湖南省衡阳八中、永州四中、郴州一中湘南三校2015-2016学年高一数学下学期入学分班考试试题(文科班)
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1 衡阳八中、永州四中、郴州一中湘南三校联盟2015-2016年度高一年级理科分班联考综合检测文科数学（试题卷） 注意事项： 1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。 2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。 3.考区填写：衡阳八中 A1 永州四中 A2 郴州一中 A3 4.分数线通告：经过三校命题组联合商议，三校的分数线分别如下：
一.选择题（每题5分，共60分。在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。）
1.设集合，，，则中元素的个数是 A．3 B．4 C．5 D． 6 2.下列函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是 A．y=﹣x2 B．y=x﹣1 C．y=log2|x| D．y=﹣2x
3.直线x+y﹣1=0的斜率为
A． B． C．﹣ D．﹣ 4.过直线x+y=0上一点P作圆C：（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当CP与直线y=﹣x垂直时，∠APB= A．30° B．45° C．60° D．90° 5.平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是
A． B．2 C． D． 6.一个正方体内接于半径为R的球，则该正方体的体积是
A．2R3 B．πR3 C．R3 D．R3 7.三棱锥P﹣ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积是
A．2π B．4π C．π D．8π
8.已知函数f（x）=，若f[f（0）]=a2+4，则实数a= A．0 B．2 C．﹣2 D．0或2 9.已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题： ①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β． 其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 10.圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为 A．（x﹣6）2+（y﹣5）2=10 B．（x﹣6）2+（y+5）2=10 C．（x﹣5）2+（y﹣6）2=10 D．（x﹣5）2+（y+6）2=10 11.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设圆内过点（2，5）的最长弦与最短弦为分别为AB、CD，则直线AB与CD的斜率之和为 A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2 12.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f
（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．[2，+∞） B． C． D．[1，2] 二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知函数，那么= ． 14.在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断： ①E为BB′的中点； ②直线A′E和直线FG是异面直线； ③直线FG∥平面A′CD； ④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD； ⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台． 其中正确的结论是 ．（将正确的结论的序号全填上）
15.已知球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=BC=2，球心到面ABC的距离为1，那么球的体积 ． 16.已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x﹣y﹣1=0的交点，直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为 ．
三.解答题（共6题，共70分） 17.（本题满分10分）已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}． （1）求A∩B及A∪C； （2）若U=R，求(A∩∁)U（B∩C）
18.(本题满分10分)已知平面内两点A（8，﹣6），A（2，2）． （Ⅰ）求AB的中垂线方程； （Ⅱ）求过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的方程．
A B C 控制线 衡阳八中 132 109 78 58 郴州一中 119 92 66 42 永州四中 127 103 75 55 2 19.（本题满分11分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点． （I）求证：BM∥平面ADEF； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．
20.（本题满分12分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|． （1）求实数a，b间满足的等量关系； （2）求线段PQ长的最小值； （3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．
21.（本题满分13分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB=BC=2，O是底面对角线的交点． （Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D； （Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D； （Ⅲ）求三棱锥A1﹣DBC1的体积．
22.（本题满分14分）已知函数f（x）=log3． （Ⅰ）求函数f（x）的定义域； （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当x∈[﹣，]时，函数g（x）=f（x），求函数g（x）的值域． 3 2015-2016年度湘南三校联盟文科入学联考数学参考答案 一.选择题（每题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C B C B B B A A D 二.填空题（每题5分，共20分）
13.3.5 14.①③④⑤ 15. 16.x2+（y+1）2=18 三.解答题（共70分） 17.（1）集合A中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}； 集合C中的不等式解得：﹣2＜x＜6，即C={x|﹣2＜x＜6}， ∴A∩B={x|3≤x≤7}，A∪C={x|x≤﹣3或x＞﹣2}； （2）∵B∩C={x|﹣1＜x＜6}，全集U=R， ∴∁U（B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，
18.（I）线段AB的中点为即（5，﹣2），
∵kAB==﹣， ∴线段AB的中垂线的斜率k=， ∴AB的中垂线方程为y+2=（x﹣5），化为3x﹣4y﹣23=0． （II）过P（2，﹣3）点且与直线AB平行的直线l的斜率为﹣． 其方程为：y+3=（x﹣2），化为4x+3y+1=0． 19.（I）取DE中点N，连接MN，AN 在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点
∴MN∥CD，且MN=CD， 由已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4， ∴MN∥AB，且MN=AB ∴四边形ABMN为平行四边形 ∴BM∥AN 又∵AN⊂平面ADEF BM⊄平面ADEF ∴BM∥平面ADEF （II）∵ADEF为正方形 ∴ED⊥AD 又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF ∴ED⊥平面ABCD ∴ED⊥BC
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2
在△BCD中，BD=BC=2，CD=4 ∴BC⊥BD ∴BC⊥平面BDE 又∵BC⊂平面BEC ∴平面BDE⊥平面BEC 20. （1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2． 由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即 （a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2． 化简可得 2a+b﹣3=0．
（2）∵PQ===
=， 故当a=时，线段PQ取得最小值为． （3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．
而OP===，故当a=时，PO取得最小值为， 此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．
故半径最小时⊙P 的方程为 +=． 21.（Ⅰ） 证明：依题意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．（2分） ∴B1D1∥平面BC1D（3分） （Ⅱ） 证明：连接OC1 ∵BD⊥AC，AA1⊥BD ∴BD⊥平面ACC1A1（4分） 又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上 ∴A1O⊥BD（5分）
∵AB=BC=2∴ ∴ ∴Rt△AA1O中，（6分） 同理：OC1=2 ∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12 ∴A1O⊥OC1（7分） ∴A1O⊥平面BC1D（8分）
（Ⅲ）解：∵A1O⊥平面BC1D ∴所求体积（10分） =（13分）
22.（I）要使函数f（x）=log3的解析式有意义， 自变量x须满足：＞0， 解得x∈（﹣1，1）， 故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）， （II）由（I）得函数的定义域关于原点对称，
且f（﹣x）=log3=log3（）﹣1=﹣log3=﹣f（x）． 故函数f（x）为奇函数，
（III）当x∈[﹣，]时，
令u=，则u′=﹣＜0， 故u=在[﹣，]上为减函数， 则u∈[，3]， 又∵g（x）=f（x）=log3u为增函数， 故g（x）∈[﹣1，1]， 故函数g（x）的值域为[﹣1，1]．
