衡阳市八中招生预测试题(三角形全等)

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．12．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．73．下列说法正确的（ ）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．34．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm5．如图，给出下列四组条件：①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．下列各命题中，假命题是（ ）A ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B ．有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等C ．有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等D ．有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等7．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等8．如图，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于，且OD=2，△ABC 的面积是（ ）A ．20B ．24C ．32D ．409．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，E 、D 、 F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且BE CD =，BD CF =，若 104A ∠=︒，则EDF ∠的度数为（ ）A ．24°B ．32°C ．38°D ．52°10．在尺规作图作一个角的平分线时的两个三角形全等的依据是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL11．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒二、填空题12．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．13．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．14．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．15．如图所示，ABC ≅△AB C ''，20CAC ∠'=︒，BAB ∠'=___度．16．如图，ABC ADE ≅，延长BC ，分别交AD ，ED 于点F ，G ，若120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，则CFD ∠=________︒．17．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________18．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．19．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）20．已知△ABC ≌△DEF ，△ABC 的三边分别为3，m ，n ，△DEF 的三边分别为5，p ，q ．若△ABC 的三边均为整数，则m+n+p+q 的最大值为________．21．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．三、解答题22．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．23．如图，CB 为ACE ∠的角平分线，F 是线段CB 上一点，,CA CF B E =∠=∠，延长EF 与线段AC 相交于点D ．（1）求证：AB FE =；（2）若,//ED AC AB CE ⊥，求A ∠的度数．24．OAB 和ODE 均为等腰三角形，且AOB DOE β∠=∠=，OA OB =，OD OE =，连接AD 、BE ，它们所在的直线交于点F ．（1）观察发现：如图1，当60β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______；（2）探究证明：如图2，当90β︒=时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______，根据图2证明你的猜想；（3）拓展推广：当β为任意角时，线段AD 与BE 的数量关系是______，AFB ∠的度数是______．（用含β的式子表示）25．已知ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，ADE 为等腰直角三角形，AD AE =，点D 在直线BC 上，连接CE ．（1）若点D 在线段BC 上，如图1，求证：CE BC CD =-；（2）若D 在CB 延长线上，如图2，若D 在BC 延长线上，如图3，其他条件不变，又有怎样的结论？请分别写出你发现的结论，不需要证明；（3）若10CE =，4CD =，则BC 的长为________．一、选择题1．如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点E ，且AD ⊥AB ，点P 为线段BC 上一动点，连接PE ．若AD ＝14，则PE 的最小值为（ ）A ．7B ．10C ．6D ．52．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．13．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > 4．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．ACB DBC ∠=∠ 5．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等7．如图，123,,l l l 是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．A ．1B ．2C ．3D ．48．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等9．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）A ．图2B ．图1与图2C ．图1与图3D ．图2与图3 10．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 11．如图，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于，且OD=2，△ABC 的面积是（ ）A ．20B ．24C ．32D ．40二、填空题12．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．13．如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ．若AB AC =，AD AE =，60A ∠=︒，80ADC ∠=︒，则B 的度数为______．14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．，所15．如图，线段AB，CD相交于点O，AO=BO，添加一个条件，能使AOC BOD添加的条件的是___________________________．16．如图，AB，CD交于点O，AD∥BC．请你添加一个条件_____，使得△AOD≌△BOC．△的面积是______ 17．如图，ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则ABD18．如图，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADC，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）19．如图，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B 运动，同时，点Q以x cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动，则△ACP与△BPQ全等时，20．如图，△ABC 的外角∠MBC 和∠NCB 的平分线BP 、CP 相交于点P ，PE ⊥BC 于E 且PE ＝3cm ，若△ABC 的周长为14cm ，S △BPC ＝7.5，则△ABC 的面积为______cm 2．21．如图，已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图，已知AB AC =，D 、E 为BAC ∠的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC ∠的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依此规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是______．三、解答题22．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．（2）____________．23．如图，点D，E分别在AB和AC上，DE//BC，点F是AD上一点，FE的延长线交BC延长线BH于点G．（1）若∠DBE＝40°，∠EBC＝35°，求∠BDE的度数；（2）求证：∠EGH＞∠ADE；（3）若点E是AC和FG的中点，△AFE与△CEG全等吗？请说明理由．24．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：（1）如图1，∠AOB＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB内部任意画一条射线OC；画∠AOC的平分线OM，画∠BOC的平分线ON；用量角器量得∠MON＝______．（2）如图2，∠AOB＝90°，将OC向下旋转，使∠BOC＝30°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．25．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC （1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC求证：AB∥CD证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）∴∠＝∠（等式性质）∴EF∥∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．一、选择题1．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．642．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = 3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°4．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等5．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A．1.5 B．2 C．22D．106．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④7．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC ＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为( )A．50°B．65°C．70°D．80°8．下列命题，真命题是（）A．全等三角形的面积相等B．面积相等的两个三角形全等C．两个角对应相等的两个三角形全等D．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等9．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等10．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 11．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题12．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．13．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．15．如图，AB 与CD 相交于点O ，OC ＝OD ．若要得到△AOC ≌△BOD ，则应添加的条件是__________．（写出一种情况即可）16．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．17．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．18．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．19．如图，射线OC 是∠AOB 的角平分线，D 是射线OC 上一点，DP ⊥OA 于点P ，DP ＝5，若点Q 是射线OB 上一点，OQ ＝4，则△ODQ 的面积是__________．20．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．21．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．三、解答题22．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．23．如图，在△ABD 中，∠ABC=45°，AC ，BF 为△ABD 的两条高，CM//AB ，交AD 于点M ；求证：BE=AM+EM ．24．在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”，简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当 AB ＞AC 时，∠C ＞∠B ．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB=∠ADC=90°．∴∠BAD=90°-∠B，∠CAD=90°-∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB=AC，则∠BAD=∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“>”，“<”，“=”）证明：25．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：（1）如图1，∠AOB＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB内部任意画一条射线OC；画∠AOC的平分线OM，画∠BOC的平分线ON；用量角器量得∠MON＝______．（2）如图2，∠AOB＝90°，将OC向下旋转，使∠BOC＝30°，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．。

衡阳市八中自主招生预测试卷时量：120分钟总分：120分一、选择题（每小题3分，共36分）1．函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣B．x≥﹣且x≠3C．x≤﹣D．x≤﹣且x≠3 2．下列计算正确的是（）A．5a2﹣4a2＝1B．2a+3b＝5abC．﹣2a2+a2＝﹣a2D．﹣（a﹣b）＝﹣a﹣b3．已知关于x的不等式＜7的解也是不等式的解，则a的取值范围是（）A．a≥B．a＞C．≤a＜0D．＜a＜0 4．下列命题中：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；⑤对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中真命题有（）个A．1B．2C．3D．45．等腰三角形一腰上的中线分此三角形为两个三角形，若这两个三角形的周长相差2，且等腰三角形的底边长是8，则它的腰长是（）A．6或10B．6或9C．5或10D．6或96．当0≤x≤3，函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值分别是（）A．8，5B．9，8C．8，4 D．9，57．如图，直线y＝—x+m交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AH⊥x轴于点H，连结BH，若OH：HC＝1：5，S△ABH＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（）A．0B．﹣2C．0 或﹣D．﹣2或09．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4米，则树高为（）（9）（10）（11）A．7.3米B．7.5米C．11.8米D．12.25米10．如图，点P是平行四边形ABCD内一点，已知S△P AB＝7，S△P AD＝4，那么S△P AC等于（）A．4B．3.5C．3D．无法确定11．在△ABC中，设D是BC边上的中点，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC 交AC于点F，则EF与BE+CF的关系是（）A．BE+CF＝EF B．BE+CF＞EFC．BE+CF＜EF D．不能确定12．我们来探究“雪花曲线”的有关问题：如图1是长为1的正三角形，现将它作如下变换：取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形，这样得到一个六角星（如图2）；继续对六角星各边施行相同的变换，得到“雪花形”（如图3）．如此继续下去，第4次变换后得到的图形的周长应等于（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）13．在实数范围内，因式分解：x4﹣11x2+28＝．14．若k＝＝＝（k≠0），则k的值为．15．已知（a2+b2）2-（a2+b2）-2=0，则a2+b2＝．16．△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin A+cos A＝．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上的一个动点，过D作DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF长度的最小值为．18．在平面直角坐标系中，有三条直线l1，l2，l3，它们的函数解析式分别是y＝x，y＝x+1，y＝x+2．在这三条直线上各有一个动点，依次为A，B，C，它们的横坐标分别为a，b，c，则当a，b，c满足条件时，这三点不能构成△ABC．三、解答题（共66分）19.(6分)先化简，再求值：，其中．20．(6分)如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF，求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）若∠A＝60°，AD＝4，求△EDF的周长．21．(8分)某帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共11千顶，“芦山地震”发生后，灾区A、B急需帐篷20千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．总厂和分厂的生产效率分别比原来提高了100%和50%，恰好按时完成了这项任务．（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于甲、乙两市通往A，B两地的情况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数和两地所急需的帐篷数如表：A地B地每千顶帐篷所需车辆数（单位：辆）甲市47乙市35急需帐篷数（单位：千顶）911请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．22．(10分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．23(10分)．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝3cm，CB＝4cm，设点P、Q为AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q 移动时间为t秒（0≤t≤4）．①当∠CPQ＝90°时，求t的值．②是否存在t，使△CPQ成为正三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为正三角形？如何改变？并求出相应的t值．24、(12分)阅读材料，完成题目：求2+22+23+24+ (2)解：设S＝2+22+23+24+…+2n①将等式两边同乘以2得：2S＝22+23+24+25+…+2n+1②①﹣②得：S﹣2S＝2﹣2n+1，即S＝2n+1﹣2即2+22+23+24+…+2n＝2n+1﹣2在斜边长为1的等腰直角△OAB中，作内接正方形A1B1C1D1，在等腰直角△OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2，在等腰直角△OA2B2中作内接正方形A3B3C3D3，依次作下去．记第一个正方形A1B1C1D1的边长为a1，第二个正方形A2B2C2D2的边长为a2，…，第n个正方形A n B n∁n D n的边长为a n．（1）求a1，a2；（请写出计算过程）（2）写出a n的表达式；（直接写结论）（3）设S＝a1+a2+a3+…+a n，求S．25．(14分)如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y＝ax2+c与x轴正半轴交于点F（4，0）、与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；（1）求拋物线的函数表达式；（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）①当PO＝PF时，分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；②当n＝2时，若P为AB边中点，请求出m的值；（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动，且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．。

衡阳市八中单独招生试题数学一、选择题1、按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是（ ）A 、6B 、21C 、156D 、2312、如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=1，则这个正方形的边长为（ ）A 、3BC D3、如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 边上运动（点E 不与点A 、C 重合），且保持AE ＝CF ，连接DE ，DF 、EF ，在此运动变化的过程中，有下列结论：①四边形CEDF 有可能成为正方形 ②△DEF 是等腰直角三角形②四边形CEDF 的面积是定值 ④点C 到线段EFA 、①④B 、②③C 、①②④D 、①②③④4、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD 、AB 、BC 分别与⊙M 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A 、133 B 、92 C D 、 5、如图，在一次函数y=-x+6的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴的上方满足上述条件的点P 的个数共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6、如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2017次操作后得到的折痕D2017E2017到BC 的距离记为h2017．若h1=1，则h2017的值为（ ） A 、201512 B 、201412，C 、201511-2 D 、201412-2二、填空题7、如图，在四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为______ 8、已知实数a,b 满足22111,1a b a b+=+= 则||2016a b -＝______9、如图，已知抛物线l1: y=-x 2+2x 与x 轴分别交于A 、O 两点，顶点为M ，将抛物线l 1关于y 轴对称到抛物线l2，则抛物线l 2过点O ，与x 轴的另一个交点为B ，顶点为N ，连接AM 、MN 、NB ，则四边形AMNB 的面积为_______。

