2016年北京市各区一模试题分类——三角函数

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2016.3 （考试时间120分钟分钟 满分150分）分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项要求的一项. .1. 已知全集U =R ，集合{}3A x x =£，{}2B x x =<，则()U BA = ð A ．{}2x x £B ．{}13x x ££ C. {}23x x <£ D ．{}23x x ££ 2.已知i 为虚数单位为虚数单位,,则复数2i1i+= A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 3.已知非零平面向量,a b ，“+=-a b a b ”是“^a b ”的”的 A ．充分而不必要条件．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为值为 A. 42 B. 19 C. 8 D. 35.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3cos sin 0a B b A +=，则B = A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π6i =1,S =1 i <4? S = 2S+i i = i+1 开始开始 输出S 结束结束否是6.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A. 33+B. 3+6C. 123+D.126+7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,,下列说法中错误．．的是的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同月份的收入的变化率相同D. 前6个月的平均收入为40万元万元 （注：结余（注：结余==收入收入--支出）支出）8. 若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是的取值范围是 A ．02r << B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<万元万元 月O 23 4 30 1 10 20 5 6 89 10 71112 40 60 50 70 90 80 收入收入 支出支出1 3 2正视图正视图俯视图俯视图 侧视图侧视图1 1 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上. 9.已知函数22log (3),0,(), 0,x x f x x x +³ì=í<î则((1))f f -= . 10.已知双曲线221x y m-=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为的焦点，则此双曲线的渐近线方程为. 11.已知递增的等差数列}{n a ()n *ÎN 的首项11=a ，且1a ,2a ,4a 成等比数列，则数列}{n a 的通项公式n a = ；48124+4+n a a a a +++ =____. 12.已知不等式组0,,290y y x x y ³ìï£íï+-£î表示的平面区域为D .若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是的取值范围是 . 13.已知圆22:(3)(5)5C x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P . 若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为的方程为 . 14.甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是要想必胜，第一次报的数应该是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）分）已知函数()2sin cos()3f x x x w w p =+（0w >）的最小正周期为p . （Ⅰ）求w 的值；的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62p p-上的最大值和最小值. 16.(本小题满分13分）分）已知数列已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-,n *ÎN . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17. (本小题满分本小题满分13分) 某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查.调查结果如下表: （Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著名著的平均本数; （Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率人的概率；； （Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小的大小（只需写出结论）．（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为1x 2x ，…… n x 的平均数）的平均数） 18.（本小题共14分）分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ^底面ABC ，90BAC Ð=°，2AB AC ==，13AA =．,M N 分别为BC 和1CC 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点．上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM ^平面11BBC C ；（Ⅱ）若P 为线段1BB 的中点，求证：1//A N 平面APM ； （Ⅲ）试判断直线1BC 与平面APM 是否能够垂直. 若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．的值；若不能垂直，请说明理由．19.(本小题共14分）分）已知椭圆已知椭圆:C 22142x y +=的焦点分别为12,F F .（Ⅰ）求以线段12F F 为直径的圆的方程；为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点(4,0)P 任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN Ð+Ð=°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由..20. （本题满分13分）分）阅读名著的本数 1 2 3 4 5 男生人数 3 1 2 1 3 女生人数1 3 3 1 2 NAMPCBA 1 C 1 B 1 已知函数()e x k x f x k x+=×-()k ÎR. （Ⅰ）若1,k =求曲线()y f x =在点()0(0)f ，处的切线方程；处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；的单调区间； （Ⅲ）设0k £，若函数()f x 在区间()3,22上存在极值点，求k 的取值范围的取值范围. .北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（文史类） 2016.3 一、选择题：（满分40分） 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案D A C B C B D C 二、填空题：（满分30分） 题号题号9 10 11 12 13 14 答案答案212y x =±n a n=，2264n n ++3[0,]4210x y --=或2110x y +-=1，2，3，4 （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）分）解：（Ⅰ）()2sin cos()3f x x x w w p =+132sin (cos sin )22x x x w w w =- 2sin cos 3sin x x x w w w =-133sin 2cos2222x x w w =+- 3sin(2)32x w p=+-. 