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椭圆.板块二.椭圆的离心率.学生版

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【例1】 椭圆22221xyab和2222xykab(0)k一定具有（ ）
A．相同的离心率 B．相同的焦点
C．相同的顶点 D．相同的长轴长

【例2】 已知1F、2F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两
点，若2ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A．32 B．33 C．22 D．23

【例3】
已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭
圆离心率的取值范围是（ ）

A．(01)， B．1(0]2， C．2(0)2， D．2[1)2，

【例4】
过椭圆22221(0)xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦
点，若1260FPF°，则椭圆的离心率为（ ）
A．22 B．33 C．12 D．13

【例5】 已知椭圆22221xyab的左、右焦点分别为1F、2F，且12||2FFc，点A在椭圆上，
112
0AFFF

，212AFAFc，则椭圆的离心率e（ ）

A．33 B．312 C．512 D．22

【例6】 已知P是以12FF，为焦点的椭圆22221(0)xyabab上的一点，若120PFPF，
12
1
tan2PFF
，则此椭圆的的离心率为（ ）

A．12 B．23 C．13 D．53

【例7】 已知椭圆2215xym的离心率10e5，则m的值为（ ）

典例分析
板块二.椭圆的离心率
A．3 B．253或3 C．5 D．5153或15
【例8】 椭圆的长轴为12AA，B为短轴的一个端点，若∠012120ABA，则椭圆的离心率为
（ ）

A．12 B．63 C．33 D．32

【例9】 椭圆22221(0)xyabab的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切
圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）
A．352 B．354 C．512 D．514

【例10】 设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在直线2:alxc上
存在P（其中22cab），使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范
围是（ ）

A．20,2 B．30,3 C．2,12 D．3,13

【例11】 椭圆上一点A看两焦点的视角为直角，设1AF的延长线交椭圆于B，又
2
||||ABAF
，则椭圆的离心率e（ ）
A．222 B．63 C．21 D．32

【例12】
如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
P

轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二
次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次
变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭轨道Ⅰ
和Ⅱ的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①1122acac； ②1122acac； ③1212caac； ④1212ccaa．
其中正确式子的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④

III
II
I

P
F
【例13】
椭圆222210xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上
存在点满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．202， B．102， C．211， D．112，

【例14】
已知椭圆222210xyabab，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一
个端点，F为椭圆的一个焦点． 若ABBF，则该椭圆的离心率为 （ ）
A．512 B．512 C．514 D．514

【例15】 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为
12,FF，且它们在第一象限的交点为P，12PFF△是以1
PF
为底边的等腰三角形．若

1
10PF，双曲线的离心率的取值范围为1,2
．则该椭圆的离心率的取值范围
是 ．

【例16】
在ABC△中，ABBC，7cos18B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则
该椭圆的离心率e ．

【例17】
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22221(0)xyabab的焦距为2c，以点O为
圆心，a为半径作圆M．若过点20aPc，作圆M的两条切线互相垂直，则椭
圆的离心率为 ．

【例18】
直线:220lxy过椭圆的左焦点1F和一个顶点B，该椭圆的离心率为
_________．

【例19】
设12(0)(0)FcFc，，，是椭圆22221(0)xyabab的两个焦点，P是以12FF为直
径的圆与椭圆的一个交点，若12212PFFPFF，则椭圆的离心率等于
________．

【例20】 椭圆22221(0)xyabab的半焦距为c，若直线2yx与椭圆一个交点的横坐标恰
为c，椭圆的离心率为_________

【例21】
已知1F，2F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB，两
点，若2ABF△是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．
【例22】
已知0Fc，是椭圆222210xyabab的右焦点，以坐标原点O为圆心，a为
半径作圆P，过F垂直于x轴的直线与圆P交于AB，两点，过点A作圆P的切
线交x轴于点M．若直线l过点M且垂直于x轴，则直线l的方程为
______________；若||||OAAM，则椭圆的离心率等于_________．

【例23】
如图，在平面直角坐标系xOy中，1212AABB，，，为椭圆22221(0)xyabab的
四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆
的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 ___ ．