2024届湖南省衡阳市八中学中考数学仿真试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（）A．﹣2＜k＜2 B．﹣2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜22．纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）A．4⨯米D．93.510-3.510-⨯米⨯米B．4⨯米C．53.5103.510-3．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6x-中自变量x的取值范围是4．函数y=4A．x≥0B．x≥4C．x≤4D．x>45．如图，小桥用黑白棋子组成的一组图案，第1个图案由1个黑子组成，第2个图案由1个黑子和6个白子组成，第3个图案由13个黑子和6个白子组成，按照这样的规律排列下去，则第8个图案中共有（）和黑子．A．37 B．42 C．73 D．1216．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列计算正确的是（ ）A ．a+a=2aB ．b 3•b 3=2b 3C ．a 3÷a=a 3D ．（a 5）2=a 78．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB ＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）A ．sin h αB ．cos h αC ．tan h αD ．cot h α9．某种电子元件的面积大约为0.00000069平方毫米，将0.00000069这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A ．0.69×10﹣6 B ．6.9×10﹣7 C ．69×10﹣8 D ．6.9×10710．在同一坐标系中，反比例函数y ＝k x与二次函数y ＝kx 2+k (k ≠0)的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，利用图形面积的不同表示方法，能够得到的代数恒等式是____________________(写出一个即可)．12．如图，将边长为6的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为_______平方单位．13．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝kx（x＜0）的图象经过菱形OABC中心E点，则k的值为_____．14．已知α是锐角1sin2α=，那么cosα=_________．15．已知二次函数y=ax2+bx（a≠0）的最小值是﹣3，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则c的最大值是_____．16．正八边形的中心角为______度．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命题会正确吗？（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”．①等腰三角形两腰上的中线相等;②等腰三角形两底角的角平分线相等;③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形;（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例．18．（8分）如图，ABC ∆的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.在图1中画出AB 边上的中线CD ；在图2中画出ABEF ，使得ABEF ABC S S ∆=.19．（8分）如图，PA PB 、分别与O 相切于点A B 、，点M 在PB 上，且//OM AP ，MN AP ⊥，垂足为N ．求证：=OM AN ；若O 的半径=3R ，=9PA ，求OM 的长20．（8分）如图，四边形ABCD 中，∠C ＝90°，AD ⊥DB ，点E 为AB 的中点，DE ∥BC .（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）连接EC ，若∠A ＝30°，DC 3EC 的长.21．（8分）计算：（1）﹣120183﹣2|+2cos30°；（2）（a+1）2+（1﹣a ）（a+1）；22．（10分） 2018年4月份，郑州市教育局针对郑州市中小学参与课外辅导进行调查，根据学生参与课外辅导科目的数量，分成了：1科、2科、3科和4科，以下简记为：1、2、3、4，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查的学员共有 人；在被调查者中参加“3科”课外辅导的有 人．（2）将条形统计图补充完整；（3）已知郑州市中小学约有24万人，那么请你估计一下参与辅导科目不多于2科的学生大约有多少人．23．（12分）如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若∠A=∠D ，CD=23． （1）求∠A 的度数．（2）求图中阴影部分的面积．24．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，过点D 作AE 的垂线交AE 于点G ，交AB 延长线于点F ，连接EF ，ED .求证：EF ED =； 若60ABC ∠=︒，6AD =， 2CE =， 求EF 的长.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】解：∵直线l 1与x 轴的交点为A （﹣1，0），∴﹣1k+b=0，∴242y xy kx k=-+⎧⎨=+⎩，解得：42282kxkkyk-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．∵直线l1：y=﹣1x+4与直线l1：y=kx+b（k≠0）的交点在第一象限，∴42282kkkk-⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪+⎩，解得0＜k＜1．故选D．【题目点拨】两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．2、C【解题分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【题目详解】35000纳米=35000×10-9米=3.5×10-5米．故选C．【题目点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3、B【解题分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．【题目详解】∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC=6，∴DE=BC=1．故选B．【题目点拨】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．4、B【解题分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【题目详解】根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1，则自变量x的取值范围是x≥1．故选B．【题目点拨】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数．5、C【解题分析】解：第1、2图案中黑子有1个，第3、4图案中黑子有1+2×6=13个，第5、6图案中黑子有1+2×6+4×6=37个，第7、8图案中黑子有1+2×6+4×6+6×6=73个．故选C．点睛：本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．6、B【解题分析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．7、A【解题分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘对各选项分析判断后利用排除法求解．【题目详解】A.a +a =2a ，故本选项正确；B.336 b b b ⋅=，故本选项错误；C.32a a a ÷= ，故本选项错误；D.525210()a a a ⨯==，故本选项错误.故选:A.【题目点拨】考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，比较基础，掌握运算法则是解题的关键. 8、B【解题分析】根据垂直的定义和同角的余角相等，可由∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，可求得∠CAD=∠BCD ，然后在Rt △BCD 中 cos ∠BCD=CD BC ，可得BC=cos cos CD h BCD α=∠. 故选B ．点睛：本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．9、B【解题分析】试题解析：0.00 000 069=6.9×10-7， 故选B ．点睛：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10、D【解题分析】根据k ＞0，k ＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【题目详解】分两种情况讨论： ①当k ＜0时，反比例函数y=k x，在二、四象限，而二次函数y=kx 2+k 开口向上下与y 轴交点在原点下方，D 符合； ②当k ＞0时，反比例函数y=k x ，在一、三象限，而二次函数y=kx 2+k 开口向上，与y 轴交点在原点上方，都不符． 分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D ．故选D ．【题目点拨】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2【解题分析】完全平方公式的几何背景，即乘法公式的几何验证．此类题型可从整体和部分两个方面分析问题．本题从整体来看，整个图形为一个正方形，找到边长，表示出面积，从部分来看，该图形的面积可用两个小正方形的面积加上2个矩形的面积表示，从不同角度思考，但是同一图形，所以它们面积相等，列出等式.【题目详解】解：,a b 从整体来看，大正方形的边长是+()2,a b ∴+大正方形的面积为 2从部分来看，该图形面积为两个小正方形的面积加上个矩形的面积和,222a ab b 该图形面积为，∴++ ,同一图形()2222.a b a ab b ∴+=++()2222.a b a ab b +=++故答案是【题目点拨】此题考查了完全平方公式的几何意义，从不同角度思考，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键.12、6﹣【解题分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′OD ，计算面积即可．【题目详解】解：设B′C′和CD 的交点是O ，连接OA ，∵AD=AB′，AO=AO ，∠D=∠B′=90°，∴Rt △ADO ≌Rt △AB′O ，∴∠OAD=∠OAB′=30°，∴OD=OB′=2，S四边形AB′OD=2S△AOD=2×122×6=23，∴S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD=6﹣23．【题目点拨】此题的重点是能够计算出四边形的面积．注意发现全等三角形．13、8【解题分析】根据反比例函数的性质结合点的坐标利用勾股定理解答.【题目详解】解：菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，-4），22345,+=则点B的横坐标为-5-3=-8，点B的坐标为（-8，-4），点C的坐标为（-5,0）则点E的坐标为（-4，-2），将点E的坐标带入y=kx（x＜0）中，得k=8.给答案为：8.【题目点拨】此题重点考察学生对反比例函数性质的理解，掌握坐标轴点的求法和菱形性质是解题的关键.143【解题分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．【题目详解】由sinα=ac=12知，如果设a=x，则c=2x，结合a2+b2=c2得3∴cosα=bc=32.故答案为3 2.【题目点拨】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握同角三角函数的关系.15、3【解题分析】由一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，可得y=ax2+bx（a≠0）和y=-c有交点，由此即可解答.【题目详解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，∴抛物线y=ax2+bx（a≠0）和直线y=-c有交点，∴-c≥-3，即c≤3，∴c的最大值为3.故答案为：3.【题目点拨】本题考查了一元二次方程与二次函数，根据一元二次方程有实数根得到抛物线y=ax2+bx（a≠0）和直线y=-c有交点是解决问题的关键.16、45°【解题分析】运用正n边形的中心角的计算公式360n︒计算即可.【题目详解】解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为360458︒=︒，故答案为45°.【题目点拨】本题考查了正n边形中心角的计算.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）①真；②真；③真；（2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；见解析. 【解题分析】(1)根据命题的真假判断即可；(2)根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．【题目详解】(1)①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题；②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题；③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题；故答案为真；真；真；(2)逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；已知：如图，△ABC 中，BD ，CE 分别是AC ，BC 边上的中线，且BD ＝CE ，求证：△ABC 是等腰三角形；证明：连接DE ，过点D 作DF ∥EC ，交BC 的延长线于点F ，∵BD ，CE 分别是AC ，BC 边上的中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，∵DF ∥EC ，∴四边形DECF 是平行四边形，∴EC ＝DF ，∵BD ＝CE ，∴DF ＝BD ，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵DF ∥EC ，∴∠F ＝∠ECB ，∴∠ECB ＝∠DBC ，在△DBC 与△ECB 中BD EC DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBC ≌△ECB ，∴EB ＝DC ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；证明的步骤是：先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证，最后写出证明过程．18、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】（1）利用矩形的性质得出AB的中点，进而得出答案．（2）利用矩形的性质得出AC、BC的中点，连接并延长，使延长线段与连接这两个中点的线段相等. 【题目详解】（1）如图所示：CD即为所求.（2）【题目点拨】本题考查应用设计与作图，正确借助矩形性质和网格分析是解题关键．19、（1）见解析（2）5【解题分析】⊥．解：（1）证明：如图，连接OA，则OA AP⊥，∵MN APMN OA．∴//OM AP，∵//∴四边形ANMO是平行四边形．∴=OM AN ．（2）连接OB ，则OB BP ⊥．∵=OA MN ，=OA OB ，//OM AP ，∴=OB MN ，=OMB NPM ∠∠．∴Rt OBM Rt MNP ∆≅∆．∴=OM MP ．设=OM x ，则=9-NP x ．在Rt MNP ∆中，有()222=3+9-x x ．∴=5x ．即=5OM ．20、（1）见解析；（2）EC =【解题分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出12DE BE AB ==，再利用DE ∥BC ，得出∠2＝∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt △BCD 中，∠3＝60°，DC =，得出DB 的长，进而得出EC 的长.【题目详解】（1）证明：∵AD ⊥DB ，点E 为AB 的中点， ∴12DE BE AB ==. ∴∠1＝∠2.∵DE ∥BC ，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴BD 平分∠ABC .（2）解：∵AD ⊥DB ，∠A ＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD ＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE ＝∠2+∠4＝90°.在Rt △BCD 中，∠3＝60°，DC =，∴DB ＝2.∵DE＝BE，∠1＝60°，∴DE＝DB＝2.∴22437EC DE DC=+=+=.【题目点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键.21、(1)1;(2)2a+2【解题分析】（1）根据特殊角锐角三角函数值、绝对值的性质即可求出答案;（2）先化简原式，然后将x的值代入原式即可求出答案．【题目详解】解:（1）原式=﹣1+23+2×3（2）原式=a2+2a+1+1﹣a2=2a+2.【题目点拨】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．22、（1）50,10；（2）见解析.（3）16.8万【解题分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图中的参加“3科”课外辅导人数及百分比，求得总人数为50人；再由总人数减去参加“1科”，“2科”，“4科”课外辅导人数即可求出答案.（2）由（1）知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人，由扇形统计图可知参加“4科”课外辅导人数占比为10%，故参加“4科”课外辅导人数的有5人.（3）因为参加“1科”和“2科”课外辅导人数占比为152050+，所以全市参与辅导科目不多于2科的人数为24×152050+＝16.8（万）.【题目详解】解：（1）本次被调查的学员共有：15÷30%＝50（人），在被调查者中参加“3科”课外辅导的有：50﹣15﹣20﹣50×10%＝10（人），故答案为50，10；（2）由（1）知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人，在被调查者中参加“4科”课外辅导的有：50×10%＝5（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）24×152050+ ＝16.8（万）， 答：参与辅导科目不多于2科的学生大约有16.8人．【题目点拨】本题考察了条形统计图和扇形统计图，关键在于将两者结合起来解题.23、 (1) ∠A=30°;(2)2233π- 【解题分析】（1）连接OC ，由过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，推出OC ⊥CD ，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由OA=OC ，推出∠A=∠ACO ，由∠A=∠D ，推出∠A=∠ACO=∠D再由∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90°即可得出.（2）先求∠COD 度数及OC 长度，即可求出图中阴影部分的面积．【题目详解】解：（1）连结OC∵CD 为⊙O 的切线∴OC ⊥CD∴∠OCD=90°又∵OA=OC∴∠A=∠ACO又∵∠A=∠D∴∠A=∠ACO=∠D而∠A+∠ACD+∠D=180°﹣90°=90° ∴∠A=30°（2）由（1）知：∠D=∠A=30°∴∠COD=60°又∵CD=2∴OC=2∴S 阴影=． 【题目点拨】本题考查的知识点是扇形面积的计算及切线的性质，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算及切线的性质.24、（1）详见解析；（2）7EF =【解题分析】（1）根据题意AB 平分BAD ∠可得90AGF AGD ∠=∠=︒，从而证明()FAG DAG ASA ∆≅∆即可解答（2）由（1）可知6AF AD ==，再根据四边形ABCD 是平行四边形可得642BF AF AB =-=-=，过点F 作FH EB ⊥延长线于点H ，再根据勾股定理即可解答【题目详解】（1）证明：AB 平分BAD ∠FAG DAG ∴∠=∠DG AE ⊥90AGF AGD ∴∠=∠=︒又AG AG =()FAG DAG ASA ∴∆≅∆GF GD ∴=又DF AE ⊥EF ED ∴=（2）FAG DAG ∆≅∆6AF AD ∴==四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴，6BC AD ==180********BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒ 1602FAE BAD ∴∠=∠=︒ 60FAE B ∴∠=∠=︒ ABE ∴∆为等边三角形624AB AE BE BC CE ∴===-=-=642BF AF AB =-=-=过点F 作FH EB ⊥延长线于点H .在Rt BFH ∆中，60HBF ABC ∠=∠=︒30HFB ∴∠=︒112BH BF ∴== 2222213HF BF BH =-=-415EH BE BH =+=+=()22223527EF FH EH =+=+=【题目点拨】此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题关键在于作好辅助线。