因为()f x 的最小正周期为2T w2p==p ，则1w =. …………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3()sin(2)32f x x p=+-. 因为,6x p p -££2所以0233x p 4p £+£. 则3sin(2)123x p-£+£. 当232x pp +=，即12x p=时，()f x 取得最大值是312-； 当233x p4p+=，即2x p=时，()f x 取得最小值是3-. ()f x 在区间[,]62p p-的最大值为312-，最小值为3-. …………………13分16. （本小题满分13分）分） 解：（Ⅰ）由22n S n n =-，当2n ³时，()()221=22114 3.-éù=------=-ëûnnn a S S n n n n n当1n =时，111,a S ==而4131´-=，所以数列{}n a的通项公式43n a n =-，n *ÎN . ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()(1)(1)43,=-=--n nn n b a n当n 为偶数时，()159********,2nnT n n =-+-+-++-=´=当n 为奇数时，1n +为偶数，112(1)(41)2 1.n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+综上，2,,21,.n n n T n n ì=í-+î为偶数为奇数 …………………………13分17.（本小题满分13分）分）解：（Ⅰ）女生阅读（Ⅰ）女生阅读名著名著的平均本数11323314+25310x ´+´+´+´´==本. …………………………3分（Ⅱ）设事件A ={={从阅读从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}.}.男生阅读5本名著的3人分别记为123,,a a a ，女生阅读5本名著的2人分别记为12,.b b从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：个结果，分别是： {}12,a a ，{}13,a a ，{}23,a a ，{}12,b b ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b . 其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：个结果，分别是：{}11,a b ，{}12,a b ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}31,a b ，{}32,a b . 则63105P A ==（）. …………………………10分（III ）2212s s >. …………………………13分18. （本小题满分14分）分） 证明：证明：（Ⅰ）由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ^．又因为11//BB AA ，且1AA ^底面ABC ，所以1BB ^底面ABC ． 因为AM Ì底面ABC ，所以1BB AM ^， 又1BB BC B = ， 所以AM ^平面11BBC C．又因为AM Ì平面APM ，所以平面APM ^平面11BBC C ． ……………………5分（Ⅱ）（Ⅱ）取11C B 中点D ，连结1A D ，DN ，DM ，1B C . 由于D ，M 分别为11C B ，CB 的中点，的中点， 所以DM //1A A ,且DM =1A A . 则四边形1A AMD 为平行四边形，所以1A D //AM . 又1A D Ë平面APM ，AM Ì平面APM ， 所以1A D //平面APM . 由于D ，N 分别为11C B ，1C C 的中点，的中点，NAMPCB A 1 C 1 B 1 D所以DN //1B C . 又P ，M 分别为1B B ，CB 的中点，的中点， 所以MP //1B C . 则DN //MP . 又DN Ë平面APM ，MP Ì平面APM ， 所以DN //平面APM . 由于1A D =DN D ,所以平面1A DN //平面APM . 由于1A N Ì平面1A DN ，所以1//A N 平面APM . ……………10分（III ）假设1BC 与平面APM 垂直，垂直， 由PM Ì平面APM ，则1BC PM ^． 设PB x =，[0,3]x Î．当1BC PM ^时，11BPMB C B Ð=Ð，所以Rt PBM D ∽11Rt B C B DÐ，所以111C B PB MB BB =． 由已知1112,22,3MB C B BB ===， 所以2223x =，得433x =．由于43[0,3]3x =Ï， 因此直线1BC 与平面APM 不能垂直．不能垂直． …………………………………………14分19. （本小题满分13分）分） 解：（I ）因为24a =，22b =，所以22c =.所以以线段12F F 为直径的圆的方程为222x y +=.……………………………3分（II ）若存在点(,0)Q m ，使得180PQM PQN Ð+Ð=°，则直线则直线QM 和QN 的斜率存在的斜率存在,,分别设为1k ,2k . 等价于等价于120k k +=.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4)142y k x x y =-ìïí+=ïî，得2222(21)163240k x k x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0D >. 即2222(16)4(21)(324)0k k k -+->，解得216k <. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+， 11(4)y k x =-，22(4)y k x =-.令1212120y y k k x mx m+=+=--，1221()()0,x m y x m y -+-=1221()(4)()(4)0x m k x x m k x --+--=,当0k ¹时，12122(4)()80x x m x x m -+++=，所以22324221k k -´+2216(4)8021k m m k -+´+=+， 化简得，28(1)021m k -=+，所以1m =.当0k =时，也成立时，也成立. .所以存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN Ð+Ð=°.……………………………14分20. （本小题满分13分）分）解：(Ⅰ)若1k =，函数()f x 的定义域为{}1x x ¹，22e (3)()=1)xx f x x -¢-（.则曲线()y f x =在点()0(0)f ，处切线的斜率为(0)=3f ¢. 而(0)=1f ，则曲线()y f x =在点()0(0)f ，处切线的方程为31y x =+. …………………………3分BA O yxQ NMP (4,0)（Ⅱ）函数()f x 的定义域为{}x x k ¹，222e (2)()=)x k k x f x k x +-¢-（.（1）当0k >时，由x k ¹,且此时22k k k +>，可得2222k k k k k -+<<+.令()0f x ¢<，解得22x k k <+-或22x k k >+，函数()f x 为减函数；为减函数；令()0f x ¢>，解得2222k k x k k -+<<+，但x k ¹，所以当22k k x k -+<<，22k x k k <<+时，函数()f x 也为增函数. 所以函数()f x 的单调减区间为22)k k ¥+（-，-，22+)k k +¥（，， 单调增区间为22)k k k +（-，，2,2)k k k +（.（2）当0k =时，函数()f x 的单调减区间为¥（-,0)，+¥（0,). 