e2，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，∴f（x）min＝f（）＝≥e﹣1 恒成立；当a＞e2时f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）min＝f（e）＝e+≥e﹣1 恒成立综上a≥e﹣2故答案为：[e﹣2，+∞）12．（5分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，设点A（0，a）（a＞0），若圆C上存在点M，使MA＝MO，则a的取值范围≤a≤4+．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝2，表示以C（﹣1，2）为圆心、半径等于的圆．设M（x0，y0），则由MA＝MO，A（0，a），O（0，0），可得（x0﹣0）2+（y0﹣a）2＝2（x02+y02），即3x02+3y02+2ay0﹣a2＝0，即x02+（y0+a）2 ＝2a2．则M在以（0，﹣a）为圆心，r＝a为半径的圆上．又点M在圆C上，则这两个圆有交点，即圆心之间的距离d满足：|r﹣|≤d ≤r+，即|a﹣|≤≤a+，即，求得≤a≤4+，故答案为：．13．（5分）定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）＝cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c＝1或2．【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|．当1≤x＜2时，2≤2x＜4，则，此时当x＝时，函数取极大值当2≤x≤4时，f（x）＝1﹣|x﹣3|；此时当x＝3时，函数取极大值1当4＜x≤8时，2＜≤4，则，此时当x＝6时，函数取极大值c∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点共线，∴解得c＝1或2．故答案：1或214．（5分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，A1，A2为左右顶点，焦距为2，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1．若点P在直线l上运动，且离心率e＜，则tan∠F1PF2的最大值为．【解答】解：由焦距为2，则c＝1，左准线l与x轴的交点为M，|MA2|：|A1F1|＝6：1，则6（a﹣c）＝a+，代入c＝1，解得，a＝2或3，由于离心率e＜，则a＞2c＝2，则a＝3．则l：x＝﹣9，设P（﹣9，y），（y＞0），则MF1|＝8，|MF2|＝10，则tan∠F1PF2＝tan（∠F2PM﹣∠F1PM）＝＝＝≤＝．当且仅当y＝即y＝4时，取得最大值．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分．.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a ＜x＜3a；当a＝1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1≤a≤2；∴实数a的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图是一个半圆形湖面景点的示意图，已知AB为直径，且AB＝2km，O为圆心，C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CD∥AB，现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C 到D是线段CD，设∠AOC＝xrad，观光路线总长为ykm．（1）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值．【解答】解：（1）由题意得，y＝1•x+1•sin（﹣x）×2＝x+2sin（﹣x），（0＜x＜）；函数的定义域为{x|0＜x＜}；（2）y′＝1﹣2cos（﹣x），令y′＝0解得，x＝，故当x＝时，观光路线总长最大，最大值为+2×＝+（km）．17．（14分）已知圆C过点p（1，1），且与圆M：（x+2）2+（y+2）2＝r2（r＞0）关于直线x+y+2＝0对称．（1）求圆C的方程．（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，求证：直线OP与直线AB平行．【解答】解：（1）由题意可得点C和点M（﹣2，﹣2）关于直线x+y+2＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由•（﹣1）＝﹣1，且++2＝0，求得，故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（1，1）代入圆C的方程，求得r＝，故圆的方程为x2+y2＝2．（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣1＝k（x﹣1），PB：y﹣1＝﹣k（x﹣1）．由，得（1+k2）x2+2k（1﹣k）x+（1﹣k）2﹣2＝0，因为P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得x A＝．同理，所以x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），所以，直线AB和OP一定平行．18．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．（1）若a＝2，求函数f（x）的单调递减区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ax﹣1恒成立，求整数a的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则f（x）＝lnx﹣x2+x，x＞0，f′（x）＝﹣2x+1＝，f′（x）＜0可得2x2﹣x﹣1＞0，又x＞0，解得x＞1，即有f（x）的减区间为（1，+∞）；（2）f（x）≤ax﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x≤ax﹣1恒成立，等价为a≥在x＞0恒成立．令g（x）＝，只需a≥g（x）max，g′（x）＝，令g′（x）＝0，可得﹣x﹣lnx＝0，设h（x）＝﹣x﹣lnx，h′（x）＝﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，设h（x）＝0的根为x0，当x∈（0，x0），g′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（0，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减，即有g（x）max＝g（x0）＝＝＝，由h（）＝ln2﹣＞0，h（1）＝﹣＜0，则＜x0＜1，此时1＜＜2，即g（x）max∈（1，2），即a≥2，则有整数a的最小值为2．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，其焦点与椭圆上最近点的距离为2﹣．