湖南师范大学附属中学2018届高考一模数学(文)试卷

2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 2【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的1，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以11MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，， 则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即299n n --≤0， 设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则32BM ，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=- ． 13． 2【解析】设1a x y=+，19b y x =+，则10a b +=．ABCB 1C 1A 1MN 因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2． 14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾； 若01q <<，由1a n 充分大，则1n a <，矛盾， 所以1q =，从而1n a a =，所以π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+2(sin cos )1θθ+=-即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+k x k --≤≤，得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A = ，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 1=AA 1．在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+=-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c a =222(0)c a b c =->，解得2241a b ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，．（2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为2214x y +=，① 所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y -=． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，．（3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+． 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()21112a S a ==+，即211540a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是14p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()1110n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤． 设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当10e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()10e-，上单调递增；当1e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()1e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当1e a -=，121e b -=时，ab 取得最大值为12e ．（3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为1 2 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 21c 41d ⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y z y z x ++++≥，即()()()2222111111yx z x y z x y z y z x++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =．依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，，所以()111PC =- ，，， ()101PB =- ，，，()11PD =- 0，，． 设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos 3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，()101PB ，，=-，()11PC λ ，，=-，()011PD，，=-． 设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2== ， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）．设()()()11111CCm km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!1!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦． 而()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立）， 所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。

【解析】:(1)直线 的参数方程为 ，消去参数，得普通方程 .
曲线C的极坐标方程为 ，直角坐标方程为 .…………5分
在直角梯形 中：不防PA=AB= ，
所以 ，
. .......10分
.........12分
19．（本小题满分12分）
【解析】（1）记第 天监测数据为 （ ），由图象易知 的日均浓度最大， 的日均浓度最小．从这10天中随机抽取一组连续5天的数据包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ，共6种。.........3分
当m=4时，圆锥曲线 表示的是椭圆，其离心率
当m=-4时，圆锥曲线 表示的是双曲线，其离心率 ，故选D.
9.【答案】A
【解析】由实数x,y满足 可得 ，因为 ，故函数在 上为增函数，又因为 的图象关于直线x=1对称，对照选项，只有A正确，故选A.
10.【答案】C
【解析】如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为 ，下底长为 ，高为 ；等腰三角形的底边长为 ，高为 ．
的距离之和的5倍，而距离之和与点P（x,y）无关，则直线
与圆相离或相切，与直线 位于圆的异侧
所以 ,得 或 ，又直线 与直线 位于圆的异侧，所以 .故选D.
2．填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.答案：800