当2k =-时，函数()f x 的单调减区间为2¥（-,-)，2+¥（-，). 当20k -<<时，由220k k +<，所以函数()f x 的单调减区间为k ¥（-,)，+k ¥（,). 即当20k -££时，函数()f x 的单调减区间为k ¥（-,)，+k ¥（,). （3）当2k <-时，此时22k k k +>-. 令()0f x ¢<，解得22x k k <+-或22x k k >+，但x k ¹，所以当x k <，22k x k k <<+-，22x k k >+时，函数()f x 为减函数；为减函数；令()0f x ¢>，解得2222k k x k k -+<<+，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的单调减区间为k ¥（-,)，22k k k +（,-)，22,)k k ++¥（， 函数()f x 的单调增区间为222,2)k k k k ++（-. . ……………………9分（Ⅲ）（1）当20k -££时，由（Ⅱ）问可知，函数()f x 在(3,22)上为减函数，所以不存在极值点; （2）当2k <-时，由（Ⅱ）可知，()f x 在222,2)k k k k ++（-上为增函数，上为增函数，在在22,)k k ++¥（上为减函数上为减函数.. 若函数()f x 在区间(3,22)上存在极值点，则23222k k <+<， 解得43k -<<-或12k <<,所以43k -<<-.综上所述，当综上所述，当43k -<<-时，函数()f x 在区间()3,22上存在极值点上存在极值点. .……………………13分。

2106朝阳区一模一、选择题（本题共30分，每小题3分）分）1．清明节是中国传统节日清明节是中国传统节日，，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人， 将264000用科学计数法表示应为用科学计数法表示应为A A．．326410´ B B．．42.6410´ C C．．52.6410´ D D．．60.26410´ 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．a 与bB B．．b 与cC C．．c 与dD D．．a 与d3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A A．．21B B．．13C C．．29D D．．194．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为的度数为 A ．40º．40º B B B．50º．50º．50º C C C．60º．60º．60º D D D．130º．130º．130º6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m 1100m，则，则隧道AB 的长度为的长度为OACBE O DC BA 5题6题8题9题图1 队员1 队员2 队员3 队员4 甲组甲组 176 177 175 176 乙组乙组178175177174x x x x x x x x 空题（本题共1811．若二次根式．若二次根式2x -有意义，则12．分解因式：．分解因式：26a b ab -yx1–1–112O图2 =____________=____________．．1414．．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为人，可列方程为____________________________________．．1515．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为________________________粒．粒．粒． 1616．阅读下面材料：．阅读下面材料：．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是请回答：小艾这样作图的依据是____________________________________．．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）分）1717．计算：．计算：1(2)8(21)4cos 45----+-+°．尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ．如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点；两点； （2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； （3）作直线CF ． 所以直线CF 就是所求作的垂线．就是所求作的垂线．21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．北故宫博物院各约有多少万件藏品． 1F E CBDO C B2525．阅读下列材料：．阅读下列材料：．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%21.2%；； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%22.3%；；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%23%．．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%90%的老的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%6%的老年人在社区养老，的老年人在社区养老，的老年人在社区养老，4%4%4%的老的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，万张，20142014年达到10.938万张，万张，20152015年达到12万张．万张． 根据以上材料回答下列问题：根据以上材料回答下列问题：(1)(1)到到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为岁及以上户籍老年人口为______________________________万人；万人；万人；(2)(2)选择统计表或选择统计表或．统计图，将2013年––年––20152015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；籍总人口的比例表示出来；(3)(3)预测预测2016年本市养老服务机构的床位数约为年本市养老服务机构的床位数约为___________________________万张，万张，请你结合数据估计，请你结合数据估计，能否满能否满足4%4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．的老年人入住养老服务机构，并说明理由． 2626．观察下列各等式：．观察下列各等式：．观察下列各等式：222=233-´，( 1.2)6( 1.2)6--=-´，11()(1)()(1)22---=-´-， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的等于它们的等于它们的 ；； （2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－－3＝ ´3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－－ ＝＝ ´ ；；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．2727．在平面直角坐标系．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（经过点（00，–，–33），（2，–，–33）． （1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．的值．