（1）求椭圆的方程；（2）若A，B分别是椭圆的左右顶点，动点M满足•＝0，且MA交椭圆于点P．①求•的值；②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ过定点．【解答】（1）解：由已知可得，解得．∴b2＝a2﹣c2＝2，则椭圆方程为；（2）①解：由•＝0，得MB⊥AB，可设M（2，t），P（x0，y0）．直线MA：，代入，得．由，得，从而，∴•＝；②证明：依题意，，由MQ⊥PB，得，则MQ的方程为：y﹣t＝（x﹣2），即y＝，∴直线MQ过原点O（0，0）．20．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝mx+n．（1）设h（x）＝f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x＝0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n＝0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）＝+，且n＝4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx﹣n．则h（0）＝1﹣n，函数的导数h′（x）＝e x﹣m，则h′（0）＝1﹣m，则函数在x＝0处的切线方程为y﹣（1﹣n）＝（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）＝1﹣m，即m+n＝2．②当n＝0时，h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx＝0在（﹣1，+∞）上无解，若x＝0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m＝，设g（x）＝，则函数的导数g′（x）＝，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）＝﹣e ﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x＝1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）＝e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m＝无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n＝4m（m＞0），∴函数r（x）＝+＝+＝+，则函数的导数r′（x）＝﹣+＝，设h（x）＝16e x﹣（x+4）2，则h′（x）＝16e x﹣2（x+4）＝16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′＝16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′＝16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）＝16﹣8＝8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）＝16﹣16＝0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）＝，故当x≥0时，r（x）≥1成立．附加题：矩阵与变换21．已知矩阵M＝，N＝，且MN＝．（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，解得；（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y＝3x上的两（0，0），（1，3），由＝，＝得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（﹣2，2），从而直线y＝3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y＝﹣x．极坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的方程为+y2＝1，试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的距离最小．【解答】解：根据直线l的参数方程为（t为参数），得其普通方程为：x+2y＝4，设P（2cosθ，sinθ），∴P到l的距离为d＝＝≥＝，当且仅当sin（θ+）＝1，即θ＝2kπ+时等号成立．此时，sinθ＝cosθ＝，∴P（，）．空间立体几何23．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？（2）设AF＝1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．因为AC＝2，∠ABC＝90°，所以AB＝BC＝，从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，所以，设AF＝x，则F（，0，x），.，所以．要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．由＝2+x（x﹣3）＝0，得x＝1或x＝2，故当AF＝1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1＝（0，0，1）．设平面B1CF的法向量为n＝（x，y，z），则由得令z＝1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．曲线与方程24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线l 过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．（1）求抛物线的方程；（2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【解答】解：（1）由题设知，，即，所以抛物线的方程为y2＝x；（2）因为函数的导函数为，设A（x0，y0），则直线MA的方程为，因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0＝﹣•（﹣x0）．联立，解得A（16，﹣4），所以直线OA的方程为．设直线BC方程为y＝kx﹣2，由，得k2x2﹣（4k+1）x+4＝0，所以．由，得．所以，故的为定值2．。

f (14) 17 ；记 f1(n) f (n) ， f2 (n) f ( f1(n)) ，…， fk 1(n) f ( fk (n)) ， k N * ，
则 f2016 (8)
.
【答案】 8
考点：归纳推理，周期数列．
14.
设点
A1 ，
A2 分别
为椭圆
C
：
x2 a2
y2 b2 1(a
b
0) 的左右顶点，若在椭圆
．
1 2i
【答案】 i
考点：复数的运算． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡
获胜的概率为 0. 65，人机和棋的概率为 0.25 ，那么侯逸凡不输的概率为 ________．
【答案】 0.9 【解析】
试题分析：“侯逸凡不输”包含“侯逸凡获胜”与“人机和棋”两个互斥事件，因此
1 所以 k1＞－ 2.