【解析】设样本容量为x，则 ×1300＝130，∴ ＝300.
∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．
5.【答案】C
【解析】由直线 与直线 平行，可知 所以命题P为真命题；命题q为假命题；所以 为真命题， 为真命题， 为真命题，只有
6.【答案】B

2018届高三年级第一次模拟考试试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】分析：求得集合，即可根据集合的交集运算，即可得到结果.详解：由集合，，则，故选 B.点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 已知向量，，若，则实数等于（）A. 3B. 0C.D. 0或3【答案】 D【解析】分析：根据向量，列出方程，即可求解实数的值.详解：由题意，则，解得或，故选 D.点睛：本题考查了向量共线的应用，根据共线向量，列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.3. 设复数，则（）A. B. 5 C. D.【答案】 C【解析】分析：利用复数的除法运算，求得复数，即可求解复数的模.详解：由题意，所以，故选 C.点睛：本题考查了复数的四则运算及复数模的计算，其中根据复数的除法运算求得复数，再利用复数模的公式求模是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.4. 已知等差数列的公差为-2，且成等比数列，则此数列的前11项的和（）A. 110B. 80C. 100D. 120【答案】 A【解析】分析：由题意，等差数列的公差为，根据成等比数列，求解，利用等差数列求和公式，即可求解结果.详解：由题意，等差数列的公差为，且成等比数列，则，解得，所以，故选 A.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. 双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】 B【解析】分析：根据双曲线的离心率为，求得，即可得到双曲线的渐近线方程.详解：由题意，双曲线的离心率为，即，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选 B.点睛：本题考查了双曲线的几何性质——渐近线方程的求解，根据双曲线的离心率，得到是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.6. 已知命题：若，则，命题；下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】分析：由题意，得到命题为假命题，命题为真命题，再利用真值表即可得到复合命题的真假. 详解：由题意，命题“若，则”为假命题，则为真命题；又当，则，所以，所以命题为真命题，则为假命题，所以根据复合命题的真值表，可得为真命题，故选 C.点睛：本题考查了命题的真假判定，其中解答中正确判定命题为假命题，命题为真命题，再利用复合命题的真值表进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7. 设实数满足，则的最小值为（）A. -0.5B. -2C. -5D. 5【答案】 C【解析】分析：画出约束条件所表示的可行域，把目标函数化为直线，可判定直线过点时，目标函数取得最小值.详解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，设目标函数，可化为直线，当直线过点时，目标函数取得最小值，又由，解得，所以最小值为，故选 C.点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数。

湖南师大附中2018届高三数学月考试题（七）文科带解析湖南师大附中2018届高三月考试卷(七)数学(文科)命题人、审题人：彭萍苏萍曾克平本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设集合A＝{x|－3xπ}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则A∩B的元素个数为(C)(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】因为集合A＝{x|－3xπ}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，所以集合A中含有所有奇数，A∩B＝{－1，1，3}，A∩B的元素个数为3，故选C.(2)若复数z满足(1－i)z＝1＋3i，则|z|＝(B)(A)2(B)5(C)6(D)10【解析】由(1－i)z＝1＋3i，则z＝1＋3i1－i，|z|＝|1＋3i||1－i|＝102＝5，故选B.(3)为了检查某超市货架上的奶粉是否合格，要从编号依次为1到50的袋装奶粉抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是(D)(A)5，10，15，20，25(B)2，4，8，16，32(C)1，2，3，4，5(D)7，17，27，37，47【解析】从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，采用系统抽样间隔应为10，只有D答案中的编号间隔为10，故选D.(4)设集合A＝x|x－1x＋10，B＝{x||x－1|a}，则“a＝1”是的(A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】由题意得A＝{x|－1x1}，B＝{x|1－axa＋1}．①当a＝1时，B＝{x|0x2}，则A∩B＝成立，即充分性成立．②若a＝12，则A∩B＝{x|－1x1}∩{x|12x32}＝，故必要性不成立．综合得“a＝1”是的充分不必要条件，故选A.(5)已知动圆M与圆C1：x＋12＋y2＝1外切，与圆C2：x －12＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹方程是(A) (A)x29＋y28＝1(B)x28＋y29＝1(C)x29＋y2＝1(D)x2＋y29＝1【解析】设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝5－r，∴|MC1|＋|MC2|＝6|C1C2|，故圆M的轨迹是以C1(－1，0)，C2(1，0)为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为x29＋y28＝1.(6)4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是(B)(A)－1(B)0(C)1(D)2【解析】设一枝玫瑰花与一枝茶花价格分别为x元和y 元，则有6x＋3y≤24，4x＋5y≥22，x≥0，y≥0令z＝2x－3y，如图作出可行域：当过点A(3，2)时，2x－3y有最大值，z＝0，故选B.(7)已知α，β∈0，π2，tanα21－tan2α2＝32，且2sinβ＝sinα＋β，则β的值为(A)(A)π6(B)π4(C)π3(D)5π12【解析】∵α∈0，π2，tanα21－tan2α2＝32＝12tanα，∴α＝π3，∴sinα＝32，cosα＝12；∵2sinβ＝sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝32cosβ＋12sinβ化简可得∴tanβ＝33，∵β∈0，π2，∴β＝π6.故选A.