P图2 图1 P33，33是 ；；xy12345–1–112345678O北京市朝阳区九年级综合测试（一）北京市朝阳区九年级综合测试（一） 数学试卷评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 12345678910答 案C D C B B B AB AD二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题 号 11 1213答 案 2³x2)3(b a b - 1=k （52k <的任意实数） 题 号14 15 16答 案 65413121=++x x x1250等腰三角形“三线合一”；等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线．三、解答题（本题共72分，第17─26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）1717．解：原式．解：原式．解：原式==12221422--++´ ...................................................... (4)分 =12． ……………………………………………………………………… 5……………………………………………………………………… 5分 1818．解：原式．解：原式．解：原式==22415m m m -+- (2)分 =2551m m -- ………………………………………………………………… 3分=25()1m m --．11m m -= ，21m m \-=． …………………………………………………………… 4…………………………………………………………… 4分 ∴原式∴原式∴原式=4=4=4．． …………………………………………………………………… 5分1919．解：．解：3(1)6,1.2x x x x -<ìïí+£ïî①②1FECBDO BC老年人口数量老年人口数量 （单位：万人）（单位：万人）老年人口占老年人口占 户籍总人口的比例户籍总人口的比例2013年 279.3 21.2% 2014年 296.7 22.3% 2015年32023%能满足老年人的入住需求能满足老年人的入住需求能满足老年人的入住需求. . . 理由：根据理由：根据20132013––2015年老年人口数量增长情况，估计到年老年人口约有340万人，有4%4%的老年人入住养老服务机构，即约有的老年人入住养老服务机构，即约有万张，所以能满足老年人的入住需求．需求． ……………………………………………………………………………………526.26.解：解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1 （（2）23-，23-； (2)（（3）1，12，1，12（答案不唯一）； ................................................3 (3)（（4）存在）存在. . . 设这两个实数分别为设这两个实数分别为 ∴∴．项目项目年份年份EOBDC∴当∴当0=x 时，0=y ；当2-=x 时，2=y ． ∴满足两个实数都是整数的等式为∴满足两个实数都是整数的等式为0000´=-，222)2(´-=--．…5分分，0），（3，0）． (7) (1)……………….......................................................2交AB 于点E ． (3)CAB PED33分2，33.3HCPNM N6+3332-<-. . (8)。

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（北京卷）专题05三角函数与解三角形1．【2022年北京卷05】已知函数f(x)=cos 2x −sin 2x ，则（ ） A ．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B ．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C ．f(x)在(0,π3)上单调递减D ．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C 【解析】因为f (x )=cos 2x −sin 2x =cos2x .对于A 选项，当−π2<x <−π6时，−π<2x <−π3，则f (x )在(−π2,−π6)上单调递增，A 错； 对于B 选项，当−π4<x <π12时，−π2<2x <π6，则f (x )在(−π4,π12)上不单调，B 错； 对于C 选项，当0<x <π3时，0<2x <2π3，则f (x )在(0,π3)上单调递减，C 对； 对于D 选项，当π4<x <7π12时，π2<2x <7π6，则f (x )在(π4,7π12)上不单调，D 错. 故选：C.2．【2021年北京7】函数f(x)=cosx −cos2x ，试判断函数的奇偶性及最大值（ ） A ．奇函数，最大值为2 B ．偶函数，最大值为2 C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D由题意，f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x =f(x)，所以该函数为偶函数， 又f(x)=cosx −cos2x =−2cos 2x +cosx +1=−2(cosx −14)2+98， 所以当cosx =14时，f(x)取最大值98. 故选：D.3．【2020年北京卷10】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）．真题汇总A．3n(sin30°n +tan30°n)B．6n(sin30°n+tan30°n)C．3n(sin60°n +tan60°n)D．6n(sin60°n+tan60°n)【答案】A 【解析】单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为360°n×6=60°n，每条边长为2sin30°n，所以，单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n，单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n ，其周长为12ntan30°n，∴2π=12nsin 30°n+12ntan30°n2=6n(sin30°n+tan30°n)，则π=3n(sin30°n +tan30°n).故选：A.4．【2018年北京理科07】在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2＝0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】解：由题意d=√1+m2=|√m2+1sin(θ+α)−2|√m+1，tanα=1m=y x，∴当sin（θ+α）＝﹣1时，d max＝12√m+1≤3．∴d的最大值为3．故选：C．5．【2016年北京理科07】将函数y＝sin（2x−π3）图象上的点P（π4，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（）A．t=12，s的最小值为π6B．t=√32，s的最小值为π6C．t=12，s的最小值为π3D．t=√32，s的最小值为π3【答案】解：将x=π4代入得：t＝sinπ6=12，将函数y＝sin（2x−π3）图象上的点P向左平移s个单位，得到P ′（π4−s ，12）点，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上， 则sin （π2−2s ）＝cos2s =12，则2s =±π3+2k π，k ∈Z ， 则s =±π6+k π，k ∈Z ，由s ＞0得：当k ＝0时，s 的最小值为π6，故选：A ．6．【2022年北京卷13】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________． 【答案】 1 −√2 【解析】∵f(π3)=√32A −√32=0，∴A =1∴f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sin π4=−√2故答案为：1，−√27．