8k1 (2 k1－ 1)
又 x1＋ x2＝
3＋ 4k21
16k21－16k1－ 8
， x1x2＝
3＋
4
k
2 1
，
因为 P→A·→PB＝ P→M2，
考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．
【名师点睛】直线 l 与圆锥曲线相交于两点 A, B 时，一般都设 A( x1, y1), B( x2 , y2) ，直 线方程为 y kx b ，把直线方程代入圆锥曲线方程得 x 的一元二次方程，由韦达定理
C上
存在异于点 A1， A2 的点 P ，使得 PO PA2 ，其中 O 为坐标原点，则椭圆 C 的离心率
的取值范围是
.
【答案】 (
2 ,1)
2
【解析】

江苏省启东中学2011~2012学年度第一学期高二实验班期中考试数学 试 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题：“32,230x x x ∀∈+-≥R ”的否定是 ．2．函数311()433f x x x =-+的极大值为 ．3．在异面直线,a b 上分别任取5个点，以这10个点为顶点可组成的三角形的个数为 ． 4．过点(3,2)-且与椭圆224936x y +=有相同焦点的双曲线的方程为 ． 5．3名男生和3名女生站成一排，3名女生中有且只有2名相邻，则不同的排法种数为 ．6．函数1sin 22y x x =在2x π=的切线方程为 ． 7．将5名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少分到一名大学生，则不同的分配方案的种数为 ． 8．已知圆224120x y x +--=与曲线22(0)y px p =≠的准线相切，则p = ． 9．设命题:|43|1p x -≤；命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．10．设曲线2(0)y x x =≥，直线0y =及(0)x t t =>围成的封闭图形的面积为()S t ，则'()S t = ．11．若函数32()1f x x ax x =+++在区间(0,1)上无零点，则实数a 的取值范围为 ． 12．设()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足'()()xf x f x ≤，对任意的正数,()a b a b ≤，下列四个命题：①()()af a bf b ≤；②()()af a bf b ≥；③()()af b bf a ≥；④()()af b bf a ≤中，真命题的个数是 ．13．已知21(),()()2xf x xg x m ==-，若对任意[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ． 14．抛物线22()2py p x =- (0p >)上动点A 到点B (3,0)的距离的最小值记为()f p ，满足()2f p =的所有实数p 的和为 ．二、解答题（本大题共6小题90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题14分)设P 是双曲线2244x y -=上任意一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，求 12PF PF ⋅的取值范围．16．(本小题14分)设函数32()(,,,)f x ax bx cx d a b c d =+++∈R 的图象关于原点对称，且1x =时， ()f x 取得极小值23-．⑴求,,,a b c d 的值； ⑵若12,[1,1]x x ∈-，求证：124|()()|3f x f x -≤．17．(本小题15分)已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，过原点的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，若AP k 、BP k 均存在，试问：AP k 与BP k 的乘积是否为定值？若是，求出这个值．18．(本小题15分) 已知*n ∈N ，⑴证明：对任意*k ∈N ，有11k k n n kC nC --=；⑵证明：121122nn n n n C C n C n -⋅+⋅++⋅=⋅；⑶化简：0123111(1)2341n n nn n n n C C C C C n --+-+++．19．(本小题16分) 已知函数()ln()f x x x a =-+（a 是常数）．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当()y f x =在1x =处取得极值时，若关于x 的方程2()2f x x x b +=+在1[,2]2上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围； ⑶求证:当*2,n n ≥∈N 时，222111(1)(1)(1)23e n +++<．20．(本小题16分) 如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在x ，左顶点(4,0)A -，圆O '：222(2)x y r -+=是椭圆的内接ABC ∆的内切圆． ⑴求椭圆的方程； ⑵求圆O '的半径；⑶过(0,1)M 作圆O '的两条切线交椭圆于,E F ，y xAOMBO ' CF判断直线EF 与圆的位置关系，并证明．一、填空题：（用黑色墨水签字笔填写）1. 2. 5. 6.7. 8. 请在各题目的答题区域内作答，号……………线……………………………………………… ――――――――――――――――――――――――y xAOMBOF。

江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（理科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin ,<∈∀x R x 的否定是________．2.抛物线2ax y=的准线方程是2=y ，则a ＝________.3.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是______．4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．5.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y xO 相内切，则圆C 的方程是________．6．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.7. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．8.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x 是假命题，则实数m 的取值范围是________．9.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．11.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．12.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为BA ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14分）已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．16.（本题满分14分）已知命题p ：指数函数()xa x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．17.（本题满分15分）设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．