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![[公开课优质课课件]详解椭圆曲线的离心率求解](https://img.taocdn.com/s1/m/8d1eb7a550e79b89680203d8ce2f0066f53364f5.png)
[公开课优质课课件]详解椭圆曲线的离心
率求解
简介
本课程将详细解释椭圆曲线的离心率求解方法。
通过本课程，您将了解离心率的概念、计算方法，以及椭圆曲线上离心率的意义和应用。
椭圆曲线和离心率
椭圆曲线是平面上一组满足特定数学方程的点的集合。
离心率是描述椭圆曲线形状的一个重要参数，它衡量了椭圆曲线的扁平程度。
离心率的取值范围是0到1，离心率越接近0，椭圆曲线越接近圆形；离心率越接近1，椭圆曲线越扁平。
离心率的计算方法
离心率的计算方法可通过椭圆曲线的半长轴和半短轴长度进行求解。
我们可以使用以下公式计算离心率：
离心率 = sqrt(半长轴^2 - 半短轴^2) / 半长轴
其中，sqrt表示计算平方根。
离心率的结果是一个在0到1之间的实数。
离心率的意义和应用
离心率对于椭圆曲线的几何特征和性质具有重要影响。
离心率越大，曲线越扁平，其特征点和形状会有所改变。
离心率的值还可以用来判断椭圆曲线是否为圆形、椭圆或双曲线，并对密码学等领域的算法和保密性产生重要影响。
感谢您参加本次公开课，希望通过本课程的学习，您能更好地理解椭圆曲线的离心率求解方法及其应用。
高中数学离心率题讲解教案
一、教学目标：
1. 理解椭圆的离心率的定义；
2. 能够计算给定椭圆的离心率；
3. 能够应用椭圆的离心率解决实际问题。
二、教学重点：
1. 离心率的定义；
2. 计算椭圆的离心率；
3. 应用离心率解决问题。
三、教学难点：
1. 离心率的概念理解；
2. 离心率的计算方法；
3. 离心率在实际问题中的应用。
四、教学内容：
1. 离心率的定义：椭圆的离心率e是定义为焦距之差与焦距之和的比值。
2. 计算椭圆的离心率：e = c/a，其中c为焦距之差，a为长半轴。
3. 应用离心率解决问题：如计算地球绕太阳运动的轨道离心率等。
五、教学步骤：
1. 导入：通过展示椭圆的定义和性质引出离心率的概念。
2. 讲解：介绍离心率的定义，解释椭圆的焦距、长半轴等概念。
3. 计算：演示如何根据椭圆的焦距和长半轴计算离心率。
4. 实例分析：应用离心率解决实际问题，如计算地球椭圆轨道的离心率。
5. 练习：学生进行离心率的计算练习，巩固所学知识。
6. 总结：总结离心率的概念和计算方法，强调应用离心率解决问题的重要性。
六、教学资源：
1. PowerPoint课件；
2. 黑板、粉笔；
3. 教材习题。
七、教学评价：
1. 学生能够正确理解椭圆的离心率和计算方法；
2. 学生能够熟练应用离心率解决相关问题；
3. 学生能够掌握离心率的概念和应用技巧。
椭圆的说课稿各位领导、老师：大家好！今天我说课的课题是《椭圆的离心率问题》，内容选自高中数学选修1—1第二章第一节。
下面我从教材分析、教学目标、重点难点、学情分析、教学方法以及教学过程几个方面来阐述我对本节课的教学设计:一、教材分析：离心率是圆锥曲线的重要性质，而椭圆的离心率是影响椭圆的形状重要因素之一，求离心率的方法，思路也是为以后学习双曲线的离心率做好准备，是高中数学课程的重要内容，也是高考必考内容之一。
通过本节课的学习,使学生对离心率这一概念有更深的理解，培养学生分析问题，解决实际问题的能力。
二、教学目标:(一)知识与技能：使学生能够利用椭圆的定义和几何性质，掌握椭圆离心率的两种常用题型的求法．（二)过程与方法：通过椭圆的定义和几何性质及图形的几何关系，把每个题分解成若干个椭圆问题,并各个击破，从而达到解决问题的目的．（三）情感态度与价值观:通过对椭圆离心率的教学,可以培养学生数形结合的数学思想，以及发现问题，提出问题，分析问题和解决问题的能力。
三、教学重点：椭圆的离心率的求法。
从题意中找到a，b，c的关系，结合a²=b²+c²，得到a和c的等式,进而求出离心率。
四、教学难点：椭圆的离心率的应用．要根据题意，做出相应的图形，并利用图形中的几何关系找到等式关系.五、学情分析：1.知识上，学生已经学习了椭圆的定义、方程、几何性质，对椭圆离心率的意义也有了一定的理解，为进一步学习椭圆离心率问题奠定了基础.2.经过这一段椭圆的学习，学生的计算能力、分析问题解决问题的能力、归纳概括能力都有了一定程度的提高，学生的学习热情很高,但是学生发现问题和提出问题的能力还有所欠缺。
六、教学方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，再结合组内的紧抓基础，强化训练的教研专题，我决定以学案为辅助材料，提高课堂效率，以小组合作学习为主要形式，提高学生的学习积极性，体现学生的主体地位,以问题为主线，把复杂问题拆解成若干小问题,化繁为简.不仅要提高学生分析问题，解决问题的能力，也要培养学生去发现问题和提出问题。
![[公开课优质课课件]解析椭圆的离心率求法](https://img.taocdn.com/s1/m/c0d42c259a6648d7c1c708a1284ac850ad020414.png)
[公开课优质课课件]解析椭圆的离心率求
法
椭圆是一个重要的几何概念，在数学和物理学中广泛应用。
而椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
本文将解析椭圆的离心率求法，帮助读者更好地理解椭圆的性质和特点。
1. 椭圆的定义
椭圆可以定义为到两个焦点距离之和恒定的点构成的图形。
数学上，椭圆可以用一个数学方程来表示，即椭圆的离心率求法的基础。
2. 椭圆的离心率
离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
离心率的定义是椭圆焦点间距离除以长轴长度的比值。
我们可以通过以下步骤计算椭圆的离心率：
1. 确定椭圆的长轴和短轴长度。
2. 计算椭圆的焦点之间的距离。
3. 将焦点之间的距离除以长轴长度，得到离心率的值。
3. 举例说明
例如，假设椭圆的长轴长度为a，短轴长度为b。
椭圆的焦点之间的距离为c。
那么椭圆的离心率可以表示为：
离心率 = c / a
通过以上公式，我们可以计算出任意椭圆的离心率。
4. 总结
本文解析了椭圆的离心率求法。
椭圆的离心率是一个重要的参数，用来描述椭圆形状的特点。
离心率的值越接近于0，椭圆形状越接近于圆形；离心率的值越接近于1，椭圆形状越长而细长。
希望本文对读者理解椭圆的离心率求法有所帮助。
> 注意：以上内容仅供参考，具体情况还需根据实际问题进行具体分析和计算。
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Word Count: 193 words。
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
《椭圆离心率的求解方法》教学设计发布时间：2021-01-29T14:44:54.357Z 来源：《中国教师》2020年第30期作者：娄方敏[导读] 《椭圆的离心率》是人教A版教材（选修2-1）第二章第二节椭圆的简单几何性质娄方敏贵州省清镇市第一中学，贵州贵阳 550000一、教学内容分析《椭圆的离心率》是人教A版教材（选修2-1）第二章第二节椭圆的简单几何性质中的内容，离心率是椭圆的一个重要基本量，它刻画了椭圆的扁平程度，同时是高考考查的一个重点热点问题。
二、学情分析学生已经掌握了离心率的公式以及椭圆的简单几何性质，但求离心率的题目常常涉及的知识点多，灵活性强，且对学生的思维能力、作图能力和计算能力有较高的要求，导致学生难以找到问题的突破口。
因此在教学过程中，如何引导学生分析题目，正确作出图形找出隐含条件，进而发现并找到三者的关系是重难点。
三、教学目标（一）知识与技能1、掌握离心率的定义2、掌握求解椭圆离心率的两类常见方法（二）过程与方法通过例题分析基本量的关系，体会数形结合的思想，归纳离心率的求解方法。
（三）情感态度与价值观通过自主探究，合作学习完成知识点的复习，激发学习兴趣，培养学习数学的积极态度。
四、教学重难点教学重点：根据椭圆的相关性质求解椭圆的离心率取值(范围) 教学难点：求解椭圆离心率的取值范围五、教学方法自主探究，小组合作学习，师生讨论六、教学设计过程七、备考建议1、利用椭圆的定义和基本量的关系求值；2、利用平面几何相关性质、椭圆的焦点三角形以及性质，通过转化与化归的思想，求解离心率取值（范围）。
八、教学反思1、选题方面例1和练习1是同类型的题目，难度属于中档题。
尤其是例1，由教材习题改编而来，让学生意识到题目所考察的知识来源仍是教材，进而重视教材，研究教材，回归教材；例2和练习2则对难度进行了提升，一题多解发散学生思维，数形结合思想的渗透同时还考查学生的观察能力；课后拓展题目其实就是对课堂复习后的升化。
椭圆离心率的解法椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。
题型变化很多，难以驾驭。
以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c ∴有③。
题目1：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF1｜= b2a｜F2 F1｜=2c ｜OB｜=b ｜OA｜=aPF2 ∥AB ∴｜PF1｜｜F2 F1｜=ba又∵b= a2-c2∴a2=5c2 e=5 5点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2=(a+c)2=a 2+2ac+c 2a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变形：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？ 点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e? 解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-am ｜BF 2｜=2a-m 在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2 –c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23题目4：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P =｜PF 2｜sin PF 1F 2根据和比性质：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜sinF 1F 2P+sin PF 1F 2变形得： ｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 ==2c 2a=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15°e= sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。