一、选择题1．如图，已知16AB AC +=，点O 为ABC ∠与ACB ∠的平分线的交点，且OD BC 于D ．若4OD =，则四边形ABOC 的面积是（ ）A ．36B ．32C ．30D ．642．下列说法正确的（ ）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙 4．已知如图，AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（ ）A ．BD +ED ＝BCB ．DE 平分∠ADBC ．AD 平分∠EDC D ．ED +AC ＞AD 5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是边AB 上一点，若6CD =，则DE 的长可以是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，且DE 所在直线是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若3DE =，则BC 的长为（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．97．如图，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于，且OD=2，△ABC 的面积是（ ）A ．20B ．24C ．32D ．408．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④9．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是（ ）A ．∠B ＝∠D B ．EB=DFC ．AD=BCD ．AE=CF10．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC = 11．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 12．如图，在△ABC 中，点E 和F 分别是AC ，BC 上一点，EF ∥AB ，∠BCA 的平分线交AB 于点D ，∠MAC 是△ABC 的外角，若∠MAC ＝α，∠EFC ＝β，∠ADC ＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（ ）A ．β＝α+γB ．β＝2γ﹣αC ．β＝α+2γD ．β＝2α﹣2γ 13．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．314．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 15．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝8，则四边形ABCD 的面积是____．17．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．18．如图，ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是10、15、20，三条角平分线交于O 点，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．19．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．20．如图，ABC ADE ≅，延长BC ，分别交AD ，ED 于点F ，G ，若120EAB ∠=︒，30B ∠=︒，10CAD ∠=︒，则CFD ∠=________︒．21．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．22．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．23．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15cm ，BC ＝8cm ，AX ⊥AC 于A ，P 、Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动．当PQ ＝AB ，AP ＝_____时，△ABC 和△APQ 全等．24．如图，AB ，CD 交于点O ，AD ∥BC ．请你添加一个条件_____，使得△AOD ≌△BOC ．25．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．26．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．三、解答题27．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．28．如图，已知∠AOC 是直角，∠BOC =46°，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOB ． （1）试求∠DOE 的度数；（2）当∠BOC =α（0°≤α≤90°），请问∠DOE 的大小是否变化？并说明理由．29．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS ”“ASA ”“AAS ”“SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．小聪将命题用符号语言表示为在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，B E ∠=∠．小聪的探究方法是对B 分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当B 是直角时，如图1，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠=︒，根据“HL ”定理，可以知道Rt Rt ABC DEF ≌△△． 第二种情况：当B 是锐角时，如图2，90B E ∠=∠<︒，BC EF =．（1）在射线EM 上是否存在点D ，使DF AC =？若存在，请在图中作出这个点，并连接DF ；若不存在，请说明理由；（2）这种情形下，ABC 和DEF 的关系是 （选填“全等”“不全等”或“不一定全等”）；第三种情况：当B 是钝角时，如图3，在ABC 和DEF 中，AC DF =，BC EF =，90B E ∠=∠>︒．（3）请判断这种情形下，ABC 和DEF 是否全等，并说明理由．30．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：（1）如图1，∠AOB ＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB 内部任意画一条射线OC ；画∠AOC 的平分线OM ，画∠BOC 的平分线ON ；用量角器量得∠MON ＝______． （2）如图2，∠AOB ＝90°，将OC 向下旋转，使∠BOC ＝30°，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．。

一、单选题二、多选题1. 江南多雨，屋顶常常修成坡度固定的“人”字形，“人”字形的尖顶屋可以看做由两个斜面构成。

如图所示，斜面与水平方向的夹角均为，房屋长度2x 为一定值，将雨滴从“人”字形坡顶开始的下滑过程简化为雨滴从光滑斜面顶端由静止下滑。

不考虑雨滴滑下时质量的变化，下列说法正确的是（ ）A ．越大，雨滴滑下的时间越长B ．越大，雨滴滑下的时间越短C ．越大，雨滴滑下获得的动能越大D．当时，雨滴滑下获得的动量最大2. 如图所示一个做匀变速曲线运动的物块的轨迹示意图，运动至A 时速度大小为v 0，经一段时 间后物块运动至B 点，速度大小仍为v 0，但相对A 点时的速度方向改变了90°，则在此过程中（）A ．物块的运动轨迹AB 可能是某个圆的一段圆弧B ．物块的动能可能先增大后减小C．物块的速度大小可能为D ．B 点的加速度与速度的夹角小于90°3. 下列说法正确的是（ ）A ．肥皂泡膜在阳光的照射下呈现彩色是光的色散现象B ．机械波和电磁波本质上相同，都能发生反射、折射、干涉和衍射现象C ．拍摄玻璃橱窗内的物体时，为了提高成像质量，往往在镜头前贴上增透膜D ．在光的单缝衍射实验中，缝越宽，衍射现象越不明显4. 竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v 0从A 点出发沿圆轨道运动，至B 点时脱离轨道，最终落在水平面上的C 点，不计空气阻力．下列说法中不正确的是 （）A ．在B 点时，小球对圆轨道的压力为零B ．B 到C 过程，小球做匀变速运动C ．在A 点时，小球对圆轨道压力大于其重力D ．A 到B 过程，小球水平方向的加速度先增加后减小5. 电磁波在空气中的传播速度为v 。

北京交通广播电台发射电磁波的频率为f ，该电磁波在空气中传播的波长λ为（ ）A ．v fB．C．D．6. 水平放置的光滑绝缘环上套有三个带电小球，小球可在环上自由移动。

如图所示是小球平衡后的可能位置。

湖南省衡阳市第八中学2024届高三下学期高考适应性练习（一）数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.150百分位数为（ ）A. 8.4B. 8.5C. 8.6D. 8.72. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 若数列满足，，则（ ）A.B. 11C. D.4. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5. 在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）A.B.C.D.6. 在平面直角坐标系中，集合，集合，已知点，点，记表示线段长度的最小值，则的最大值为（ ）A 2B.C. 1D.7. 已知函数，，则存在，使得（ ）的的.222:1(0)x C y b b-=>e <b (0,1)(1,)+∞)+∞{}n a 211a =111n na a +=-985a =1110110-1011,αβl ⊂αm α//,//m αββ//l m //,m αββ⊥l m ⊥//,//l m αβ//m β,//l m m β⊥αβ⊥0.6,0.70.5152978581729(){},0A x y kx y k =-+=(){},1B x y y kx ==-M A ∈N B ∈d MNd()cos 2f x x =()sin g x x =ππ,64θ⎛⎫∈⎪⎝⎭A. B. C. D. 8. 已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）A. B.C.D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）A.方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆B. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆C. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支D. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线10. 已知为锐角，则下列说法错误的是（ ）A. 满足的值有且仅有一个B. 满足,,成等比数列的值有且仅有一个C. ,,三者可以以任意顺序构成等差数列D. 存在使得,,成等比数列11. 已知无穷数列，．性质，，；性质，，，下列说法中正确的有（ ）A. 若，则具有性质sB. 若，则具有性质tC. 若具有性质s ，则2()()()()g f g f θθθθ=+⋅4()()()2()g f f g θθθθ⋅=+2()()()()f g g f θθθθ=+⋅()()f g θθ=A B PA PBλ=0λ>1λ≠P AB 21AB λλ⋅-1111ABCD A B C D -P 2PA PB =P 2π4π3+4π3+(2π+01i z =-()i ,z x y x y =+∈R 02z z -=z 002z z z z -+-=z 001z z z z ---=z ()00012z z z z z ++=-z θtan cos sin θθθ=+θsin θtan θcos θθsin θcos θtan θθtan sin θθ-cos sin θθ-cos tan θθ-{}n a 11a =*:,s m n ∀∈N m n m n a a a +>+*:,t m n ∀∈N 2m n ≤<11m n m n a a a a -++>+32n a n =-{}n a 2n a n ={}n a {}n a n a n≥D. 若等比数列既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知，（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.13. 各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______．14. 已知定义在R 上的增函数满足对任意的，都有，且，函数满足，，且当时．若在上取得最大值的x 值依次为，，…，，取得最小值的x 值依次为，，…，，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球结果是一红一白．（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；（2）如果你根据（1）中判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X ，求X 的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．16. 已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围.17. 如图1，已知正三角形边长为4，其中，现沿着翻折，将点翻折到点处，使得平面平面为中点，如图2.的的{}n a ()2,∞+:31p x -≤≤:q x a £1111ABCD A B C D -1160A AB A AD ∠=∠=︒1AC =()f x 1x 2x ∈R 1212()()()f x x f x f x +=(3)8f =()g x ()(4)4g x g x +-=(6)()g x g x -=[]2,3x ∈()(1)g x f x =-()g x []0,1001x 2x k x 1x '2x 'nx '()()11==''+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣=⎦∑∑i kni i i i i x x x x g g ()()2ln 12a f x x x a x =+-+()()21g x ax a x =-++()f x ()()0f x g x +≤a ABC 3,3AD DB AE EC ==DE A A 'A BC '⊥,DBC M A C '（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.现取半径为到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.（1）求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.（1）若，求及；A D 'EM A BC 'DEM E F F F E FEx EF ΓM 2210x y +=M Γ,A B MAB △M ()222210x y a b a b+=>>()00,P x y 00221x x y y a b +=12:n A a a a ，，，(3)n ≥n 1m n ≤≤m (){}12k A m k a m k n === ，，，，()A m ()s m :63253755A ，，，，，，，(5)A (5)s（2）若，求证：互不相同；（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.12111()()()n n s a s a s a +++= 12,,,n a a a 12,a a a b ==()i j i j i j n ≠+≤，，()i i j A a +∈()j i j A a +∈12n a a a +++。

2024届湖南省衡阳市雁峰区衡阳市第八中学高三模拟预测数学试题一、单选题1．已知向量()()2,3,1,3a b ==-r r，则2a b -=r r （ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．设i 是虚数单位，若复数z 的实部是1，且2z z z ω=+⋅的虚部是2，则复数z 的虚部为（ ） A ．2iB ．iC ．1D ．23．()98展开式中系数为无理数的项共有（ ） A ．2项B ．3项C ．4项D ．5项4．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则csc10︒︒=（ ）A ．4B ．8CD ．5．球类运动对学生的身心发展非常重要.现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选3门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（ ） A ．210种B ．78种C ．150种D ．144种6．已知()1f x +在R 上单调递增，且为奇函数.若正实数a ，b 满足()()42f a f b -+=-，则12a b+的最小值为（ ）A ．34+B ．34C ．3+D ．32+7．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为最大的球的表面积为（ ） A ．12πB ．27πC ．64π9D ．64π38．已知()()1122,,,A x y B x y 是圆222x y +=上两点．若12121x x y y +=-，则1212x x y y +++的取值范围是（ ） A．⎡⎢⎣⎦B ．[1,1]-C．[ D ．[2,2]-二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．已知变量x ，y 的线性回归方程ˆ0.3yx x =-，且 2.8y =，则4x =- B ．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的75%分位数为11 C ．已知随机变量~(7,0.5),()X B P X k =最大，则k 的取值为3或4 D ．已知随机变量~(0,1),(1)X N P X p ≥=，则1(10)2P X p -<<=- 10．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，1PD AD ==，12PE PB =u u u r u u u r，34PF PA =u u u r u u u r，平面ADE I 平面PBC l =，PC ⋂平面DEF G =，则（ ）A ．直线l 与平面PAD 有一个交点B ．PC DE ⊥ C ．25PG PC =u u u r u u u rD ．三棱锥P EFG -的体积为38011．已知2n n a =，31n b n =-，数列{}n a 和{}n b 的公共项由小到大排列组成数列{}n c ，则（ ）A ．432c =B ．{}n c 为等比数列C ．数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和[)1,5n S ∈D三、填空题12．已知集合{},1A a a =+，集合{}2N 20|B x x x =∈--≤，若A B ⊆，则=a ．13．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>在区间π7π(,)612上单调，且满足π()16f =-，3π()04f =，则ω=.14．如图所示，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点F ，过点F 作直线l 交双曲线C 于A B ，两点，过点F 作直线l 的垂线交双曲线C 于点G ，2AB BF =u u u r u u u r，且三点A O G ，，共线（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为．四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2cos cos 0c B a A b C ++=．(1)求A ；(2)如图所示，D 为平面上一点，与ABC V 构成一个四边形ABDC ，且π3BD C ∠=，若2c b ==，求AD 的最大值．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，D E ，分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D ．(1)求证：1AC ⊥平面BDE ； (2)若点F 为线段11B C 上的中点，求平面BDE 与平面BDF 夹角的余弦值． 17．已知()()ln 10,ax a f x x+≥=．(1)讨论()f x 的单调性； (2)当n 为正整数时，试比较1111111,1,1,111nnn n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系，并证明．18．在直角坐标系xoy 中，动圆M 与圆221:20C x x y ++=外切，同时与圆222:280C x x y -+-=内切，记圆心M 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)已知三点T ，P ，Q 在E 上，且直线TP 与TQ 的斜率之积为34-；（i ）求证：P ，O ，Q 三点共线；（ii ）若PQ PT ⊥，直线TQ 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，求四边形OP AB 面积的最大值． 19．现有A ，B 两个不透明盒子，都装有m 个红球和m 个白球，这些球的大小、形状、质地完全相同．(1)若3m =，甲、乙、丙依次从A 盒中不放回的摸出一球，设X 表示三人摸出的白球个数之和，求X 的分布列与数学期望；(2)若1m =，从A 、B 两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，()*n n ∈N 次这样的操作后，记A 盒子中红球的个数为n X ，求： （i ）21X =的概率； （ii ）n X 的分布列．。