18.（本题满分15分）已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．19.（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上． (1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．20.（本题满分16分） 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程；1P的直线l交椭圆C于B,0(A,两点．求证：以AB为直径的圆过定点．(2) 过点)3江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（附加题）（考试用时：30分钟 总分：40分）【必做题】每题10分，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.过顶点)4,2(A 任作互相垂直的两条直线1l 与2l ，设1l 与x 轴交于点M ，2l 与y 轴交于点N ,求线段MN 的中点P 的轨迹方程.22.已知)0,5,1(),3,1,3(B A ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到B A ,两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标z y x ,,满足的条件.23.如图，在四棱锥ABCD S -中，底面A B C D为矩形，SA ⊥平面A B C D ，2,1===AS AD AB ，P 是棱SD 上一点，且PD SP 21=. (1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值； (2) 求二面角D PC A --的余弦值．24.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．CD AB //，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EB EA ⊥.(1) 求证：DE AB ⊥；(2) 求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； (3) 线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ?若存在，求出EAEF；若不存在，说明理由．江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（理科）（考试用时：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.命题：2sin,<∈∀x R x 的否定是________．解析 全称命题的否定是存在性命题． 答案 ∃x ∈R ，sin x ≥2 2.抛物线2ax y=的准线方程是2=y ，则a ＝________.解析 抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，由条件得2＝－14a ，a ＝－18.答案 －183.若直线1:=+by ax l 与圆122=+y x C ：有两个不同交点，则点()b a P ,与圆C 的位置关系是________．解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案 在圆外4.若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5. 答案55.已知以()3,4-C 为圆心的圆与圆1:22=+y xO 相内切，则圆C 的方程是________．解析 若圆C 与圆O 内切，因为点C 在圆O 外，所以r C －1＝5，所以r C ＝6. 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝366．在平面直角坐标系xOy 中，直线()m y m x -=++21与直线82-=+y mx 互相垂直的充要条件是=m ________.解析 x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.答案 －237. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程是x y 3=，它的一个焦点与抛物线x y162=的焦点相同，则双曲线的方程为________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝3，a 2＋b 2＝16，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.答案 x 24－y 212＝18.若命题,"R x ∈∃有"02<--m mx x是假命题，则实数m 的取值范围是________．解析 “∃x ∈R ，有x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题．即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴－4≤m ≤0. 答案 －4≤m ≤09.已知21,F F 为椭圆131222=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在 y 轴上，且21tPF PF =，则t 的值为________．解析 设N 为PF 1的中点，则NO ∥PF 2，故PF 2⊥x 轴，故PF 2＝b 2a ＝32，而PF 1＋PF 2＝2a ＝43，∴PF 1＝732，t ＝7.答案 7 10.若直线01:=++by ax l 始终平分圆0124:22=++++y x y x M 的周长，则()()2222-+-b a 的最小值为________．解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，即(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 511.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()4,6，则1PF PM +的最大值为________．解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2，PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋(6－3)2＋42＝15. 答案 1512.点M 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于Q P ,，若PQM ∆是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．解析 由条件MF ⊥x 轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R ＝b 2a，圆心到y 轴距离为c ，若∠PMQ 为钝角，则其一半应超过π4，从而c b 2a<22，则2ac <2b 2，即2ac <2(a 2－c 2)，两边同时除以a 2，则2e 2＋2e －2<0，又0<e <1， ∴0<e <6－22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，6－22 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，若椭圆上存在点P ，使得e PF PF =21，则该离心率e 的取值范围是________． 解析 因为PF 1＝ePF 2，PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 1＝2ae 1＋e ，PF 2＝2a1＋e，因为e ∈(0,1)，所以PF 1＜PF 2.