T

FMyxOB2B1A
2

A

1

【例24】 已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，P是椭圆上一点，
12
60FPF
，设12PFPF，
⑴求椭圆离心率e和的关系式；
⑵设Q是离心率最小的椭圆上的动点，若PQ的最大值为23，求椭圆的方程．

【例25】 设椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点分别为12FF，，若椭圆上存在一点Q，
使12120FQF，试求该椭圆的离心率e的取值范围．

【例26】 设椭圆C：22221(0)xyabab的长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，
使120AQB，试求该椭圆的离心率e的取值范围．

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《椭圆的离心率 》教学设计-优质教案

《椭圆的离心率 》教学设计-优质教案

椭圆的离心率一、教学目标：二、教学重点、难点：三、学情分析：四、教学过程：（一）复习椭圆的定义：椭圆的几何性质：（二）基础训练1.若椭圆22221x y a b+=的焦距为2c ，（1）若2a c =，则椭圆的离心率为 ； （2）若2a b =，则椭圆的离心率为 ；（3）若2b c =，则椭圆的离心率为 .2.同学们可以通过椭圆的复习，编制2道求椭圆离心率的问题吗？试试看.（三）典型例题例1. 若椭圆22221x y a b+=的焦距为2c ， （1）若直线AB 的斜率为12-，则椭圆的离心率为 ；（2）若直线2BF 的斜率为2-，则椭圆的离心率为 ；（3）若点O 到直线2BF 的距离为3c ，则椭圆的离心率为归纳总结：例2.若点P 是椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是椭圆的左右焦点， （1）若12PF F 的周长为3a ，则椭圆的离心率为 ；（2）若1221,60PF PF PF F ⊥∠=，则椭圆的离心率为练习1.(1)若P ，Q 是椭圆22221x y a b+=上的两个不同点，且 直线PQ 经过左焦点（如图）， 223,4,5PQ PF QF ===，则椭圆的离心率为(2)若等边12PF F 的两边被是椭圆22221x y a b+=平分， 则椭圆的离心率为例3. （1）点3(,)2c P c -在椭圆22221x y a b +=上，则椭圆的离心率为 ；（2）设F,B 分别为椭圆22221x y a b +=的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，点C 是直线b y x a= 与椭圆在第一象限内的交点，若线段OC 中点在直线BF 上，则椭圆的离心率为练习2.若12,F F 是椭圆22221x y a b+=上的左右焦点，点P 在直线)y x a =+上，且12PF F 为等腰三角形， 21120PF F ∠=，则椭圆的离心率为思考题： 设椭圆22221x y a b+=长轴端点分别为A,B ，点C 为椭圆上异于A,B 的一点，若将ABC 的三个内角记为A,B,C,且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为课堂小结：课后反思：。