【2020年北京卷12】若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 【答案】π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）【解析】因为f (x )=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin (x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.故答案为：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.8．【2019年北京理科09】函数f （x ）＝sin 22x 的最小正周期是 ． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2（2x ），∴f （x ）=−12cos(4x)+12， ∴f （x ）的周期T =π2， 故答案为：π2．9．【2018年北京理科11】设函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ．【答案】解：函数f （x ）＝cos （ωx −π6）（ω＞0），若f （x ）≤f （π4）对任意的实数x 都成立，可得：ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ，解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω＞0 则ω的最小值为：23． 故答案为：23．10．【2017年北京理科12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sin α=13，则cos （α﹣β）＝ ．【答案】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β=13，cos α＝﹣cos β，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79方法二：∵sin α=13， 当α在第一象限时，cos α=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79 ：∵sin α=13，当α在第二象限时，cos α=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sin β＝sin α=13，cos β＝﹣cos α=2√23，∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−7911．【2015年北京理科12】在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2A sinC= ．【答案】解：∵△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴cos C =16+25−362×4×5=18，cos A =25+36−162×5×6=34∴sin C =3√78，sin A =√74， ∴sin2A sinC=2×√74×343√78=1．故答案为：1．12．【2014年北京理科14】设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f （2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．【答案】解：由f （π2）＝f （2π3），可知函数f （x ）的一条对称轴为x =π2+2π32=7π12， 则x =π2离最近对称轴距离为7π12−π2=π12．又f （π2）＝﹣f （π6），则f （x ）有对称中心（π3，0）， 由于f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，则π2−π6≤12T ⇒T ≥2π3，从而7π12−π3=T4⇒T ＝π．故答案为：π．13．【2022年北京卷16】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】(1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.14．【2021年北京16】已知在△ABC 中，c =2bcosB ，C =2π3．（1）求B 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为SΔABC=3√34；【答案】（1）π6；（2）答案不唯一，具体见解析．（1）∵c=2bcosB，则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB，∴sin2B=sin2π3=√32，∵C=2π3，∴B∈(0,π3)，2B∈(0,2π3)，∴2B=π3，解得B=π6；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得cb =sinCsinB=√3212=√3，与c=√2b矛盾，故这样的△ABC不存在；若选择②：由（1）可得A=π6，设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得a=b=2Rsinπ6=R，c=2Rsin2π3=√3R，则周长a+b+c=2R+√3R=4+2√3，解得R=2，则a=2,c=2√3，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√(2√3)2+12−2×2√3×1×cosπ6=√7；若选择③：由（1）可得A=π6，即a=b，则S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：√b2+(a2)2−2×b×a2×cos2π3=√3+34+√3×√32=√212.15．【2020年北京卷17】在△ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）sinC和△ABC的面积．条件①：c=7,cosA=−17；条件②：cosA=18,cosB=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC =√32, S =6√3；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC =√74, S =15√74.【解析】选择条件①（Ⅰ）∵c =7,cosA =−17，a +b =11∵a 2=b 2+c 2−2bccosA ∴a 2=(11−a)2+72−2(11−a)⋅7⋅(−17)∴a =8（Ⅱ）∵cosA =−17，A ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =4√37 由正弦定理得：asinA =csinC ∴4√37=7sinC ∴sinC =√32S =12basinC =12(11−8)×8×√32=6√3选择条件②（Ⅰ）∵cosA =18,cosB =916，A,B ∈(0,π)∴sinA =√1−cos 2A =3√78,sinB =√1−cos 2B =5√716由正弦定理得：asinA =bsinB ∴3√78=5√716∴a =6（Ⅱ）sinC =sin(A +B)=sinAcosB +sinBcosA =3√78×916+5√716×18=√74S =12basinC =12(11−6)×6×√74=15√74.16．【2019年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值． 【答案】解：（Ⅰ）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：c sinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C=√32×1114−(−12)×5√314=4√37．17．【2018年北京理科15】在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cos B=−17，∴sin B=√1−cos2B=√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得asinA =bsinB得sin A=asinBb=7×4√378=√32，则A=π3．