由椭圆性质知a －c ≤PF 1≤a ＋c ，所以a －c ≤2ae 1＋e ≤a ＋c ，即a －c ≤2aca ＋c≤a ＋c ，即a 2－c 2≤2ac ≤(a ＋c )2，即e 2＋2e －1≥0.又0＜e ＜1，所以2－1≤e ＜1. 答案 [2－1,1)14.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，()44:221=+-y x O ，动点P 在直线03=-+b y x 上，过P 点分别作圆1,O O 的切线，切点分别为BA ,，若满足PA PB 2=的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．答案：(－203，4)解析：设点P 坐标为(x ，y)，因为PB ＝2PA ，所以PB 2＝4PA 2，即PO 21－4＝4PO 2－4，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(解法1)该方程表示一个圆，圆心(－43，0)，r ＝83.因为点P 有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈(－203，4)． (解法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为点P 有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，解得b ∈(－203，4)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴⌝p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴⌝q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.16.已知命题p ：指数函数()xa x f 62)(-=在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p "或"q 为真，p "且"q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则f(x)＝(2a －6)x在R 上单调递减，∴ 0＜2a －6＜1，∴ 3＜a ＜72.若q 真，令f(x)＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－3a ）2－4（2a 2＋1）≥0，－－3a2>3，f （3）＝9－9a ＋2a 2＋1>0⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－2，a>2，a<2或a>52， ∴ a>52.又由已知“p 或q”为真，“p 且q”为假，则应有p 真q 假，或者p 假q 真． ① 若p 真q 假，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a≤52，a 无解．② 若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a≥72，a>52，∴ 52<a≤3或a≥72. 综合①②知，实数a 的取值范围为(52，3]∪[72，＋∞)．17.设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－(213)22×10×4＝45.18.已知圆M 过两点)1,1(-A ，)1,1(-B ，且圆心M 在直线02=-+y x 上.(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．解 (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题意知，四边形PAMB 的面积为S ＝S △PAM ＋S △PBM ＝12AM ·PA ＋12BM ·PB .又AM ＝BM ＝2，PA ＝PB ，所以S ＝2PA ， 而PA ＝PM 2－AM 2＝PM 2－4， 即S ＝2PM 2－4.因此要求S 的最小值，只需求PM 的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得PM 的值最小， 所以PM min ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 所以四边形PAMB 面积的最小值为S min ＝2[(PM )min ]2－4＝232－4＝2 5.19.已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点),2(t M ,)0>t （在椭圆的准线上．(1)求椭圆的标准方程．(2)求以OM 为直径且被直线0543=--y x 截得的弦长为2的圆的方程；(3)设点F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线FH ，且与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值．解 (1)由2b ＝2，得b ＝1.又由点M 在准线上，得a 2c＝2.故1＋c2c＝2.所以c ＝1.从而a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)以OM 为直径的圆的方程为x (x －2)＋y (y －t )＝0，即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 22＝t24＋1.其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，t 2，半径r ＝ t 24＋1.因为以OM 为直径的圆被直线3x －4y －5＝0截得的弦长为2， 所以圆心到直线3x －4y －5＝0的距离d ＝r 2－1＝t2.所以|3－2t －5|5＝t 2，解得t ＝4.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5. (3)法一 由平面几何知ON 2＝OH ·OM .直线OM ：y ＝t 2x ，直线FN ：y ＝－2t (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t2x ，y ＝－2t (x －1)，得x H ＝4t 2＋4. 所以ON 2＝1＋t 24·|x H |·1＋t 24·|x M |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24·4t 2＋4·2＝2.所以线段ON 的长为定值 2.法二 设N (x 0，y 0)，则FN →＝(x 0－1，y 0)，OM →＝(2，t )， MN →＝(x 0－2，y 0－t )，ON →＝(x 0，y 0)．因为FN →⊥OM →，所以2(x 0－1)＋ty 0＝0.所以2x 0＋ty 0＝2. 又MN →⊥ON →，所以x 0(x 0－2)＋y 0(y 0－t )＝0. 所以x 20＋y 20＝2x 0＋ty 0＝2.所以|ON →|＝x 20＋y 20＝2为定值.20. 已知椭圆)1(1:2222≥>=+b a by a x C 的离心率为22，其右焦点到直线022=-+by ax 的距离为32. (1) 求椭圆C 的方程； (2) 过点)31,0(-P 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点．求证：以AB 为直径的圆过定点． (1) 解：由题意，e ＝c a ＝22，e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以a ＝2b ，c ＝b. 又|2ac －2|4a 2＋b2＝23，a>b ≥1，所以b ＝1，a 2＝2， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2) 证明：当AB⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1. 