粗糙集综合评价

定义 4.1.2 若 IP ⊂ IR ，且 IP ≠ φ ，则 I IP （ IP 中全部等价关系的 交 集 ） 也 是 一 个 等 价 关 系 ， 称 该 关 系 为 IP 上 的 不 可 分 辨 关 系 （Indiscernibility Relation） ，且记为 ind (IP) ，且有：
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定义 4.1.5 集合 X 关于 H 的下近似（Lower approximation）定义为 H ( X ) = {x ∈ U H ( x ) ⊆ X }
H ( X ) 实际上由那些根据现有知识判断肯定属于 X 的对象所组成的
最大的集合，有时也称为 X 的正域，记作 POS ( X ) 。类似地，由根据现 有知识 判断 肯定不 属于 X 的对 象组成 的集 合称 为 X 的负域，记为 NEG ( X ) 。 （Upper approximation）定义为 定义 4.1.6 集合 X 关于 H 的上近似 H ( X ) = {x ∈ U H ( x) ∩ X ≠ φ }
B( X ) = {x ∈ U B ( x) ∩ X ≠ φ} 分别为 X 的 B 下近似和 B 上近似。
设 D 和 C 是评价指标集 A 的子集，记 C ⇒ D 表示指标集 D 完全依赖于指 标集 C ， D 中所有指标的值唯一地由 C 中指标确定。 即 从决策的角度出发，C 为条件指标， D 为决策指标， D 对 C 的依赖程度反映了 C 对 D 的重要程度。
xI ( B ) y ⇔ a ( x) = a ( y ) ； x, y ∈ U ； a (x) 表示对象 x 的 a 属性值。
显然，等价关系 I (B ) 为不可分辨关系。 I (B ) 的所有等价类的集合记为
U / B 。元素 x 的等价类记为 B (x ) 。
设 X 是 论 域 U 上 的 任 意 子 集 ， 记 B( X ) = {x ∈ U B( x) ⊆ X } ，
H (X ) 是由所有与 X 相交非空的等价类 H (x) 的并集，是那些可能属
于 X 的对象组成的最小集合，显然 H ( X ) + NEG ( X ) = 论域 U 。 定义 4.1.7 集合 X 的边界域定义为 BUN ( X ) ＝ H (X ) - H ( X ) BUN ( X ) 为集合 X 的上近似与下近似之差。如果 BUN ( X ) 是空集，则称 反之， 如果 BUN ( X ) 不是空集， 则称 X 为关于 H 的 X 关于 H 是清晰的； 粗糙集。
β
H ( X ) = {x ∈ U : H ( x) ⊆ X }
或
β
β
H ( X ) = { x ∈ U : c ( x, X ) ≤ β }
定义 4.1.10 集合 X 关于 H 的 β 上近似定义为
β
H β ( X ) = { x ∈ U : c ( x, X ) < 1 − β } 集合 X 关于 H 的 β 边界域定义为 BUN β ( X ) = {x ∈ U : β < c ( x, X ) < 1 − β }
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定义4.1.8 定义4.1.8 定义集合 X 相对于集合 Y 的误分类率 c( X , Y ) 为： c ( X , Y ) = 1 − card ( X ∩ Y ) / card ( X ) 根据误分类度量，可定义可变精度的粗糙包含关系（ β 包含关系）如下：
X ⊆ Y ⇔ c( X , Y ) ≤ β ， β ∈ [0,0.5) 定义 4.1.9 集合 X 关于 H 的 β 下 / ind ( IP ) （等价关系 ind (IP) 的所有等价类族）定义为与等 价关系相关的知识， 称为 IP 基本知识。 为了简便起见， 我们将 U / ind ( IP ) 改为 U / IP ， IP 基本知识记为 IP ，ind (IP ) 的等价类称为知识 IP 的基本 概念或基本范畴（Basic Category） 。特别地，如果 Q ∈ IR ，则称 Q 为 K 中关于 U 的 Q 初等知识 （Q Elementary Category） Q 的等价类为 IR 的 Q ， 初等概念或 Q 初等范畴。 实际上， IP 基本范畴是论域的基本特征，该论域可称为拥有知识 IP ，换句话说，它们是知识的基本模块，或者说是拥有知识 IP 的论域 的基本特征。 对于知识库 K =（ U , IR ） ind (K ) 定义为 K 中所定义的所有等价关 ， 系的族，记为 ind ( K ) = {ind ( IP) φ ≠ IP ⊂ IR} 。这样， ind (K ) 就是等价 关系的最小集，它包括了 K 的全部的等价关系，并且闭于等价关系的交 集。 IP 基本范畴的每个并称为 IP 范畴（ IP Category） 。知识库 K = （ U , IR ）中所有范畴的族称为 K 范畴（ K Category） 。