衡阳市第八中学2025届高考数学倒计时模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]2．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C D ．23．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 4．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．206．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =-- C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+7．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 8．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=9．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=10．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 11．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ． C ．D ．12．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届湖南省衡阳市八中学数学八上期末质量检测模拟试题 注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．给出下列4个命题：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；③两边及一角对应相等的两个三角形全等；④有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等.其中正确的的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如果数据x 1，x 2，…，x n 的方差是3，则另一组数据2x 1，2x 2，…，2x n 的方差是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．123．如果水位下降6m 记作6m -，那么水位上升6m 记作（ ）A ．6m +B ．12m +C ．6m -D ．0m4．下列式子中，属于最简二次根式的是A ．9B ．7C ．20D ．135．如图，ABC ∆的周长为26cm ，分别以A B 、为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧交于点D E 、，直线DE 与AB 边交于点F ，与AC 边交于点G ，连接BG ，GBC ∆的周长为14cm ，则BF 的长为 （ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．12cm6．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于E 、D 两点，若∠BAC ＝40°，则∠DBC 等于（ ）A ．30°B ．40°C ．70°D ．20°7．在平面直角坐标系中．点P （1，﹣2）关于x 轴的对称点的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣1，﹣2） C ．（﹣1，2） D ．（﹣2，1）8．如图，在数轴上数表示2，5的对应点分别是B 、C ，B 是AC 的中点，则点A 表示的数（ ）A ．5-B ．25-C ．45-D ．52-9．下列表情中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在第一个1ABA ∆中，20B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A AC =，得到第二个12A A C ∆；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，则第5个三角形中，以点4A 为顶点的等腰三角形的顶角的度数为（ ）A ．170︒B ．175︒C ．10︒D ．5︒二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图所示，直线y ＝x+1（记为l 1）与直线y ＝mx+n （记为l 2）相交于点P(a ，2)，则关于x 的不等式1﹣n≥（m ﹣1）x 的解集为_____．12．如图示在△ABC 中∠B= ．13．因式分解：2x x -=____.14．等腰三角形的一个内角是100︒，则它的底角的度数为_________________.15．某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分），规定笔试成绩占60%，面试成绩占40%，应聘者张华的笔试成绩和面试成绩分别为95分和90分，她的最终得分是_____分．16．对于非零的两个实数a 、b ，规定a ⊕b=，若2⊕（2x ﹣1）=1，则x 的值为 ．17．若x 2+y 2=10，xy =3，则（x ﹣y ）2=_____．18．多项式294n +加上一个单项式后能称为一个完全平方式，请你写出一个符合条件的单项式__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形：（1）当把△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，CD=BE 吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；（2）当把△ADE 绕点A 旋转到图3的位置时，△AMN 还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．20．（6分）已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝ED ，∠B ＝∠D ．求证：∠1＝∠1．21．（6分） (1)()020191812π-+--- (2)35226x y x y -=-⎧⎨+=⎩22．（8分）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)(1)观察图形，可以发现代数式2m 2＋5mn ＋2n 2可以因式分解为________；(2)若每块小长方形的面积为10 cm 2，四个正方形的面积和为58 cm 2，试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.23．（8分）计算及解方程组:（1）132323242÷-⨯+；（2）(2()423122223÷； （3）解方程组:546231x y x y +=⎧⎨+=⎩ ． 24．（8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若农户王大伯一次购买该种子花费了420元，求他购买种子的数量．25．（10分）定义：如果三角形某一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB=3，AC=7．求证：ABC ∆是“好玩三角形”；（2）如图2，若等腰三角形DEF ∆是“好玩三角形”，DE=DF=20，求EF 的长．26．（10分）已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c 是13的整数部分，求a+2b-c 的平方根．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】根据三角形全等的判定方法可判断①④正确，②③错误．【详解】解：①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以①正确； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，如图：△ABC 和△ACD ，的边AC=AC ，BC=CD ，高AE=AE ，但△ABC 和△ACD 不全等，故此选项错误；③两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；④有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等，正确.所以①④两个命题正确.故选 B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2、D 【分析】先求出另一组数据的平均数，然后再利用方差公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-求出方差，找到与给定的一组数据的方差之间的关系，则答案可解． 【详解】设数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为2s ，则12n x x x x n +++=，2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-，则另一组数据的平均数为122222n x x x x n +++= ，方差为： 2222222121214[(22)(22)(22)][()()()]412n n x x x x x x x x x x x x s nn -+-++-=-+-++-==故选：D ．【点睛】 本题主要考查平均数和方差的求法，掌握平均数和方差的求法是解题的关键． 3、A【解析】根据正负数的意义:表示具有相反意义的量,即可判断．【详解】解: 如果水位下降6m 记作6m -，那么水位上升6m 记作6m +故选A ．【点睛】此题考查的是正负数意义的应用,掌握正负数的意义:表示具有相反意义的量是解决此题的关键．4、B【详解】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.3==属于最简二次根式.故选B.5、A【分析】将△GBC的周长转化为BC+AC，再根据△ABC的周长得出AB的长，由作图过程可知DE为AB的垂直平分线，即可得出BF的长.【详解】解：由作图过程可知：DE垂直平分AB，∴BF=12AB，BG=AG，又∵△GBC的周长为14，则BC+BG+GC=BC+AC=14，∴AB=26- BC-AC=12，∴BF=12AB=6.故选A.【点睛】本题考查了作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形的周长，解题的关键是△GBC 的周长转化为BC+AC的长，突出了“转化思想”.6、A【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，又由DE是AB的垂直平分线，即可求得∠ABD的度数，继而求得答案．【详解】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．故选：A．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7、A【解析】点P （1，-2）关于x 轴的对称点的坐标是（1，2），故选A ．8、C【分析】先求出线段BC 的长，然后利用中点的性质即可解答；【详解】∵C B 点表示2，∴BC ，又∵B 是AC 的中点，∴)2224AC BC ==-=-，点A ()故选：C ．【点睛】本题主要考查了实数与数轴的知识点，准确计算是解题的关键．9、B【解析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，故此选项正确；C 、不是轴对称图形，故此选项错误；D 、不是轴对称图形，故此选项错误；故选B ．【点睛】考查了轴对称图形，关键是正确找出对称轴的位置．10、A【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A 5的度数．【详解】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ， ∴∠BA 1A= 1802B ︒-∠=80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1=18022BA A ︒∠==40°； 同理可得∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =1802n ︒-， 以点A 4为顶点的等腰三角形的底角为∠A 5，则∠A 5=4802︒=5°， ∴以点A 4为顶点的等腰三角形的顶角的度数为180°-5°-5°=170°．故选：A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、x≥1【分析】先利用y ＝x+1确定a ＝1，然后结合函数图象，写出直线y ＝x+1不在直线y ＝mx+n 的下方所对应的自变量的范围即可．【详解】当y ＝2时，a+1＝2，解得a ＝1，不等式1﹣n≥（m ﹣1）x 变形为x+1≥mx+n ，而x≥1时，x+1≥mx+n ，所以关于x 的不等式1﹣n≥（m ﹣1）x 的解集为x≥1．故答案为:x≥1．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12、25°. 【解析】试题分析：∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；故答案为25°．考点：直角三角形的性质．13、x(x-1)【分析】提取公因式x 进行因式分解.【详解】2x x-=x(x-1).故答案是：x(x-1).【点睛】考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14、40︒【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．【详解】①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．故答案为：40°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．15、1【分析】利用加权平均数的计算公式，进行计算即可．【详解】95×60%+90×40%＝1（分）故答案为：1．【点睛】本题主要考查加权平均数的实际应用，掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键．16、．【分析】先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．【详解】解：2⊕（2x﹣1）=1可化为﹣=1，方程两边都乘以2（2x﹣1）得，2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），解得x=，检验：当x=时，2（2x﹣1）=2（2×﹣1）=≠0，所以，x=是原分式方程的解，即x的值为．故答案为．【点睛】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．17、1【分析】运用完全平方公式，()2222a b a ab b ±=±+ ，将相应数值代入可得.【详解】解：∵2210,3x y xy +==，∴222()210234x y x xy y -=-+=-⨯=故答案为：1．【点睛】掌握完全平方公式为本题的关键.18、12n【分析】首末两项是3n 和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，据此解答即可.【详解】由题意得，可以添加12n ，此时()22912432n n n ++=+，符合题意.故答案为：12n （答案不唯一）.【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2是解答本题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）CD=BE ．理由见解析；（2）△AMN 是等边三角形．理由见解析.【分析】（1）CD=BE ．利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD；然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE ；（2）△AMN 是等边三角形．首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N 分别是BE 、CD 的中点”、等边△ABC 的性质证得△ABM≌△ACN；然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN 、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形．【详解】（1）CD=BE ．理由如下：∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE ，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，在△ABE 和△ACD 中，=AB AC BAE DAC AE AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ACD（SAS ）∴CD=BE（2）△AMN 是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD．∵M、N 分别是BE 、CD 的中点，∴BM=CN∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，在△ABM 和△ACN 中，=BM CN ABE ACD AB AC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ACN（SAS ）．∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°∴△AMN 是等边三角形【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．20、见解析【分析】证明△ABC ≌△ADE （SAS ），得出∠BAC ＝∠DAE ，即可得出∠1＝∠1．【详解】解：证明：在△ABC 和△ADE 中，AB AD B D BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠1＝∠1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．21、（11；（2）12xy=⎧⎨=⎩【分析】（1）根据实数运算法则，逐一进行计算即可；（2）利用消元法求解即可.【详解】（1）原式=111-+-1（2）35 226 x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②②-①×2，得2y=代入①，得1x=故方程组的解为12 xy=⎧⎨=⎩【点睛】此题主要考查实数的运算以及二元一次方程组的求解，熟练掌握方法，即可解题. 22、(1)(m＋2n)(2m＋n)（2）42cm【解析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；（2）求出m+n的值，然后根据图象由正方形的性质和长方形的性质即可得出结论；【详解】（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；故答案为（m+2n）（2m+n）；（2）依题意得：2m2+2n2=58，mn=10，∴m2+n2=1．∴（m+n）2＝m2+n2+2mn=49，∴m+n＝7，∴图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42cm．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题的关键．23、（1）（2）9-；（3）21 xy=⎧⎨=-⎩【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算；（2）先算括号里的，再算除法，最后算减法；（3）利用加减消元法解得即可.【详解】解：（1）原式=（2）原式=((83++=211--=9-； （3）546231x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ①×2-②×5得：-7y=7， 解得y=-1，代入②，解得x=2，∴方程组的解为21x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和解二元一次方程组，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序，以及方程组解法的选择.24、（1）①当0≤x ≤5时，y ＝20x ；②当x ＞5时，y ＝16x +20；（2）1千克【分析】（1）分情况求解：①购买量不超5千克时，付款金额＝20×购买量；②购买量超过5千克时，付款金额＝20×5+20×0.8×(购买量－5)； （2）由于花费的钱数超过5×20=100元，所以需要把y ＝420代入（1）题的第二个关系式，据此解答即可．【详解】解：（1）根据题意，得：①当0≤x ≤5时，y ＝20x ；②当x ＞5时，y ＝20×0.8（x ﹣5）+20×5＝16x +20； （2）把y ＝420代入y ＝16x +20得，16x +20＝420，解得：x ＝1．∴他购买种子的数量是1千克．【点睛】本题考查了一次函数的应用，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握一次函数的基本知识是解题关键．25、（1）证明见解析；（2）106EF或．【分析】（1）根据勾股定理求得BC ，作BC 边上的中线AD ，利用勾股定理求得AD 的长度，得出AD=BC ，从而可证得ABC ∆是“好玩三角形”；（2）分EF 边上的中线等于和以DF 边上的中线等于DF 两种情况讨论，画出图形，利用勾股定理即可解得EF ；【详解】解：（1）∵在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB=3，AC=7， ∴22BC AC AB 2=-=,如下图，作BC 边上的中线AD ，根据勾股定理，22132ADBD AB .∴AD=BC ， ∴ABC ∆是“好玩三角形”；（2）如下图，若20EM DF DE ，则10DM MF ,作EN DF ⊥,∴152DN NM DM （三线合一），在Rt △DNE 中，根据勾股定理22240025375EN DE DN ,在Rt △ENF 中，根据勾股定理，22375225106EF EN NF ,如下图，若DH=EF ，∵DH 为中线，DE=DF ， ∴1122EH EF DH , 在Rt △DEH 中，根据勾股定理，222EH DH DE +=,即2214004DH DH ， 解得85,DH 即85,EF综上所述，106EF或85．【点睛】 本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．能熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题关键．（2）中注意分类讨论．26、a+2b －c 的平方根为6.【解析】试题分析：先根据算术平方根及平方根的定义得出关于,a b 的方程组，求出,a b 13c 的值，代入所求代数式进行计算即可．试题解析：∵2a −1的算术平方根是3，3a +b −1的平方根是±4， ∴2193116a a b -=⎧⎨+-=⎩，解得52a b ，=⎧⎨=⎩∵9<13<16，∴3134，<< 133，即c =3，∴原式5223 6.=+⨯-=6的平方根是。