当AB⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋13)2＝169.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋（y ＋13）2＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. 由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)． 下证Q(0，1)符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为y ＝kx －13，代入x 22＋y 2＝1并整理得(1＋2k 2)x2－43kx －169＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k 3（1＋2k 2），x 1x 2＝－169（1＋2k 2）， 所以QA →·QB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋(kx 1－43)(kx 2－43)＝(1＋k 2)x 1x 2－43k(x 1＋x 2)＋169＝(1＋k 2)－169（1＋2k 2）－43k ·4k 3（1＋2k 2）＋169 ＝－16－16k 2－16k 2＋16（1＋2k 2）9（1＋2k 2）＝0， 故QA →⊥QB →，即Q(0，1)在以AB 为直径的圆上． 综上，以AB 为直径的圆恒过定点(0，1)．江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（附加题）（考试用时：30分钟 总分：40分）【必做题】每题10分，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.过顶点)4,2(A 任作互相垂直的两条直线1l 与2l ，设1l 与x 轴交于点M ，2l 与y 轴交于点N ,求线段MN 的中点P 的轨迹方程.解：设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),由2PA=MN,得：x+2y-5=0 22.已知)0,5,1(),3,1,3(B A ，求： （3）线段AB 的中点坐标和长度；（4）到B A ,两点距离相等的点),,(z y x P 的坐标z y x ,,满足的条件.解：(1)AB 中点坐标（2,3，23）.)3,4,2(--=,29||=∴. (2) 由PA=PB 得：4x-8y+6z+7=0 23.如图，在四棱锥ABCD S -中，底面A B C D为矩形，SA ⊥平面A B C D ，2,1===AS AD AB ，P 是棱SD 上一点，且PD SP 21=. (1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值； (2) 求二面角D PC A --的余弦值．解：(1) 如图，分别以AB ，AD ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．设P(x 0，y 0，z 0)，由SP →＝13SD →，得(x 0，y 0，z 0－2)＝13(0，2，－2)，∴ x 0＝0，y 0＝23，z 0＝43，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，43. ∴ CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43，43，AB →＝(1，0，0)．设直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×0＋43×01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432×1＝34141.(2) 设平面APC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧m ·AC →＝x 1＋2y 1＝0，m ·AP →＝23y 1＋43z 1＝0.令y 1＝－2，则x 1＝4，z 1＝1，m ＝(4，－2，1)． 设平面SCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为DC →＝(1，0，0)，DS →＝(0，－2，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝x 2＝0，n ·DS →＝－2y 2＋2z 2＝0.令y 2＝1，则z 2＝1，n ＝(0，1，1)．设二面角APCD 的大小为θ，由于cos 〈m ，n 〉＝0×4＋1×（－2）＋1×12×21＝－4242，所以由向量m ，n 的方向，得cos θ＝－cos 〈m ，n 〉＝4242.24.如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．CD AB //，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EB EA ⊥.(1) 求证：DE AB ⊥；(2) 求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值； (3) 线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ?若存在，求出EAEF；若不存在，说明理由．(1) 证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO.因为EB ＝EA ，所以EO⊥AB. 因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ， 所以四边形OBCD 为正方形，所以AB⊥OD. 所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.(2) 因为平面ABE⊥平面ABCD ，且EO⊥AB，所以EO⊥平面ABCD ，所以EO⊥OD.由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ，设OB ＝1，所以O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)．所以EC →＝(1，1，－1)，平面ABE 的一个法向量为OD →＝(0，1，0)．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈EC →，OD →〉|＝|EC →·OD →||EC →||OD →|＝33，即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为33.(3) 存在点F ，且EF EA ＝13时，有EC∥平面FBD.证明如下：由EF →＝13EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，－13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，23，所以FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，－23.设平面FBD 的法向量为v ＝(a ，b ，c)，则有⎩⎪⎨⎪⎧v ·BD →＝0，v ·FD →＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，43a －23c ＝0.取a ＝1，得v ＝(1，1，2)．因为EC →·v ＝(1，1，－1)·(1，1，2)＝0，且EC 平面FBD ，所以EC∥平面FBD.即点F 满足EF EA ＝13时，有EC∥平面FBD.。