解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-αe=sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60° sin α+sin(120°-α) = 1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变形2：已知椭圆x 24+ y 24t 2 =1 (t>0) F 1F 2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若13 <tan α 2< tan β2 <12 ,求e 的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
解;根据上题结论e=sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β)sin α+sin β=2sin α+β 2 cosα+β 22sin α+β 2 cos α-β 2= cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β 2cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2=1- tan α 2 tan β21- tan α 2 tan β2=e∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<12三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式.题目5：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求e?法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2 y=x-c(a 2+b 2)x 2-2a 2cx+a 2c 2-a 2b 2=0 x 1+x 2=2a 2c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2c a 2+b 2-2c=-2b 2c a 2+b 2→OA +→OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2=3b 2e=63法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→OB ⎩⎪⎨⎪⎧x 12a 2+ y 12b 2=1 ①x 22a 2+ y 22 b 2=1 ②① -② 得： y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=-b 2a 2 (-3) 既a 2=3b 2e=63四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。
题目6：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？分析：∵→MF1·→MF2 =0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。
解：∴c<ba2=b2+c2 >2c2 ∴0<e<2 2题目7：椭圆x2a2+y2b2=1(a>b >0)的两焦点为F1（-c，0）、F2 (c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a 2c,y 0 ) M( a 2c -c 2 ,y 0 2) 既( b 22c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a 2c+c, y 0 ) →MF 2 =-( b 22c -c, y 0 2) →PF 1·→MF 2 =0 ( a 2c +c, y 0 ) ·( b 22c -c, y 0 2)=0 ( a 2c +c)·( b 22c -c)+ y 02 2=0 a 2-3c 2≤0 ∴33≤e<1 解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c｜PF 2｜≥a 2c -c 则2c ≥a 2c -c 3c ≥a 2c3c 2≥a 2 则33≤e<1 总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。
所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。