湖南省衡阳市重点名校2024届中考数学押题卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，32．平面直角坐标系中的点P（2﹣m，12m）在第一象限，则m的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．3．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（）A．B．C．D．5．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23，AB＝3，弦BC∥OA，则劣弧BC的弧长为（）A 3B3πC．πD．32π6．计算2311x x x -+++的结果为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．﹣17．下列计算正确的是（ ）A ．a 4+a 5=a 9B ．（2a 2b 3）2=4a 4b 6C ．﹣2a （a+3）=﹣2a 2+6aD ．（2a ﹣b ）2=4a 2﹣b 28．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）A ．6折B ．7折C ．8折D ．9折9．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把ABC ∆向右平移3个单位长度得到111A B C ∆，再把111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒得到221A B C ∆，则点A 的对应点2A 的坐标是（ ）A ．(2,2)-B ．(6,0)-C ．(0,0)D ．(4,2)10．股市有风险，投资需谨慎．截至今年五月底，我国股市开户总数约95000000，正向1亿挺进，95000000用科学计数法表示为（ ）A ．9.5×106B ．9.5×107C ．9.5×108D ．9.5×109二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．已知一元二次方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则2m －mn ＋2n = ．12．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为_____．（结果保留π）136的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为_______平方单位．14．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为_____．15．某商场对今年端午节这天销售A 、B 、C 三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制了如图1和图2所示的统计图，则B 品牌粽子在图2中所对应的扇形的心角的度数是_____．16．计算2(32)+的结果等于______________________.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图所示，PB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在PC 上，∠P=30°，D 为弧BC 的中点.(1)求证：PB=BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由.18．（8分）（1）解方程：x 2﹣5x ﹣6=0；（2）解不等式组：43(2)123x x x x +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩．19．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝kx相交于A，B两点，已知A（2，5）．求：b和k的值；△OAB的面积．20．（8分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE＝DF；（2）当t＝秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？21．（8分）列方程解应用题:某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?22．（10分）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．23．（12分）关于x的一元二次方程mx2+(3m﹣2)x﹣6＝1．(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．24．如图1，△ABC中，AB=AC=6，BC=4，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=1，连接DE、CD，点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，连接MP、PN、MN．（1）求证：△PMN是等腰三角形；（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，①如图2，当点D、E分别在边AC两侧时，求证：△PMN是等腰三角形；②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，请直接写出此时BD的长．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】试题分析：解分式方程得：等式的两边都乘以（x﹣2），得x=2（x﹣2）+m，解得x=4﹣m，且x=4﹣m≠2，已知关于x 的分式方的解为正数，得m=1，m=3，故选C．考点：分式方程的解．2、B【解题分析】根据第二象限中点的特征可得：2-m0 1m0 2>⎧⎪⎨>⎪⎩，解得：m2 m0<⎧⎨>⎩.在数轴上表示为：故选B.考点：(1)、不等式组；(2)、第一象限中点的特征3、A【解题分析】分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，故选：A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．4、A【解题分析】试题分析：由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，综上所知这个几何体是圆柱．故选A．考点：由三视图判断几何体．5、A【解题分析】试题分析：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=3A=30°，∴3，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC 为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧BC =． 故选A.考点: 1.切线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.弧长的计算．6、B【解题分析】按照分式运算规则运算即可，注意结果的化简.【题目详解】解：原式=231111x x x x -++==++，故选择B. 【题目点拨】本题考查了分式的运算规则.7、B【解题分析】分析：根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算． 详解：A 、a 4与a 5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、（2a 2b 3）2=4a 4b 6，故本选项正确；C 、-2a （a+3）=-2a 2-6a ，故本选项错误；D 、（2a-b ）2=4a 2-4ab+b 2，故本选项错误；故选：B ．点睛：本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．8、B【解题分析】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥1．即最多打1折．故选B ．【题目点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．9、D【解题分析】根据要求画出图形，即可解决问题．【题目详解】解：根据题意，作出图形，如图：观察图象可知：A 2（4，2）；故选：D.【题目点拨】本题考查平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是正确画出图象，属于中考常考题型．10、B【解题分析】试题分析： 15000000=1．5×2．故选B ． 考点：科学记数法—表示较大的数二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1【解题分析】试题分析：由m 与n 为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即2m ﹣mn+2n =()2m n +﹣3mn=16+9=1．故答案为1．考点：根与系数的关系．12、4π【解题分析】根据圆柱的侧面积公式，计算即可．【题目详解】圆柱的底面半径为r=1，母线长为l=2，则它的侧面积为S侧=2πrl=2π×1×2=4π．故答案为：4π．【题目点拨】题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．13、6﹣23【解题分析】由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；设B′C′和CD的交点是O，连接OA，构造全等三角形，用S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD，计算面积即可．【题目详解】解：设B′C′和CD的交点是O，连接OA，∵AD=AB′，AO=AO，∠D=∠B′=90°，∴Rt△ADO≌Rt△AB′O，∴∠OAD=∠OAB′=30°，∴OD=OB′=2，S四边形AB′OD=2S△AOD=2×122×6=23，∴S阴影部分=S正方形﹣S四边形AB′OD=6﹣23．【题目点拨】此题的重点是能够计算出四边形的面积．注意发现全等三角形．14、60°【解题分析】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°15、120°【解题分析】根据图1中C 品牌粽子1200个，在图2中占50%，求出三种品牌粽子的总个数，再求出B 品牌粽子的个数，从而计算出B 品牌粽子占粽子总数的比例，从而求出B 品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数．【题目详解】解：∵三种品牌的粽子总数为1200÷50%=2400个， 又∵A 、C 品牌的粽子分别有400个、1200个，∴B 品牌的粽子有2400-400-1200=800个，则B 品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数为360×800136012024003=⨯=︒． 故答案为120°．【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．16、7+【解题分析】根据完全平方式可求解,完全平方式为()2222a b a ab b ±=±+【题目详解】22222227）=++=+【题目点拨】此题主要考查二次根式的运算，完全平方式的正确运用是解题关键三、解答题（共8题，共72分）17、（1）见解析；（2）菱形【解题分析】试题分析：（1）由切线的性质得到∠OBP =90°，进而得到∠BOP =60°，由OC =BO ，得到∠OBC =∠OCB =30°，由等角对等边即可得到结论；（2）由对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明即可．试题解析：证明：（1）∵PB 是⊙O 的切线，∴∠OBP =90°，∠POB =90°-30°=60°．∵OB =OC ，∴∠OBC=∠OCB．∵∠POB=∠OBC+∠OCB，∴∠OCB=30°=∠P，∴PB=BC；（2）连接OD交BC于点M．∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC．在直角△OMC中，∵∠OCM=30°，∴OC=2OM=OD，∴OM=DM，∴四边形BOCD是菱形．18、（1）x1=6，x2=﹣1；（2）﹣1≤x＜1．【解题分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【题目详解】（1）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，x﹣6=0，x+1=0，x1=6，x2=﹣1；（2）()432x1x23x x⎧+≤+⎪⎨-<⎪⎩①②∵解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集为﹣1≤x＜1．【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键．19、（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=212．【解题分析】（1）由直线y=x+b与双曲线y=kx相交于A、B两点，A（2，5），即可得到结论；（2）过A作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据y=x+3，y=10x，得到（-5，-2），C（-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论.解：（1）把()2,5A 代入y x b =+．∴52b =+∴3b =．把()2,5A 代入k y x =，∴52k =， ∴10k =．（2）∵10y x =，3y x =+． ∴103x x=+时，2103x x =+， ∴12x =，25x =-．∴()5,2B --．又∵()3,0C -，∴AOB AOC BOC S S S =+ 353222⨯⨯=+ 10.5=． 20、（1）见解析；（2）t ＝（），最小值等于12；（3）t ＝6秒或△EPQ 是直角三角形【解题分析】（1）由∠ECF ＝∠BCD 得∠DCF ＝∠BCE ，结合DC ＝BC 、CE ＝CF 证△DCF ≌△BCE 即可得；（2）作BE ′⊥DA 交DA 的延长线于E ′．当点E 运动至点E ′时，由DF ＝BE ′知此时DF 最小，求得BE ′、AE ′即可得答案；（3）①∠EQP ＝90°时，由∠ECF ＝∠BCD 、BC ＝DC 、EC ＝FC 得∠BCP ＝∠EQP ＝90°，根据AB ＝CD ＝tan ∠ABC ＝tan ∠ADC ＝2即可求得DE ；②∠EPQ ＝90°时，由菱形ABCD 的对角线AC ⊥BD 知EC 与AC 重合，可得DE ＝【题目详解】（1）∵∠ECF ＝∠BCD ，即∠BCE +∠DCE ＝∠DCF +∠DCE ，∴∠DCF ＝∠BCE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴DC ＝BC ，在△DCF 和△BCE 中，CF CE DCF BCE CD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DCF ≌△BCE （SAS ），∴DF ＝BE ；（2）如图1，作BE ′⊥DA 交DA 的延长线于E ′．当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB＝65，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，∴设AE′＝x，则BE′＝2x，∴AB＝5x＝65，x＝6，则AE′＝6∴DE′＝65+6，DF＝BE′＝12，时间t=65+6，故答案为：65+6，12；（3）∵CE＝CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP＝90°时，如图2①，∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，∴∠CBD＝∠CEF，∵∠BPC＝∠EPQ，∴∠BCP＝∠EQP＝90°，∵AB＝CD＝5tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，∴DE＝6，∴t＝6秒；②当∠EPQ＝90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE＝5∴t＝5综上所述，t＝6秒或5△EPQ是直角三角形．【题目点拨】此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.21、从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.【解题分析】设年平均增长率为x，根据：2016年投入资金×（1+增长率）2=2018年投入资金，列出方程求解可得.【题目详解】解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意得:1280(1+x)2=1280+1600.解得x1=0.5=50%，x2=-2.5(舍去)，答:从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键．22、20°【解题分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【题目详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE平分∠FGD，AB∥CD，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG是△EFH的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【题目点拨】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．23、(1) m≠1且m≠2-3;(2) m=-1或m=-2.【解题分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得△＞1，列出关于m的不等式解之可得答案;(2) 解方程,得:12x=m，2x=-3，由m为整数,且方程的两个根均为负整数可得m的值. 【题目详解】解:(1) △=2b-4ac=(3m-2)2+24m=(3m+2)2≥1∴当m≠1且m≠2-3时,方程有两个不相等实数根.(2)解方程,得:12x=m，2x=-3，m为整数,且方程的两个根均为负整数,∴m=-1或m=-2.∴m=-1或m=-2时,此方程的两个根都为负整数【题目点拨】本题主要考查利用一元二次方程根的情况求参数.24、（1）见解析；（2）①见解析；②.【解题分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论PM=PN；（2）①先证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，同理根据三角形中位线定理可得结论；②如图4，连接AM，计算AN和DE、EM的长，如图3，证明△ABD≌△CAE，得BD=CE，根据勾股定理计算CM 的长，可得结论【题目详解】（1）如图1，∵点N，P是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；（2）①如图2，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∵点M、N、P分别是线段DE、BC、CD的中点，∴PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形；②当△ADE绕点A逆时针旋转到第一次点D、E、C在一条直线上时，如图3，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△CAE，∴BD=CE，如图4，连接AM，∵M是DE的中点，N是BC的中点，AB=AC，∴A、M、N共线，且AN⊥BC，由勾股定理得：AN==4，∵AD=AE=1，AB=AC=6，∴=，∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△AEC，∴，∴，∴AM=，DE=，∴EM=，如图3，Rt△ACM中，CM===，∴BD=CE=CM+EM=．【题目点拨】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，全等和相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）①的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（2）②的关键是判断出△ADE∽△AEC。

三角函数讲义知识模块一：基础巩固1．在△ABC中，∠A＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列选项中不正确的是（）A．sin B＝B．sin C＝C．cos B＝D．tan B＝2．在△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan B值为（）A．B．C．D．3．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，则tanα＝（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B等于（）A．B．C．D．25．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B等于（）A．B．C．D．6．在△ABC中，若∠A+∠C＝150°，则sin B的值为（）A．B．C．D．7．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（）A．α＝60°，β＝45°B．α＝30°，β＝45°C．α＝30°，β＝30°D．α＝45°，β＝30°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan B＝，则斜坡AB的坡度为．9．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，测得迎水坡的坡角α＝30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部CD长为7m，坝高为6m，则坝底AB的长为．10．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．11．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，AC＝5，求边BC的长．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，若BC＝6，sin A＝，求DE的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，AB：BD＝．（1）求tan∠DAC的值；（2）若BD＝4，求S△ABC．14．由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，航母再航行8海里到达B处，此时测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）1、（名校招生试题）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（）A．B．C．D．2、（名校招生试题）将一副三角板如下图摆放在一起，连接AD，则∠ADB的正切值为（）A．B．C．D．3、（名校招生试题）四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝60°，AB＝11，BC＝2，则BD＝．4、（名校招生试题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的中线，且BD⊥CE，则tan∠ABC＝．5、（名校招生试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD＝DE，AC+CD＝9．则BC＝．。