（Ⅱ）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即64＝49+c2+2×7×c×1 7，即c2+2c﹣15＝0，得（c﹣3）（c+5）＝0，得c＝3或c＝﹣5（舍），则AC边上的高h＝c sin A＝3×√32=3√32．18．【2017年北京理科15】在△ABC中，∠A＝60°，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【答案】解：（1）∠A＝60°，c=37a，由正弦定理可得sin C=37sin A=37×√32=3√314，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C=13 14，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C=√32×1314+12×3√314=4√37，∴S△ABC=12ac sin B=12×7×3×4√37=6√3．19．【2016年北京理科15】在△ABC中，a2+c2＝b2+√2ac．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）求√2cos A +cos C 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，a 2+c 2＝b 2+√2ac ． ∴a 2+c 2﹣b 2=√2ac ．∴cos B =a 2+c 2−b 22ac =√2ac 2ac =√22，∴B =π4（Ⅱ）由（I ）得：C =3π4−A ， ∴√2cos A +cos C =√2cos A +cos （3π4−A ）=√2cos A −√22cos A +√22sin A=√22cos A +√22sin A＝sin （A +π4）． ∵A ∈（0，3π4），∴A +π4∈（π4，π），故当A +π4=π2时，sin （A +π4）取最大值1， 即√2cos A +cos C 的最大值为1．20．【2015年北京理科15】已知函数f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2．（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=√2sin x2cos x2−√2sin 2x2=√22sin x −√22（1﹣cos x ） ＝sin x cos π4+cos x sin π4−√22＝sin （x +π4）−√22，则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 −3π4≤x +π4≤π4，即有﹣1≤sin(x +π4)≤√22，则当x =−3π4时，sin （x +π4）取得最小值﹣1， 则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1−√22．21．【2014年北京理科15】如图，在△ABC 中，∠B =π3，AB ＝8，点D 在边BC 上，且CD ＝2，cos ∠ADC =17． （1）求sin ∠BAD ； （2）求BD ，AC 的长．【答案】解：（1）在△ABC 中，∵cos ∠ADC =17，∴sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =√1−(17)2=√4849=4√37， 则sin ∠BAD ＝sin （∠ADC ﹣∠B ）＝sin ∠ADC •cos B ﹣cos ∠ADC •sin B =4√37×12−17×√32=3√314．（2）在△ABD 中，由正弦定理得BD =AB⋅sin∠BAD sin∠ADB=8×3√3144√37=3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos B ＝82+52﹣2×8×5×12=49， 即AC ＝7．22．【2014年北京理科18】已知函数f （x ）＝x cos x ﹣sin x ，x ∈[0，π2]（1）求证：f （x ）≤0； （2）若a ＜sinxx ＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 【答案】解：（1）由f （x ）＝x cos x ﹣sin x 得 f ′（x ）＝cos x ﹣x sin x ﹣cos x ＝﹣x sin x ， 此在区间∈（0，π2）上f ′（x ）＝﹣x sin x ＜0，所以f （x ）在区间∈[0，π2]上单调递减，从而f （x ）≤f （0）＝0． （2）当x ＞0时，“sinx x＞a ”等价于“sin x ﹣ax ＞0”，“sinx x＜b ”等价于“sin x ﹣bx ＜0”令g （x ）＝sin x ﹣cx ，则g ′（x ）＝cos x ﹣c ， 当c ≤0时，g （x ）＞0对x ∈（0，π2）上恒成立，当c ≥1时，因为对任意x ∈（0，π2），g ′（x ）＝cos x ﹣c ＜0，所以g （x ）在区间[0，π2]上单调递减，从而，g （x ）＜g （0）＝0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当0＜c ＜1时，存在唯一的x 0∈（0，π2）使得g ′（x 0）＝cos x 0﹣c ＝0，g （x ）与g ′（x ）在区间（0，π2）上的情况如下：x （0，x 0） x 0（x 0，π2）g ′（x ） + ﹣ g （x ）↑↓因为g （x ）在区间（0，x 0）上是增函数，所以g （x 0）＞g （0）＝0进一步g （x ）＞0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当且仅当g(π2)=1−π2c ≥0即0＜c ≤2π综上所述当且仅当c ≤2π时，g （x ）＞0对任意x ∈（0，π2）恒成立，当且仅当c ≥1时，g （x ）＜0对任意x ∈（0，π2）恒成立，所以若a ＜sinxx ＜b 对x ∈（0，π2）上恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为123．【2013年北京理科15】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2√6，∠B ＝2∠A ． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【答案】解：（Ⅰ）由条件在△ABC 中，a ＝3，b =2√6，∠B ＝2∠A ， 利用正弦定理可得 a sinA=b sinB，即3sinA=2√6sin2A =2√62sinAcosA． 解得cos A =√63．（Ⅱ）由余弦定理可得 a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ，即 9=(2√6)2+c 2﹣2×2√6×c ×√63， 即 c 2﹣8c +15＝0．解方程求得 c ＝5，或 c ＝3．当c ＝3时，此时a ＝c ＝3，根据∠B ＝2∠A ，可得 B ＝90°，A ＝C ＝45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2＝b 2，故舍去．当c ＝5时，求得cos B =a 2+c 2−b 22ac =13，cos A =b 2+c 2−a 22bc =√63，∴cos2A ＝2cos 2A ﹣1=13=cos B ，∴B ＝2A ，满足条件． 综上，c ＝5．1．函数f (x )=cos (ωx −π3)(ω>0)的图像关于直线x =π2对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12 C ．23D ．1【答案】C【解析】f(x)=cos(ωx −π3)(ω>0)对称轴为：ωx −π3=kπ⇒π2ω−π3=kπ⇒ω=2k +23(ω>0)(k ∈Z)当k =0时，ω取值为23. 故选:C.2．在△ABC 中，∠B =45°,c =4,只需添加一个条件，即可使△ABC 存在且唯一.