浅谈椭圆中的离心率问题

浅谈椭圆中的离心率问题


作者简介： 李 珊 ，四 川 省 南 充 市 ，西 华 师 范 大 学 。
答过程如下。
解：设弦 ＰＱ 的中点为 Ｍ ，过 点 Ｐ，Ｑ，Ｍ 分 别 作 准 线 的
垂 线，垂 足 为 Ｐ′、Ｍ′、Ｑ′，则
ＭＭ′
＝
１ ２
（ ＰＰ′
＋
ＱＱ′ ）＝２１ｅ（ ＰＦ ＋ ＱＦ ）＝２１ｅ ＰＱ ，
假设 存 在 点 Ｒ，使 △ＰＱＲ 为 正 三 角 形，则 由 ＲＭ ＝
槡３
２
ＰＱ
，且
ＭＭ′ ＜ ＲＭ
∵ ＰＱ ＝ ＰＦ ＋ ＱＦ ＝２ａ－ｅ（ｘ１＋ｘ２）
∴
ＭＲ
＝槡３（ａ－ｅ（ｘ１２＋ｘ２））， ＭＧ
ａ ｘ１＋ｘ２
＝－
ｅ
２
由 ＭＲ ＞ ＭＧ 可求得ｅ＞槡３３即ｅ∈（槡３３，１）
中，结合 三 角 函 数 的 相 应 知 识 以 及 边 角 关 系 得 ｔａｎ３０°＝
ＦＱ ，建立关于离心 率 的 方 程，解 方 程 求 出 离 心 率。 具 体 ＭＦ
得 ：１ ２ｅ
ＰＱ
槡３
＜２
ＰＱ
，所
以２１ｅ＜槡２３，所 以ｅ＞槡３３。
所以椭圆的离心率ｅ 的取值范围是（槡３３，１）
对比几种方法各有各的优点，不难看 出 第 一 种 解 法 通 过 审题作图找到数据 间 的 关 系，从 而 求 解，第 二 种 解 法 结 合 三 角函数来快速解题，第三种巧妙地运 用 椭 圆 的 第 二 定 义。 事 实上一般情况下，解 析 几 何 通 法 是 关 键，这 就 要 求 学 生 在 平 时做题时要 加 强 常 规 方 法 的 联 系，不 要 刻 意 规 避 复 杂 的 运 算，对于一些重要结论，务必在理解后 加 强 记 忆，当 然 对 于 这 类 题 目 的 解 题 策 略 也 要 多 加 思 考 ，试 着 多 角 度 思 考 问 题 。
椭圆的定义和离心率 精品教案

椭圆的定义和离心率 精品教案

椭圆的定义及离心率（人教A选修1-1第二章第1节）一、教学设计内容和内容解析1.内容本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）选修1－1第二章第1节《椭圆及其标准方程》第一课时．让学生通过自己动手，通过椭圆的画法，掌握椭圆的定义。

通过绘制不同圆扁程度的椭圆，理解离心率的几何意义。

2.内容解析数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。

针对这节课的内容：教师提示；学生操作、观察、思考、讨论；教师再演示、点评，最大限度地调动学生积极参与教学活动。

特别是在细线的长度等于或者小于两个图钉之间的距离，以及在探讨如何通过改变细线长度，图钉之间距离来改变离心率，进而影响椭圆的的圆扁程度等教学重难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间与空间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的观点，交流、汇集思想。

这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。

另外通过学法指导，引导学生思维向更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习椭圆的几何性质及双曲线和抛物线作好辅垫。

根据以上分析，得到本节课重点：能从椭圆的绘制过程，总结归纳出椭圆的定义，并推断其标准方程。

目标和目标解析1.知识与技能目标1.1准确理解椭圆的定义，掌握椭圆的定义；1.2了解离心率的概念，理解离心率对椭圆圆扁程度的影响。

2.过程与方法目标2.1通过和学生一起列举生活中的椭圆图形，了解椭圆的广泛应用；引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程并归纳出椭圆的定义；2.2通过对图钉之间的距离，和细线长度的调节，从不同形状的椭圆图形中，归纳出它们的变化对椭圆的形状的影响，了解离心率的概念；2.3学习在问题中发现数量关系，提炼数学概念的能力，由具体到抽象，从特殊到一般的化归思想和数学形结合的思想，初步体会数学概念形成的过程和本质，提高学生的抽象概括能力。

(完整版)专题椭圆的离心率解法大全,推荐文档

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椭圆的离心率为(
)
[解析] b ( b ) 1 a2 c2 ac e 5 1
ac
2
3，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 3 1
变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果
22
m2
3
综上 m 16 或 3 3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
4，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 x2 y2 1的离心率为 mn
2n 2m n
[解析]由 n2 m2n mn 0
m 2 n 4 ，椭圆
x2 m
可得| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2 ，
PF1
，
PF2
是方程 z 2
2az
2b2
0 的两个根，则
4a2
8(a2
c2) 0 e2
c2 a2
1 2
e
2 2
解法 3：正弦定理
设记 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
4
0 3 则 2 sin( ) 1，1 2 sin( ) 2
24
44 2
4
4
所以 2 e 1 2
解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | 平方后得 4a 2 | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 2(| PF1|2 | PF2 |2 ) 2| F1F2 |2 8c2