图形相似及应用讲义知识模块一：基础巩固1．如图所示，已知△ABC中，AE：EB＝1：3，BD：DC＝3：2，AD与CE相交于F，则+的值为（）A．2 B．1 C．D．2．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠ADC＝3∠BAD，BD＝8，DC＝7．则AB的值为（）A．15 B．20 C．2+7 D．2+3．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm24．如图，已知平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点．EF与对角线AC交于P，若（a、b、m、n均为正数），则的值为（）A．B．C．D．5．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB 于H，则下列结论错误的是（）A．EF：AF＝：1 B．AE⊥AFC．FB：FC＝HB：EC D．AF2＝FH•FE6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD ＝60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y 轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2015的坐标为（）A．（21008，0）B．（21007，﹣21007）C．（21009，21009）D．（﹣21007，21007）8．如图，已知Rt△ABC的面积为1，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n等于（）A．B．C．D．9．如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N．设△BPQ，△DKM，△CNH的面积依次为S1，S2，S3．若S1+S3＝20，则S2的值为（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）A．4cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm211．如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记，，，则有（）A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＞z D．x＞y＝z12．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝10cm，BC＝16cm，DE＝8cm，则图中阴影部分的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．12cm2知识模块二：难点突破1．如图，已知M、N为△ABC的边BC上的两点，且满足BM＝MN＝NC，一条平行于AC 的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F，求的值．2．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC，AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE＝3EF，DF＝时，求GF的值．3．△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O是BC的中点，小敏拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点O，三角板绕O点旋转．（1）如图（a），当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BOE∽△CFO；（2）操作：将三角板绕点O旋转到图（b）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F．①探索：△BOE与△CFO还相似吗？（只需写结论）：连接EF，△BOE 与△OFE是否相似？请说明理由．②设EF＝x，△EOF的面积是S，写出S与x的函数关系式．。