(8)如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝(A)(A)2(B)4(C)6(D)8【解析】模拟执行程序框图，可得a＝14，b＝18，满足条件a≠b，不满足条件ab，b＝4，满足条件a≠b，满足条件ab，a＝10，满足条件a≠b，满足条件ab，a＝6，满足条件a≠b，满足条件ab，a＝2，满足条件a≠b，不满足条件ab，b＝2，不满足条件a≠b，输出a的值为2.故选A.(9)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i＝1，2，…，10)，且a1a2…a10，若48ai＝5M，则i＝(C)(A)4(B)5(C)6(D)7【解析】由题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则a1＋a2＝2，a9＋a10＝4，2a1＋d ＝2，2a1＋17d＝4，解得a1＝1516，d＝18，所以该金杖的总重量M＝10×1516＋10×92×18＝15，∵48ai＝5M，∴481516＋i－1×18＝75，解得i＝6，故选C. (10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A) (A)24π＋83(B)24π＋163(C)32π＋83(D)32π＋243 【解析】根据三视图可知，几何体是34个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为s＝12×22×22＝4，高为2，所以三棱锥的体积V＝13×4×2＝83，故组合体的体积V＝34×43π×23＋83＝24π＋83，故选A.(11)已知函数fx＝2sinωx在区间－π2，2π3上是增函数，且在区间0，π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(D)(A)0，1(B)0，34(C)1，＋∞(D)12，34【解析】∵函数fx＝2sinωx在区间－π2，2π3上是增函数，∴－π2ω，π2ω是函数含原点的递增区间．又∵函数在－π2，2π3上递增，∴－π2ω，π2ω－π2，2π3，∴得不等式组－π2ω≤－π22π3≤π2ω，得ω≤1，ω≤34，又∵ω＞0，∴0＜ω≤34，又函数在区间0，π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知ωx＝2kπ＋π2，k∈Z，即函数在x＝2kπω＋π2ω，k∈Z处取得最大值，可得0π2ω≤π，∴ω≥12综上，可得ω∈12，34，故选D.(12)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA、PB，切点为A、B使得∠BPA＝π3，则椭圆C1的离心率的取值范围是(A)(A)32，1(B)22，32(C)22，1(D)12，1【解析】连接OA、OB、OP，则∠APO＝π6，sin30°＝b|OP|，|OP|＝2b，∵b|OP|≤a即2b≤a，e2＝1－b2a2≥34，32≤e，又0e1，即椭圆C1的离心率的取值范围是32，1. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．(13)若向量OA→＝(1，－3)，|OA→|＝|OB→|，|AB→|＝25，则OA→OB→＝__0__．【解析】设OB→＝(x，y)，由已知，x2＋y2＝10，代入|AB|＝（x－1）2＋（y＋3）2＝25，得2x－6y＝0，所以OA→OB→＝x－3y＝0.(14)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝r2和两点A(－4，0)，B(4，0)．若圆C上存在唯一点P，使得∠APB＝90°，则r＝__1__．【解析】圆C上存在点P使∠APB＝90°，即圆C与以AB 为直径的圆外切，即r＋4＝5，得r＝1.(15)已知球O内切于一底面直径和母线相等的圆锥，设圆锥的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2＝__94__．【解析】设圆锥底面直径为2r，则圆锥高为3r，所以V1＝13πr23r＝3πr33；其内切球的半径为3r3，所以V2＝43π33r3＝4×33πr334＝43πr333，∴V1V2＝94. (16)已知函数f(x)＝－x3＋8x－4ex＋4ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪12，＋∞__．【解析】因为f(－x)＝x3－8x－4e－x＋4ex＝x3－8x－4ex＋4ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．又因为f′(x)＝－3x2＋8－4ex－4ex＝－3x2＋8－4ex＋4ex≤－3x2＋8－24ex4ex＝－3x2≤0，所以f(x)在R上单调递减．又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(2a2)≤－f(a－1)＝f(1－a)，即2a2≥1－a，解得a≤－1或a≥12，故a的取值范围是(－∞，－1]∪[12，＋∞)．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)从高三年级所有女生中，随机抽取n个，其体重(单位：公斤)的频率分布表如下：分组(重量)[40，45)[45，50)[50，55)[55，60)频数(个)1050x15已知从n个女生中随机抽取一个，抽到体重在[50，55)的女生的概率为419.(Ⅰ)求出n，x的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率．【解析】(Ⅰ)依题意可得，xn＝419n＝10＋50＋20＋x，从而得x＝20，n＝95.4分(Ⅱ)若采用分层抽样的方法从体重在[40，45)和[55，60)的女生中共抽取5个，则体重在[40，45)的个数为1010＋15×5＝2；记为x，y，5分在[55，60)的个数为1510＋15×5＝3；记为a，b，c，6分从抽出的5个女生中，任取2个共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(x，y)10种情况.8分其中符合体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的情况共有(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)6种.10分设事件A表示“从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个”，则P(A)＝610＝35. 答：从这5个女生中任取2个，体重在[40，45)和[55，60)的女生中各有1个的概率为35.12分(18)(本小题满分12分)设数列的前n项之和为Sn＝3n＋12－32，数列满足bn＝1（2n－1）log3a2n＋1＋32n－1.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列前n项之和Tn.【解析】(Ⅰ)当n＝1时，a1＝S1＝3，1分由Sn＝3n＋12－32得Sn－1＝3n2－32(n≥2)2分∴an＝Sn－Sn－1＝3n(n≥2)4分又a1也符合，∴an＝3n(n∈N＋)5分(Ⅱ)bn＝1（2n－1）log332n＋1＋32n－1＝1（2n－1）（2n＋1）＋32n－1＝1212n－1－12n＋1＋32n－18分Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＋(3＋33＋35＋…＋32n－1)＝121－12n＋1＋3（1－9n）1－9＝n2n ＋1＋32n＋18－38.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，将△CBD折叠至△EBD，使得ED交PC于PC的中点F.