条件：①a =3√2； ②b =2√5；③cosC =−45中，所有可以选择的条件的序号为（ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③【答案】B 【解析】对于①，c =4,∠B =45°,a =3√2，所以，b 2=a 2+c 2−2accosB =10，得b =√10，所以，此时，△ABC 存在且唯一，符合题意；对于②，c =4,∠B =45°,b =2√5，所以，csinC =bsinB ，解得sinC =csinB b=√105，因为c <b ，所以，∠C <∠B ，所以∠C 为锐角，此时，△ABC 存在且唯一，符合题意；对于③，c =4,∠B =45°,cosC =−45，所以，π2<C <π，得sinC =35，进而csinC =bsinB ， 可得b =csinB sinC=2√235=10√23，明显可见，c=123<10√23=b ，与∠C >∠B 矛盾，故③不符题意.故可以选择的条件序号为：①② 故选：B模拟好题3．已知cosα=35,α是第一象限角，且角α,β的终边关于y轴对称，则tanβ=()A．34B．−34C．43D．−43【答案】D 【解析】∵cosα=35,α是第一象限角，∴sinα=√1−cos2α=45，tanα=sinαcosα=43，∵角α,β的终边关于y轴对称，∴tanβ=−tanα=−43．故选：D．4．将函数y=cos(2x+π2)的图象向右平移π2个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A．y=sin2x B．y=−sin2x C．y=cos2x D．y=−cos2x 【答案】A【解析】将函数y=cos(2x+π2)的图象向右平移π2个单位长度后，所得图象对应的函数为y=cos[2(x−π2)+π2]=cos(2x−π2)=sin2x.故选：A.5．半径为3的圆的边沿有一点A，半径为4的圆的边沿有一点B，A、B两点重合后，小圆沿着大圆的边沿滚动，A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】设A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为n，则n×2π×3=6nπ=k×2π×4=8kπ，其中k、n∈N∗，所以，n=4k3，则当k=3时，n=4.故A、B两点再次重合小圆滚动的圈数为4.故选：D.6．已知点P(cosθ,sinθ)在直线ax−y+3=0上．则当θ变化时，实数a的范围为（）A．[−2√2,2√2]B．(−∞,−2√2]∪[2√2,+∞)C．[−3,3]D．(−∞,−3]∪[3,+∞)【答案】B【解析】∵点P(cosθ,sinθ)在直线ax −y +3=0上， ∴acosθ−sinθ+3=0，∴sinθ−acosθ=√1+a 2sin (θ−φ)=3，其中tanφ=a ， ∵sin (θ−φ)≤1， ∴√1+a 2≥3，即a 2≥8， 解得a ≤−2√2或a ≥2√2.故选：B.7．已知函数f(x)= cos2x +cosx ，且x ∈[0,2π]，则f(x)的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】由cos2x +cosx =2cos 2x +cosx −1=(cosx +1)(2cosx −1)=0 可得cosx =−1或cosx =12，又x ∈[0,2π]，则x =π，或x =π3，或x =5π3 则f(x)的零点个数为3 故选：C8．已知函数f(x)=√3sin2x −2cos 2x +1，将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数y =g(x)的图象，若g (x 1)⋅g (x 2)=−4，则|x 1−x 2|的值不可能为（ ） A ．5π4B ．3π4C ．π2D ．π4【答案】C 【解析】∵f (x )=√3sin2x −cos2x =2sin (2x −π6)，∴g (x )=2sin (4x −π6)， ∴g (x )的最小正周期T =2π4=π2，∵g (x )max =2，g (x )min =−2，又g (x 1)⋅g (x 2)=−4， 不妨设g (x 1)=2,g (x 2)=−2∴x 1与x 2分别对应g (x )的最大值点和最小值点， ∴|x 1−x 2|=T2+kT =π4+kπ2(k ∈Z )；当k =2时，|x 1−x 2|=5π4；当k =1时，|x 1−x 2|=3π4；当k =0时，|x 1−x 2|=π4 故选：C9．已知函数f (x )=sin (2x +φ)(0<φ<π2)，若把f (x )的图像向左平移π12个单位后为偶函数，则φ=（ ） A ．−π6 B ．−π3C ．5π12D ．π3【答案】D 【解析】由题意得：g (x )=f (x +π12)=sin (2x +π6+φ).∵g (x )为偶函数，∴π6+φ=π2+kπ(k ∈Z )，解得：φ=π3+kπ(k ∈Z ). ∵0<φ<π2， ∴φ=π3. 故选：D .10．已知△ABC ，则“sin A +cos A <1”是“△ABC 是钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】解：△ABC 中，0<A <π，∵sinA +cosA =√2sin(A +π4)<1，∴sin(A +π4)<√22，∵ π4<A +π4<π+π4，∴A +π4>3π4，∴A >π2，所以△ABC 是钝角三角形，充分性成立； 若△ABC 是钝角三角形，角A 不一定是钝角，反例：A =π6,此时sin A +cos A =sin π6+cos π6>1，必要性不成立； 故选：A.11．在△ABC 中，a =2，b =√3，A =2B ，则cosB =______．【答案】√33【解析】 解：在△ABC 中，由正弦定理可得asinA =bsinB ， 即2sin2B=√3sinB ，即22sinBcosB =√3sinB ， 所以cosB =√33.故答案为：√33.12．若sinαcosβ−cosαsinβ=cos60∘，请写出一组符合题意的α､β___________.【答案】α=45°、β=15°（答案不唯一）【解析】解：因为sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)，cos60∘=cos(90∘−30∘)=sin30∘，所以sin(α−β)=sin30∘，所以α−β=30°+k×360°，k∈Z或α−β=150°+k×360°，k∈Z，不妨令α=45°、β=15°；故答案为：α=45°、β=15°（答案不唯一）13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使cosAcosB =ba成立的一组A，B的值是________．【答案】A=B=π6（答案不唯一）【解析】由正弦定理得：a=2RsinA,b=2RsinB，∵cosAcosB =ba，∴cosAcosB=sinBsinA，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A∈(0,π),B∈(0,π)∴A=B=π6（答案不唯一）.故答案为：A=B=π6（答案不唯一）.14．若函数y=sin(2ωx+π3)的图像向右平移π6个单位长度后与函数y=cos(2ωx+π4)的图象重合，则ω的一个可能的值为___________；【答案】−54（答案不唯一）【解析】解：将函数y=sin(2ωx+π3)的图像向右平移π6个单位长度后，得到函数y=sin[2ω(x−π6)+π3]=sin(2ωx−πω3+π3)=sin[(2ωx−πω3−π6)+π2]=cos(2ωx−πω3−π6)的图像，即y=cos(2ωx−πω3−π6)与函数y=cos(2ωx+π4)的图像重合，即−πω3−π6=π4+2kπ，k ∈Z ，所以ω=−6k −54，k ∈Z ，故答案为：−54（答案不唯一）．15．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0)与直线y =12的交点中，距离最近的两点间距离为π3，那么此函数的周期是___________. 【答案】kπ且k ∈Z 【解析】根据正弦型函数的周期性，当sin(ωx +φ)=12，则： 若ωx 1+φ=π6，最近的另一个值为ωx 2+φ=5π6，所以ω(x 2−x 1)=2π3，而x 2−x 1=π3，可得ω=2. 故此函数的最小正周期是2πω=π，则函数的周期为kπ且k ∈Z . 