2021年湖南省衡阳八中高考数学考前预测试卷（二）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2}，集合B 满足A ∩B ={1,2}，且B ={x|x 2+ax +b =0}，则bx 2+ax +1>0的解集为( )A. {x|x <−1或x >−12} B. {x|−1<x <−12} C. {x|x >1或x <12}D. {x|12<x <1}2. 已知复数i −2是关于x 的方程x 2+px +q =0(p,q ∈R)的一个根，则|pi +q|=( )A. 25B. 5C. √41D. 413. 俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，做了一个研究，他们在本年级随机抽取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如图所示，则下列说法正确的是( ) ①男生“一心二用”所需时间平均值大于女生； ②所有女生“一心二用”能力都强于男生； ③女生用时众数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布．A. ①④B. ②③C. ①③D. ①③④4. 数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境(噪声和干扰导致极低的信噪比)下的网络信息正常传输问题．根据香农(sℎannon)公式C =Wlog 2(1+SN )，式中W 是信道带宽(赫兹)，S 是信道内所传信号的平均功率(瓦)，C 是数据传送速率的极限值，单位bit/s ，SN 是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位(如：S N =1000，即信号功率是噪声功率的1000倍)，讨论信噪比时，常以分贝(dB)为单位即SNRNS =10lg SN (信噪比，单位为dB).在信息最大速率C 不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽(W)的方法来维持或提高通信的性能．现在从信噪比SNR =30dB 的环境转到SNR =0dB 的环境，则信号带宽(W)大约要提高( )(附：lg2≈0.3)A. 10倍B. 9倍C. 2倍D. 1倍5. 在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 166. 已知α，β为锐角，tan(α+π6)=13，tan(π12−β)=12，则tan(α+2β)=( )A. −913B. −139C. 139D. 9137. 已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 边上一动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )A. 最大值是4+2√3，最小值是4−2√3B. 最大值是6，最小值是−2√3C. 最大值是6，最小值是−2D. 最大值是4+2√3，最小值是−28. 函数y =f(x)对任意的x ∈(−π2,π2)满足x +2f(x)+f′(x)sin2x =e x−1(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )A. f(π4)>√3f(π3) B. √3f(π6)>3f(π4) C. (2−√3)f(π12)>f(π4)D. √3f(π3)<(2+√3)f(5π12)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 给出下列命题，正确的有( )A. 若a >b >0，则lgalgb >1B. 若x ，y ∈R +，且2x +8y −xy =0，则x +y 的最小值为18C. 若x ，y ∈R +，且5x +7−y ≤5y +7−x ，则log 12x ≥log 12y D. 若a >b >e ，且e 为自然对数的底数，则alnb >blna10. 已知函数f(x)=√3(cos 2x −12)−3sinxcosx ，则( )A. f(x)在[−π,0]上有两个零点B. f(x)在[−2π3,−13π]上单调递增C. f(x)在[π3,π]的最大值是1D. f(x)的图象可由y =−√3sin2x 向右移动π6得到11. 已知椭圆C 1：x 2+4y 2=4，过抛物线C 2：x 2=8y 焦点F 的直线交抛物线于M ，N两点，连接NO ，MO 并延长分别交C 1于P ，Q 两点，连接PQ ，则下列结论中，正确的为( ) A. OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12 B. △OPQ 的面积S △OPQ 是定值12 C. |OP|2+|OQ|2=5(定值)D. 设λ=S △OMNS △OPQ ，则λ≥3212. 由四个三角形围成的多面体称为四面体，对棱相等的四面体称为等腰四面体．已知如图等腰四面体ABCD 中，AB =CD ，AD =BC ，AC =BD ，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．下面结论中，正确的有( )A. 直线EG ，FH 有可能是异面直线B. EG ⊥ABC. 过直线EG 的平面截四面体外接球所得截面面积为定值D. 共顶点A 的三个侧面面角和(∠BAC +∠CAD +∠DAB)等于180°三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 阿基米德(公元前287年—公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁．阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球(一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切)的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献．这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为______，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为______．14. 设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015=T 2021，则log 3a 2019log3a 2021______．15. 已知直线l ：2x −y +1=0与抛物线y 2=16x 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD|=______．16. 已知函数f(x)={−1x ,x <0|xlnx|,x >0，则方程ef(f(x))+f(x)−1=0(e 是自然对数的底数)的实根个数为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1tanA +1tanB =3，sinC =12．(1)求sin A sin B 的值； (2)若c =2，求△ABC 的面积．18. 五一假期，大学生李明与张红两位同学在某景区的游乐场射箭比赛，两人约定：先射中者获胜，比赛结束；或每人都已射击3次时比赛结束．经过抽签确定李明先射．根据以往经验，李明每次射箭射中的概率为13，张红每次射箭射中的概率为12，且各次射箭互不影响． (1)求李明获胜的概率；(2)求射箭比赛结束时，李明的射击次数ξ的分布列和数学期望．19. 已知正项数列{a n }满足2√S n =a n +1，(1)求a n ；(2)将数列{a n }分组：(a 1)，(a 2,a 3)，(a 4,a 5,a 6)，(a 7,a 8,a 9,a 10)，……，记第n 组的和为b n ．(ⅰ)求数列{b n }的通项公式b n ； (ⅰ)求数列{(−1)n b n n}前2n 项的和．20.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=AB，∠PAD=∠BAD，E，F分别是AB，DC的中点AD=2，PF=3，PE=√5．(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)若PB=2√2，求二面角B−PC−A的余弦值．21.已知函数f(x)=2e x−1−sinx+e x−1cosx，f′(x)是函数f(x)的导函数．(1)证明：f′(x)在(π4,π3)上没有零点；(2)证明：当x∈(0,+∞)，f(x)>0．22.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为√62，且过点P(4√2,2√2).(1)求双曲线C的方程；(2)过F1的两条相互垂直的交双曲线于A，B和C，D，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN，过坐标原点O作MN的垂线，垂足为H，是否存在定点G，使得|GH|为定值，若存在，求此定点G.若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合B满足A∩B={1,2}，且B={x|x2+ax+b=0}，∴1，2是方程x2+ax+b=0的两个根，∴a=−(1+2)=−3，b=1×2=2，∴bx2+ax+1>0，即为2x2−3x+1=(2x−1)(x−1)>0，．解得x>1或x<12}.∴bx2+ax+1>0的解集为{x|x>1或x<12故选：C．由题意知1，2是方程x2+ax+b=0的两个根，求出a和b，代入bx2+ax+1>0中求解即可．本题考查了集合的概念与基本运算、二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解等能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵复数i−2是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，∴(i−2)2+p(i−2)+q=0，∴q+pi=2p−3+4i，∴p=4，q=5，∴|pi+q|=|4i+5|=√41，故选：C．把i−2代入x的方程x2+px+q=0，利用复数的相等求出p，q的值，再利用模的计算公式即可求解．本题考查了实系数一元二次方程复数根的问题，模的计算公式，属于中档题．3.【答案】D【解析】解：根据图形可得，男生“一心二用”所需平均时间值大于女生，故①正确，并不是所有女生“一心二用”能力都强于男生，故②错误，男生众数明显高于女生，故③正确，男生的分布沿着中间对称，男生“一心二用”能力分布近似于正态分布，故④正确．故选：D．根据图形可直接依次判断．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：SNR=30dB=10lg S1N1，则lg S1N1=3，即S1N1=103，SNR=0dB=10lg S2N2，则lg S2N2=0，即S2N2=100=1，所以C=W1log2(1+S1N1)=W1log2(1+103)，C=W2log2(1+S2N2)=W2log2(1+100)=W2，所以W2W1=log2(1+103)=lg(1+103)lg2≈30.3=10，则W2≈10W1，所以提高9倍．故选：B．由题意，分别求出S1N1=103和S2N2=100=1，，进而利用它们的关系求出W2≈10W1，即可得到答案．本题考查了函数在实际生活中的应用，对数运算性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，基本事件总数n=C42A33=36，扶贫工作组组长甲被分到第一户包含的基本事件个数m=C32A22+C31A22=12，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为P=mn =1236=13．故选：C．基本事件总数n=C42A33=36，扶贫工作组组长甲被分到第一户包含的基本事件个数m=C32A22+C31A22=12，由此能求出扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵tan(π6−2β)=tan[2(π12−β)]=2tan(π12−β)1−tan 2(π12−β)=11−14=43， ∴tan(α+2β)=tan[(α+π6)−(π6−2β)]=tan(α+π6)−tan(π6−2β)1+tan(α+π6)tan(π6−2β)=13−431+13×43=−913．故选：A ．根据已知条件，运用正切函数的二倍角公式、以及两角和公式，即可求解．本题考查了正切函数的二倍角公式、以及两角和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，因为ABCDEF 是正六边形，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影的最大值为3，最大值为−1，结合向量的数量积的定义，可知AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >，所以则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是6，最小值是−2． 故选：C ．利用正六边形的特征，利用向量的数量积的定义，转化求解最值即可． 本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：令F(x)=f(x)tanx,F′(x)=f′(x)⋅sinxcosx +f(x)⋅1cos 2x =f′(x)sin2x+2f(x)2cosx，又由已知可得，2f(x)+f′(x)sin2x =e x−1−x ≥0，则F′(x)≥0， ∴F(x)在(−π2,π2)上单调递增， ∵π3<5π12，∴f(π3)tan π3<f(5π12)tan 5π12，故√3f(π3)<(2+√3)f(5π12)． 故选：D ．构造函数F(x)=f(x)tanx ，对函数F(x)求导，判断函数F(x)的单调性，可得f(π3)tan π3<f(5π12)tan5π12，由此得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造函数思想及运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：对于A ：当a >b >1时，lga >0，lgb >0，所以lga >lgb ，整理得lgalgb >1，故A 错误；对于B ：若x ，y ∈R +，且2x +8y −xy =0，整理得：x =8yy−2，故x +y =8yy−2+y =y 2+6y y−2=y −2+16y−2+10≥2√16+10=18，当且仅当y =6时，等号成立，故B 正确；对于C ：若x ，y ∈R +，且5x +7−y ≤5y +7−x ，整理得：5x −7−x ≤5y −7−y ，由于函数f(t)=5t −7−t 为单调递增函数，故x ≤y ，由于x ，y ∈R +，所以log 12x ≥log 12y ；故C 正确； 对于D ：设函数f(x)=lnx x(x >0)，所以f′(x)=−lnx−1x 2，当x =e 时，f′(x)=0，当x ∈(e,+∞)单调递减，故lna a<lnb b，故alnb >blna ，故D 正确．故选：BCD ．直接利用对数的运算，基本关系式的恒等变换，构造函数，函数的导数和单调性的关系的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：对数的运算，基本关系式的恒等变换，构造函数，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．10.【答案】AB【解析】解：f(x)=√3(cos 2x −12)−3sinxcosx =√32(2cos 2x −1)−32sin2x =√32cos2x −32sin2x =√3cos(2x +π3)，对于A ，f(x)=√3cos(2x +π3)=0，可得2x +π3=kπ+π2，k ∈Z ，解得x =kπ2+π12，k ∈Z ，所以f(x)在[−π,0]上有两个零点(−5π12,0)，(−11π12,0)，故A 正确；对于B ，因为−π+2kπ≤2x +π3≤2kπ，k ∈Z ，所以−2π3+kπ≤x ≤−π6+kπ，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为[−2π3+kπ,−π6+kπ]，k ∈Z ，当k =0时，f(x)的一个单调递增区间为[−2π3,−π6]，[−2π3,−13π]⊆[−2π3,−π6]，故B 正确； 对于C ，当x =5π6时，f(5π6)=√3cos(2×5π6+π3)=√3，故C 错误；对于D ，y =−√3sin2x 向右移动π6，可得y =−√3sin2(x −π6)=−√3sin(2x −π3)=√3cos(2x +π6)，故D 错误． 故选：AB ．利用三角恒等变换化简f(x)，再由三角函数的图象与性质，三角函数的平移变换逐一判断即可求得结论．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】AC【解析】解：F(0,2)，设直线MN 方程为y =kx +2，代入抛物线方程得：x 2−8kx −16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k ，x 1x 2=−16，且y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k²x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=−16k²+16k²+4=4对A ：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−16+4=−12，故A 正确； 对B ：因为k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=4−16=−14，不妨设直线OP 的方程为y =mx(m >0)，则直线OQ 的方程为y =−14m x ，联立方程组{y =mx x 2+4y 2=4，解得x 2=41+4m 2，不妨设P 在第三象限，则P(−2√1+4m 2,−2m √1+4m 2)，用−14m 替换m 可得Q(−2√1+14m 2,12m√1+14m 2)，∴P 到OQ 的距离d =2√1+4m 2+8m 2√1+4m 2√1+16m 2=2+8m 2√1+4m 2√1+16m 2，又|OQ|=√41+14m 2+14m 21+14m2=√1+16m 2√1+4m 2，∴S △OPQ =12⋅|OQ|d =12⋅√1+16m 2√1+4m 2⋅2+8m 2√1+4m 2√1+16m 2=1，故B 错误；对C ：|OP|²+|OQ|²=41+4m 2+4m 21+4m 2+1+16m 21+4m 2=20m 2+51+4m 2=5，故C 正确；对D ：联立方程组{y =mxx 2=8y ，可得x(x −8m)=0，故N(8m,8m 2)，∴|ON|=8m√1+m 2， −14m替换m 可得M(−2m,12m 2)， ∴M 到直线OP 的距离ℎ=|−2−12m 2|√1+m 2=2+12m 2√1+m 2，∴S OMN =12⋅|ON|⋅ℎ=12×8m√1+m 2⋅2+12m 2√1+m 2=8m +2m≥2√8m ⋅2m=8，当且仅当8m =2m 即m =12时取等号．∴λ=S △OMN S △OPQ =S OMN ≥8，故D 错误．故选：AC ．设直线MN 方程为y =k +1，代入抛物线方程得：x 2−8kx −16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，利用韦达定理，转化求解判断A ；设直线OP 的方程为：y =mx ，代入椭圆的方程得P 的坐标，同理可得Q 的坐标，然后求解三角形的面积，判断B ；利用距离的平方和，判断C ；求解λ判断D ．本题考查了直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，考查距离公式的应用，考查设而不求法的解题思路，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：如图所示：对于A ：由于E 、F 、G 、H 为各边的中点，所以：EF//AC//HG ，所以E 、F 、G 、H 四点共面，故A 错误；对于B ：由于BD =AC ，BC =AD ，CD =CD ，所以△ACD≌△BCD ，所以∠ACD =∠BDC ，故△ACG≌△BDG ，所以AG =BG ，由于点E 为AB 的中点，所以EG ⊥AB ，故B 正确；对于C ：把四面体ABCD 补形为长方体，则四面体与长方体外接球为同一个球，球心为EG 的中点，所以截面为球的大圆，其面积为定值，故C 正确；对于D ：四个面全等，设一个面的三个内角为α、β、γ、则共顶点的三个侧面的内角和为α+β+γ=180°，故D 正确； 故选：BCD ．直接利用四点共面，平面的性质，三角形全等，锥体和外接球的关系判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：四点共面，平面的性质，三角形全等，锥体和外接球的关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．13.【答案】23 23【解析】解：设圆柱内切球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ， 可得V 内切球V圆柱=43πR 3πR 2⋅2R=23； 表面积之比为S 内切球S圆柱=4πR 22πR 2+2πR⋅2R=23． 故答案为：23；23．设圆柱内切球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，再由球及圆柱的体积与表面积公式求解．本题考查圆柱及其内切球体积与表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】15【解析】解：∵正项等比数列{a n }的公比不为1，∴a n >0，q >0， ∵T n 为其前n 项积，T 2015=T 2021， ∴a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021=1， ∴a 2016a 2021=a 2017a 2020=a 2018a 2019=1， ∴a 2016a 2021=(a 2021)2q 5=1，∴a 2021=q 52， ∵a 2018a 2019=(a 2019)2q=1，∴a 2019=q 12， ∴log 3a 2019log 3a 2021=log 3q 12log 3q 52=15，故选：A ．推导出a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021=1，从而a 2018a 2019=1，由此推导出a 2021=q 52，a 2019=q 12，从而求出答案．本题考查等比数列的第2019项和第2021项的对数值的比值求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15.【答案】10√2【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线方程{2x −y +1=0y 2=4x ，化简整理可得，4x 2−12x +1=0，由韦达定理可得，x 1+x 2=3，x 1x 2=14，|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+4√9−4×14=2√10， 设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ=2，cosθ=√55，故|CD|=|AB|cosθ=√10√55=10√2．故答案为：10√2．联立直线与抛物线方程，利用弦长公式，求得|AB|，设直线的倾斜角为θ，可得|CD|=|AB|cosθ，即可求解．本题主要考查直线与抛物线的相交问题，需要学生熟练掌握弦长公式，以及韦达定理，属于中档题．16.【答案】6【解析】解：令t =f(x)，方程为ef(t)+t −1=0，即f(t)=1−t e，y =f(t)与y =1−t e的性质如下：1.y =f(t)在(−∞,0)上单调递增，值域为(0,+∞)；在(0,1e )上单调递增，(1e ,1]上递减，值域为[0,1e ]且f(1e )=1e ，f(1)=0； 在(1,+∞)上单调递增，值域为(0,+∞)； 2.y =1−t e，过定点(1,0)，定义域上单调递减，所以可得函数图象如下图所示：所以共有三个交点，横坐标分别为t 1，t 2，t 3，且t 1<0t 2<1e <t 3=1， 所以当t 1=f(x)，无解， 当t 2=f(x)时，有四个实数根； 当t 3=f(x)时，有两个实根， 所以如下图所示：一共有6个实数根，故答案为：6．令t =f(x)，原方程为f(t)=1−t e，利用数形结合判断y =f(t)与y =1−t e的交点个数及交点横坐标的范围，再根据横坐标判断t =f(x)时交点的个数，即实数根的个数． 本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合，转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为1tanA +1tanB =3，所以cosAsinA +cosBsinB =3，所以sinBcosA+sinAcosBsinAsinB=3，sin(A+B)sinAsinB=3，因为A +B +C =π，所以sinC =3sinAsinB ， 所以sinAsinB =13sinC =16． (2)由正弦定理可得：asinA=b sinB=c sinC=212=4，所以a =4sinA ，b =4sinB ，所以S △ABC =12absinC =12×4sinA ×4sinB ×sinC =23．【解析】(1)由同角三角函数的基本关系、两角和的正弦以及诱导公式即可求解； (2)由正弦定理、三角形面积公式及(1)中结论即可求解△ABC 的面积．本题主要考查正弦定理的应用，三角形面积公式，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)设A k ，B k 分别表示李明，张红第k 次射箭射中，则P(A k )=13，P(B k )=12，k =1，2，3， 记“李明获胜”为事件C ，则P(C)=P(A 1)+P(A 1−)P(B 1−)P(A 2) +P(A 1−)P(B 1−)P(A 2−)P(B 2−)P(A 3)=13+23×12×13+(23)2×(12)2×13=1327， (2)由题意可得，ξ的所有可能取值为1，2，3， P(ξ=1)=P(A 1)+P(A 1−)P(B 1)=13+23×12=23，P(ξ=2)=P(A 1−)P(B 1−)P(A 2)+P(A 1−)P(B 1−)P(A 2−)P(B 2)=23×12×13+(23)2×(12)2=29，P(ξ=3)=P(A 1−)P(B 1−)P(A 2−)P(B 2−)=(23)2×(12)2=19， 故ξ的分布列为：故E(ξ)=1×23+2×29+3×19=139．【解析】(1)设A k，B k分别表示李明，张红第k次射箭射中，记“李明获胜”为事件C，则事件C可能取到的情况有第一次即射中，第二次射中张红第一次未射中，第三次射中张红第一第二次都没射中这三种情况，分别求解，即可求解．(2)由题意可得，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】解：(1)当n=1时，a1+1=2√S1=2√a1，解得a1=1，当n≥2时，S n−1=(a n−1+1)24，又S n=(a n+1)24，两式相减可得a n=S n−S n−1=(a n+1)24−(a n−1+1)24，化为(a n−1)2=(a n−1+1)2，由a n>0可得a n−a n−1=2，即数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a n=1+2(n−1)=2n−1．(2)(ⅰ)由题意可得b n=S n(n+1)2−S n(n+1)2−n，而S n=12n(1+2n−1)=n2，所以b n=(n(n+1)2)2−(n(n+1)2−n)2=n3；(ⅰ)(−1)n b nn=(−1)n⋅n2，所以数列{(−1)n b nn}前2n项的和为−1+22−32+42−52+62−...−(2n−1)2+(2n)2=1+2+3+4+...+(2n−1)+2n=12⋅2n⋅(2n+1)=2n2+n．【解析】(1)由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；(2)(ⅰ)由等差数列的求和公式得b n=S n(n+1)2−S n(n+1)2−n，计算可得所求通项公式；(ⅰ)求得(−1)n b nn=(−1)n⋅n2，由数列的并项求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的并项求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：连接EF ，BD ，∵E ，F 是平行四边形ABCD 的AB ，CD 的中点， ∴EF//AD ，且EF =AD =2，∵PE =√5，PF =3，∴EF 2+PE 2=PF 2，∴EF ⊥PE ，∴AD ⊥PE ，∵AP =AB ，∠PAD =∠DAB ，AD =AD ，∴△PAD≌△BAD ，∴PD =BD ，作BP 的中点M ，连接DM ，AM ，则DM ⊥BP ，AM ⊥BP ，又AM ∩DM =M ，AM 、DM ⊂平面ADM ，∴BP ⊥平面ADM ，又AD ⊂平面ADM ，∴BP ⊥AD ，∵PB ⊂平面PAB ，PE ⊂平面PAB ，且PB ∩PE =P ，PB 、PE ⊂平面PAB ， ∴AD ⊥平面PAB ．(2)设AE =x ，则AB =AP =2x ， 在△PAB 中，cos∠PAB =(2x)2+(2x)2−82⋅2x⋅2x ，①在△PAB 中，cos∠PAB =(2x)2+x 2−52⋅2x⋅x，②联立①②，得x =1，∴cos∠PAB =0，∴∠PAB =90°，∴PA ⊥AB ， 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2,0，0)，P(0,0，2)，C(2,2，0)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面BPC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n⃗ =(1,0，1)， ∵AP ⊥AD ，AP ⊥AB ，AD ∩AB =A ，∴AP ⊥平面ABCD ， ∵BD ⊂平面ABCD ，∴AP ⊥BD ，∵BD ⊥AC ，AC ∩AP =A ，∴BD ⊥平面APC ， ∴BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)是平面APC 的一个法向量， 设二面角B −PC −A 的平面角为θ， 则二面角B −PC −A 的余弦值cosθ=|n ⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2⋅√8=12．【解析】(1)连接EF ，BD ，推导出EF ⊥PE ，AD ⊥PE ，作BP 的中点M ，连接DM ，AM ，则DM ⊥BP ，AM ⊥BP ，BP ⊥平面ADM ，BP ⊥AD ，由此能证明AD ⊥平面PAB ．(2)列方程组求出AE=1，得到PA⊥AB，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，求出二面角B−PC−A的余弦值．本题考查线面垂直的证明，二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)f′(x)=2e x−1−cosx+e x−1(cosx−sinx)，令g(x)=2e x−1−cosx+e x−1(cosx−sinx)，则g′(x)=2e x−1+sinx+e x−1(−2sinx)，=2e x−1(1−sinx)+sinx在(π4,π3)上满足g′(x)>0，∴函数g(x)在(π4,π3)单调递增，∴g(x)>g(π4)=eπ4−1(2+√22−√22)−√22=2eπ4−1−√22>0，∴f′(x)在(π4,π3)上没有零点．(2)证法一：当x∈[1,+∞)，f(x)=(e x−1−sinx)+e x−1(1+cosx)>0．当x∈(0,1)，由(1)可知：g′(x)=2e x−1(1−sinx)+sinx>0，∴g(x)在(0,1)上单调递增，∴g(x)>g(0)=3e−1−1>0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，∴f(x)>f(0)=3e>0．综上可得：当x∈(0,+∞)时，f(x)>0．证法二：f(x)=2e x−1−sinx+e x−1cosx=e x−1(2+cosx)−sinx≥x(2+cosx)−sinx=(2+cosx)(x−sinx2+cosx)，∵cosx∈[−1,1]，可得：2+cosx>0恒成立，因此只要证明x−sinx2+cosx>0即可，令F(x)=x−sinx2+cosx ，F′(x)=1−2cosx+1(2+cosx)2=cos2x+2cosx+3(2+cosx)2>0，∴函数F(x)在x∈(0,+∞)时单调递增，F(x)>F(0)=0，∴当x∈(0,+∞)时，f(x)>0．【解析】(1)f′(x)=2e x−1−cosx+e x−1(cosx−sinx)，令g(x)=2e x−1−cosx+e x−1(cosx−sinx)，求导即可判断出函数g(x)在(π4,π3)单调性，进而证明结论．(2)证法一：当x∈[1,+∞)，f(x)=(e x−1−sinx)+e x−1(1+cosx)，利用三角函数与指数函数的单调性即可得出f(x)>0.当x∈(0,1)，由(1)可知：g′(x)=2e x−1(1−sinx)+sinx>0，利用单调性即可证明结论．证法二：f(x)=2e x−1−sinx +e x−1cosx =e x−1(2+cosx)−sinx ≥x(2+cosx)−sinx =(2+cosx)(x −sinx 2+cosx)，由三角函数的值域可得：2+cosx >0恒成立，因此只要证明x −sinx2+cosx >0即可，令F(x)=x −sinx2+cosx ，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意，{ ca =√6232a 2−8b 2=1a 2+b 2=c 2，解得a 2=16，b 2=8，c 2=24．∴双曲线方程为x 216−y 28=1；(2)存在定点G(−2√6,0)，使得|GH|为定值，证明如下：由题意可知，若直线AB 和CD 其中一条没有斜率，则H 为(0,0)， 直线MN 的方程为y =0；当直线AB 和CD 都有斜率时，∵F 1(−2√6,0)，设直线AB 的方程为y =k(x +2√6)， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x M ,y M )，联立{y =k(x +2√6)x 216−y 28=1，得(1−2k 2)x 2−8√6k 2x −16(3k 2+1)=0．x 1+x 2=8√6k 21−2k2，x 1x 2=−16(3k 2+1)1−2k 2，故x M =4√6k 21−2k 2，y M =k(4√6k 21−2k 2+2√6)； 设直线CD 的方程为y =−1k (x +2√6)， C(x 3,y 3)，D(x 4,y 4)，N(x N ,y N )， 同理可得x 3+x 4=8√6k 2−2，x 3x 4=−16(3+k 2)k 2−2，x N =4√6k 2−2，y N =−1k (4√6k 2−2+2√6)．∴k MN =y M −y NxM −x N=k(4√6k 21−2k 2+2√6)+1k (4√6k 2−2+2√6)4√6k 21−2k 2−4√6k 2−2=−k2(k 2−1)．∴直线MN 的方程为y −k(4√6k 21−2k 2+2√6)=−k2(k 2−1)(x −4√6k 21−2k 2)，化简得：y =−k2(k 2−1)(12x +2√6)，可知直线MN 过定点P(−4√6,0)．又∵OH ⊥MN ，∴点H 的运动轨迹是以点(−2√6,0)为圆心，以|OP|=2√6为直径的圆，∴存在定点G(−2√6,0)，使得|GH|为定值2√6．【解析】(1)由已知可得关于a，b，c的方程组，求得a与b的值，则双曲线方程可求；(2)若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为(0,0)，直线MN的方程为y=0；当直线AB和CD都有斜率时，∵F1(−2√6,0)，设直线AB的方程为y=k(x+2√6)，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M、N的坐标，求出MN所在直线的斜率，得到MN的方程，说明MN过定点P(−4√6,0)，结合OH⊥MN，可得点H的运动轨迹是以点(−2√6,0)为圆心，以|OP|=2√6为直径的圆，由此可得存在定点G(−2√6,0)，使得|GH|为定值．本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查推理论证能力与运算求解能力，属难题．第21页，共21页。