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定义 4.1.3 设 K = （ U , IP ）和 K ′ = （ U , IQ ）为两个知识库，当 ind (IP ) = ind (IQ ) ，即当 U / IP = U / IQ 时，我们称 K 和 K ′ （ IP 和 IQ ） 是等价的（Equivalent） ，记作 K = K ′ （或 IP = IQ ） 。 当 K 和 K ′ 都有同样的基本范畴集，就意味着知识库 K 和 K ′ 的知识 都能使我们确切地表达关于论域的完全相同的事实。 当 称知识 IP 定义 4.1.4 对于知识库 K 与 K ′ ， ind ( IP ) ⊂ ind ( IQ ) 时， 比知识 IQ 更精细，或者说知识 IQ 比知识 IP 粗糙，也可以说 IP 为 IQ 的 特化（Specialization） IQ 为 IP 的推广（Generalization） ， 。
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4 粗糙集综合评价
4.1 粗糙集的基本理论
粗糙集理论是一种新的处理不确定性问题的数学工具。目前， 粗糙集理论是一种新的处理不确定性问题的数学工具。目前，粗糙集 理论已被成功地应用于机器学习、决策分析、过程控制、模式识别与数据 理论已被成功地应用于机器学习、决策分析、过程控制、 挖掘等领域。 挖掘等领域。
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BUN（X )
H(X )
NEG (
X)
X 的边界线
图 6.1 粗糙集概念示意图 其中， H ( X ) = H ( X ) +BUN ( X )；
U 为整个方框区域。
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4.1.2 变精度粗糙集模型 粗糙集是用两个精确集合，即上、下近似去 逼近粗糙集合，但在上、下近似的定义中集合之 间的包含关系限制较严。对于实际决策，个别属 性的错误取值可能会导致上、下近似集合的变化， 由此会影响粗糙集的分析效果。针对上述缺陷， W. Ziarko 在准许精度的基础上对上下近似的概念 作了拓展，提出了变精度粗糙集的概念：
6.3 基于粗糙集的AHP综合评价方法 基于粗糙集的AHP综合评价方法
层次分析法（ 层次分析法（AHP）自七十年代诞生以来，在方案评价和优选排 ）自七十年代诞生以来， 序等领域得到了广泛的应用。 的关键步骤是由专家给出判断矩阵， 序等领域得到了广泛的应用。AHP的关键步骤是由专家给出判断矩阵， 的关键步骤是由专家给出判断矩阵 然后计算因素权重。 然后计算因素权重。专家给出的判断矩阵是否具有一致性或满足一致 性校验条件是AHP实施的必要条件，它直接影响得到的排序向量是否 实施的必要条件， 性校验条件是 实施的必要条件 能真实地反映各方案的客观排序。 能真实地反映各方案的客观排序。由于问题的复杂性和专家经验知识 的不确定性，一般情况下， 的不确定性，一般情况下，专家给出的判断矩阵很难满足完全一致性 条件，限制了AHP的实用性。这个问题已引起人们广泛的讨论。常用 的实用性。 条件，限制了 的实用性 这个问题已引起人们广泛的讨论。 的解决办法是多专家综合评判，即综合分析多专家的判断矩阵， 的解决办法是多专家综合评判，即综合分析多专家的判断矩阵，或者 对判断矩阵一致性进行改进。 对判断矩阵一致性进行改进。目前判断矩阵一致性的改进方法多比较 复杂，有些方法还缺乏理论依据。 复杂，有些方法还缺乏理论依据。其中突出的问题是一致性调整后判 断矩阵与原专家判断矩阵的偏离程度。 断矩阵与原专家判断矩阵的偏离程度。 粗糙集理论是处理不确定和不完全信息的工具， 粗糙集理论是处理不确定和不完全信息的工具，它因对决策表的 约简和数据依赖性有效分析能力以及不需要数据集以外的先验信息受 到人们的青睐。 到人们的青睐。
[ x]ind ( IP ) =
R∈IP
I [ x]
R
假 定 R 中 的 任 何基 本 集 合互 相 不 可分 辨 ， 例如 两 个 任意 对 象 e1 , e2 ∈ U ，如果它们两者都属于相同的基本集合 X i ，且 e1 , e2 ∈ R ，我 们称它们具有相同的描述，即 des(e1 ) = des(e2 ) = des( X i )
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下面利用粗糙集的概念，给出新的确定判断矩阵的方法： 下面利用粗糙集的概念，给出新的确定判断矩阵的方法：
设 I = {U , A, D} 是一个决策表， 其中 U 是论域，A 为关于 U 的属性集， D 为决策属性集。
A 的 任 何 一 个 子 集 B 确 定 一 个 U 上 的 二 元 关 系 I (B ) ： ∀a ∈ B ，
此时， 集合 X 关于 H 的 β 正域就是 X 关于 H 的 β 下近似：
β POS H ( X ) = H ( X ) ， 集 合 X 关 于 H 的 β 负 域 为 ： NEG β ( X ) β
= { x ∈ U c ( x, X ) > 1 − β } 。