(Ⅰ)求证：平面BDE⊥平面PAC.(Ⅱ)求三棱锥E－PBC的体积．【解析】(Ⅰ)证明：在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC，∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC. 又平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC.5分(Ⅱ)∵VB－APEC＝VE－PBC＋VP－ABC∴VE－PBC＝VB－APEC－VP－ABC7分由已知，DE∥AP∴SAPCE＝SAPDE＋S△EDC＝12(2＋2)2＋12×2×2＝2＋29分VB－APCE＝13SAPCEBD＝13(2＋2)2＝22＋2310分VP－ABC＝13S△ABCPA＝13×12×2×2×2＝4311分∴VE－PBC＝VB－APCE－VP－ABC＝22＋23－43＝22－23.12分(20)(本小题满分12分)如图，设椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是32.(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程；(Ⅱ)过F作直线l交抛物线C2于A、B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．【解析】(Ⅰ)∵椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，长轴的右端点与抛物线C2：y2＝8x的焦点F重合，∴a＝2，又∵椭圆C1的离心率是32.∴c＝3，＝1，∴椭圆C1的标准方程：x24＋y2＝1.4分(Ⅱ)过点F(2，0)的直线l的方程设为：x＝my＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立x＝my＋2，y2＝8x，得y2－8my－16＝0.y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，6分∴|AB|＝1＋m2（y1＋y2）2－4y1y2＝8(1＋m)2.过F且与直线l垂直的直线设为：y＝－m(x－2)联立y＝－m（x－2），x24＋y2＝1，得(1＋4m2)x2－16m2x＋16m2－4＝0，xC＋2＝16m21＋4m2，＝2（4m2－1）4m2＋1.8分∴|CF|＝1＋m2|xC－xF|＝44m2＋11＋m2.△ABC面积S＝12|AB||CF|＝16（1＋m2）4m2＋11＋m2.10分令1＋m2＝t，则s＝f(t)＝16t34t2－3，f′(t)＝16（4t4－9t2）（4t2－3）2，令f′(t)＝0，则t2＝94，即1＋m2＝94时，△ABC面积最小．即当m＝±52时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x＝±52y＋2.12分(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax－x2ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．(Ⅰ)当a＝0时，判断函数y＝f(x)极值点的个数；(Ⅱ)若函数有两个零点x1，x2(x1＜x2)，设t＝x2x1，证明：x1＋x2随着t的增大而增大．【解析】(Ⅰ)当a＝0时，f(x)＝－x2ex(x＞0)，f′(x)＝－2xex－（－x2）ex（ex）2＝x（x－2）ex，令f′(x)＝0，得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，y＝f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增，所以x＝2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数y＝f(x)有一个极值点.4分(Ⅱ)证明：令f(x)＝ax－x2ex＝0，得x32＝aex，因为函数有两个零点x1，x2(x1＜x2)，所以x321＝aex1，x322＝aex2，可得32lnx1＝lna＋x1，32lnx2＝lna＋x2.6分故x2－x1＝32lnx2－32lnx1＝32lnx2x1.又x2x1＝t，则t＞1，且x2＝tx1，x2－x1＝32lnt，解得x1＝32lntt－1，x2＝32tlntt－1.所以x1＋x2＝32（t＋1）lntt－1.①8分令h(x)＝（x＋1）lnxx－1，x∈(1，＋∞)，则h′(x)＝－2lnx＋x－1x（x－1）2.令u(x)＝－2lnx＋x－1x，得u′(x)＝x－1x2.10分当x∈(1，＋∞)时，u′(x)＞0.因此，u(x)在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的x∈(1，＋∞)，u(x)＞u(1)＝0，由此可得h′(x)＞0，故h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因此，由①可得x1＋x2随着t的增大而增大.12分请考生在第(22)～(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．(22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a、b∈M. (Ⅰ)证明：|13a＋16b|＜14；(Ⅱ)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【解析】(Ⅰ)记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3，x≤－2，－2x－1，－2x1，－3，x≥1，由－2＜－2x－1＜0，解得－12＜x＜12，则M＝－12，12.3分∵a、b∈M，∴|a|12，|b|12所以13a＋16b≤13|a|＋16|b|＜13×12＋16×12＝14.5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得a2＜14，b2＜14.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4，曲线C2：x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．(Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；(Ⅱ)极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，Bρ2，θ0＋π2都在曲线C1上，求1ρ21＋1ρ22的值．【解析】(Ⅰ)∵曲线C1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4，∴ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，∴曲线C1的直角坐标方程C1：x24＋y2＝1，∵曲线C2：x＝2＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)．∴C2的普通方程C2：(x－2)2＋y2＝4.5分(Ⅱ)∵A(ρ1，θ0)，Bρ2，θ0＋π2都在曲线C1上，∴ρ21＝41＋3sin2θ0，ρ22＝41＋3sin2θ0＋π2，1ρ21＝1＋3sin2θ04，1ρ22＝1＋3cos2θ04∴1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin2θ04＋1＋3cos2θ04＝54.10分。