一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形具有稳定性C ．三角形的内角和是180D ．直角三角形两个锐角互余 2．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（ ）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定3．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（ ） ①13∠=∠；②180BAE CAD ∠+∠=︒； ③若//BC AD ，则230∠=︒； ④若150CAD ∠=︒，则4C ∠=∠．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm5．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．11 6．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）A ．1,2,3B ．5,12,13C ．4,5,10D ．3,3,67．如图，在ABC 中，55A ∠=︒，65C =︒∠，BD 平分ABC ∠，//DE BC ，则BDE∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．30°D ．35° 8．如果一个三角形的三边长分别为5,8,a ．那么a 的值可能是（ ） A ．2B ．9C ．13D ．15 9．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．13，11，12 B ．3，2，1 C ．5，12，7 D ．5，13，5 10．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．3，3，4B ．7，4，2C ．3，4，8D ．2，3，5 11．如果一个三角形的两边长分别为4和7，则第三边的长可能是（ ）A ．3B ．4C ．11D ．1212．将一副三角板如图放置，使等腰直角三角板DEF 的锐角顶点D 放在另一块直角三角板（60B ∠=）的斜边AB 上，两块三角板的直角边交于点M ．如果75BDE ∠=，那么AMD ∠的度数是（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°13．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°14．如图，小明从点A 出发沿直线前进9米到达点,B 向左转45后又沿直线前进9米到达点C ，再向左转45后沿直线前进9米到达点D ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A 时所走的路程为（ ）A ．72米B ．80米C ．100米D ．64米 15．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题16．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．17．2016年2月6日凌晨，宝岛高雄发生6.7级地震，得知消息后，中国派出武警部队探测队，探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上的,A B 两处，用仪器探测生命迹象C ，已知探测线与地面的夹角分别是30︒和60︒（如图)，则C ∠的度数是_________．18．如图，BD 是ABC 的中线，点E 、F 分别为BD 、CE 的中点，若AEF 的面积为23cm ，则ABC 的面积是______2cm ．19．若等腰三角形两边的长分别为3cm 和6cm ，则此三角形的周长是______________cm ．20．如图，则A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为________．21．七边形的外角和为________．22．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠︒，则CFB ∠=______．23．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．24．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．25．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C =∠，90F ∠=，30D ∠=，45A ∠=，则12∠+∠等于___________度．26．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，AE BD ⊥．若30ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CAE ∠的度数为_______︒．三、解答题27．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|． 28．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，BE 平分ABC ∠，且//BE AD ，20BAD ∠=︒，求AEB ∠的度数．29．如图，ABC 中，AD 是高，,AE BF 是角平分线，它们相交于点,80O CAB ∠=︒，60C ∠=°，求DAE ∠和BOA ∠的度数．30．如图，在BCD △中，D 为BC 上一点，12∠=∠，34∠=∠，60BAC ∠=︒，求DAC ∠，ADC ∠的度数．。

一、单选题1. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（）A．B．C．D．2. 已知一组数据：96，97，95，99，96，98，100，97，98，96，则下列说法不正确的是（ ）A ．这组数据的中位数是97B ．这组数据的众数是96C ．这组数据的平均数是97D ．这组数据的极差是53.已知双曲线的左､右焦点分别为，，点A为虚轴上的端点，若是顶角为120的等腰三角形，则C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A．B．C．D．5. 2025年某省将实行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目.为帮助甲、乙两名高一学生应对新高考，合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值（指标值满分为5分，分值越高成绩越优）整理得到如下的雷达图，则下列选择最合理的是（）A ．选考科目甲应选物理、化学、历史B ．选考科目甲应选化学、历史、地理C ．选考科目乙应选物理、政治、历史D ．选考科目乙应选政治、历史、地理6. 设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（）A．B．C．D．7.已知，则在复平面内对应的点在（ ）湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(高频考点版)湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若，且轴，则椭圆的离心率等于（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）A．渐近线方程为B ．双曲线与椭圆的离心率互为倒数C ．若双曲线上一点满足，则的周长为28D ．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为610. 当时，函数与的图象恰有三个交点，且是直角三角形，则（ ）A ．的面积B．C ．两函数的图象必在处有交点D．11.已知函数向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（ ）A．的最小正周期为B．点是图像的一个对称中心C ．在的值域为D ．函数在上单调递增12. 已知则（ ）A．当时，无最大值B．当时，无最小值C ．当时，的值域是( -∞，2]D ．当时，的值域是[2，+∞)13. 从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:g )数据分布表如下:分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)频数123101则这堆苹果中,质量不小于120 g 的苹果数约占苹果总数的___.14.已知函数是奇函数，则__________.15. 曲线在点处的切线方程为__________．16. 已知等比数列的公比，且（1）求的通项公式；（2）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的最小值；若不存在，说明理由.问题：设数列的前项和为，___________，数列的前项和为是否存在，使得17. 已知函数.（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若存在两个极值点，求证：.18. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，满足，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，实数使得对任意恒成立，求的取值范围.19. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．（1）证明：；（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值．20. 已知，，分别为三个内角，，的对边，.(1)求；(2)若，是边上一点，且的面积为，求.21. “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：(1)根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；(2)若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；合计认可不认可合计(3)若从此样本中的城市和城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自城市的概率是多少？附：参考数据：（参考公式：）0.050.01 3.841 6.635。

湖南省衡阳市八中集团2024-2025学年上学期八年级数学期中试题卷一、单选题1．下列选项是无理数的为（）A ．13B C D ．3.14159262．已知一个正数的两个平方根分别是3a +和215a -，则a 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．下列各式正确的是（）A ±4B3C 8D ．44．7x 可以表示为（）A ．34x x +B ．34()x C ．92x x -D ．34x x ⋅5）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N6．下列说法错误的是（）A ．全等三角形的形状相同、大小相等B ．全等三角形的对应边相等、对应角相等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的周长相等7．如图，已知AC 、BD 交于点O ，OA OB =，那么添加下列一个条件后，仍不能判定AOC BOD ≌ 的是（）A ．OC OD =B ．A B ∠=∠C ．AC BD =D ．90C D ∠=∠=︒8．若8822222nn n n ++⋅⋅⋅+= 个，则n =（）．A ．8B ．7C ．6D ．59．如图，已知AB CF ∥，E 为DF 的中点，若13cm AB =，6cm CF =，BD 长为（）cm ．A ．6B ．7C ．12D ．1310．如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连接BE 、EC ．下列判断：①△ABE ≌△DCE ；②BE ＝EC ；③BE ⊥EC ；④2S △AEC ＝3S △AEB ．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．若一个正方体的体积为64，则它的棱长为．12．若32()6x x y ⋅=-，则括号内应填的代数式是．13．分解因式：2282x y -=．14．若6x a =，4y a =，则2x y a -的值为．15．若()()223x x x x m +-=--则m 的值为16．已知图中的两个三角形全等，则α∠=°．17．设2022a x =-，2024b x =-，2023c x =-．若2216a b +=，则2c 的值是．18．如图所示，已知四边形ABCD 中，12cm AB =，8cm BC =，14cm CD =，B C ∠=∠，点E 为线段A 的中点，点P 在线段BC 上以3cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段C 上由点C 向点D 运动．当点Q 的运动速度为cm /s 时，能够使BPE 与CPQ 全等．三、解答题19．计算：()202313--20．先化简，再求值：()()()()22a a b a b a b a b -++-+-，其中112a b ==-，．21．已知2x -的平方根是2±，27x y ++的立方根是3．(1)求x y ，的值；(2)求22x y +的平方根．22．如图，在ABC V 和ADE V 中，,,12,C E AC AE AD BC ∠=∠=∠=∠、相交于点F ．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若,30AB DE D ∠=︒∥，求AFB ∠的度数．23．甲、乙两个长方形，其边长如图所示(0)m >，其面面积分别为1S ，2S ．(1)比较1S 与2S 的大小．(2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为3S ，试探圥：3S 与()122S S +的差是否为为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．24．如图，一栋四层楼房AD 与另一栋三层楼房BE （每层楼的高度都是a 米）之间相距28米，小明从E 点沿ED 走向点D ，一定时间后，他到达C 点，此时他测得AC 和BC 的夹角为90︒，且AC BC =．(1)求证：ADC CEB△≌△(2)请你帮小明求出楼房AD 的高度．(3)小明同学行走的速度为0.5m/s ，则小明从C 点到达D 点还需要多长时间?25．【自主探究】（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式________；（2）图2是由两个边长分别为,,a b c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个自形的面积，你能发现什么？说明理由；【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：（3）如图3，五边形ABCDE 中，AC BD ⊥，垂足为,2,,,N AC BD CN a BN b BCN ====△周长为2，四边形AEDN 为长方形，求四边形AEDN 的面积．26．已知在四边形ABCD 中，AB AD =，12EAF BAD ∠=∠．【初步探察】（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，线段EF 、BE 、FD 之间的关系是________；【灵活运用】（2）如图2，180ABC ADC ∠+∠=︒，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，5AB AD ==，8BC =，6CD =．求EFC 的周长．【延伸拓展】（3）如图3，180ABC ADC ∠+∠=︒，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，判断线段EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并证明．。