故答案为：kπ且k ∈Z16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知acosB =√3bsinA . (1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积. 条件①：a =3；条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；条件④：c =2. 【答案】(1)B =π6 (2)答案不唯一，见解析 【解析】(1)解：由acosB =√3bsinA 及正弦定理可得sinAcosB =√3sinAsinB ，∵A 、B ∈(0,π)，则sinA >0，cosB =√3sinB >0，∴tanB =√33，故B =π6.(2)解：若选①②，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，即c 2−3√3c +1=0， 解得c =3√3±√232，此时，△ABC 不唯一；若选①③，已知a =3，B =π6，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26，由正弦定理b sinB =asinA 可得b =asinB sinA=9(√15+2)11， 所以，S △ABC =12absinC =12×3×9(√15+2)11×√53=45√3+18√522；若选①④，已知a =3，B =π6，c =2，此时△ABC 唯一，S △ABC =12acsinB =32；若选②③，已知b =2√2，B =π6，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26， 由正弦定理bsinB =csinC 可得c =bsinC sinB=4√103， 所以，S △ABC =12bcsinA =20√3−8√59；若选②④，已知b =2√2，B =π6，c =2，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得a 2−2√3a −4=0， ∵a >0，解得a =√3+√7，此时，△ABC 唯一，S △ABC =12acsinB =√3+√72；若选③④，已知B =π6，c =2，cosC =−23∈(−√32,−12)，且C ∈(0,π)，则C ∈(2π3,5π6)，所以，B +C ∈(5π6,π)，则△ABC 唯一， sinC =√1−cos 2C =√53，sinA =sin (C +B )=sinCcos π6+cosCsin π6=√15−26， 由正弦定理bsinB =csinC 可得b =csinB sinC=3√55，S △ABC =12bcsinA =5√3−2√510. 17．在 △ABC 中，c =√7，且 △ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中的三个，请选择三个条件并解答下列问题: (1)求边 b ; (2)求 S △ABC .条件① a +b =5; 条件②sin B =√217;条件③bcosB =4√77; 条件④cos A =√714.【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【解析】(1)选①②③，因为sin B =√217，bcosB =4√77，所以cosB =√1−sin 2B =4√77，b =1，选②③④，因为sin B =√217，bcosB =4√77， 所以cosB =√1−sin 2B =4√77，b =1，选①②④，因为cos A =√714可得sinA =√1−cos 2A =3√2114， 由正弦定理可得asinA =bsinB ，所以a ×√217=b ×3√2114， 所以a =32b ，又a +b =5，所以b =2， 选①③④，因为bcosB =4√77，又cosB =a2+c 2−b 22ac所以b(a 2+c 2−b 2)=2ac 4√77，又c =√7，所以b(a2+7−b 2)=8a ，又a +b =5，所以b =2,a =3(2)选①②③，由(1) b =1，又a +b =5，所以a =4， 所以S △ABC =12acsinB =12×4×√7×√217=2√3，选②③④，由cos A =√714可得sinA =√1−cos 2A =3√2114， 由正弦定理可得asinA =bsinB ，又b =1，sin B =√217， 所以a =32，所以S △ABC =12acsinB =12×32×√7×√217=3√34， 选①②④，由(1)b =2，因为a +b =5， 所以a =3，所以S △ABC =12acsinB =12×3×√7×√217=3√32， 选①③④，由(1) b =2，因为a +b =5，所以a =3， 所以cosB =2√77，sinB =√1−cos 2B =√217，所以S △ABC =12acsinB =12×3×√7×√217=3√32， 18．在△ABC 中，√3sin(B +π6)=−cos(B +π6). (1)求B 的值；(2)给出以下三个条件：①a 2−b 2+c 2+3c =0；②a =√3，b =1；③S △ABC =15√34，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i ）求sinA 的值；（ii ）求∠ABC 的角平分线BD 的长. 【答案】(1)B =2π3；(2)（i ）sinA =3√314，（ii ）BD =158.【解析】(1)由题设√3sin(B +π6)+cos(B +π6)=2sin(B +π3)=0，而π3<B +π3<4π3，所以B +π3=π，故B =2π3.(2)若①②正确，则c 2+3c +2=(c +1)(c +2)=0，得c =−1或c =−2， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则S △ABC =12absinC =15√34，可得sinC =152>1，即②为错误条件；综上，正确条件为①③，（i ）由2accosB =a 2+c 2−b 2，则c(3−a)=0，即a =3， 又S △ABC =12acsinB =15√34，可得c =5，所以9−b 2+25+15=0，可得b =7，则asinA =bsinB =√3，故sinA =3√314， （ii ）由角平分线的性质知：AD =58×7=358且∠ABD =π3， 在△ABD 中BD sinA =AD sin∠ABD ，则BD =158.19．△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知acosB =√3bsinA . (1)求角B 的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积. 条件①：a =3；条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；④c =2 【答案】(1)B =π6(2)答案见解析【解析】(1)由acosB =√3bsinA 和正弦定理得sinAcosB =√3sinBsinA ，因为0<A <π，所以sinA ≠0，所以cosB =√3sinB >0，tanB =√33，因为0<B <π，所以B =π6. (2)若选条件①：a =3；条件②：b =2√2，由（1）B =π6， 由余弦定理得(2√2)2=32+c 2−2×3c ×√32，解得c =3√3±√232， 因为答案不唯一，所以舍去.若选条件②：b =2√2；条件③：cosC =−23；由（1）B =π6， 因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，由正弦定理得√53=2√212，解得c =4√103，由余弦定理得(4√103)2=8+a 2+2×2√2a ×23，解得a =2√30−4√23， 则△ABC 的面积为S =12absinC =20√3−8√59； 若选条件①：a =3；条件③：cosC =−23；由（1）B =π6， 因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，所以sinA =sin (π−B −C )=sinBcosC +cosBsinC =12×(−23)+√32×√53=√15−26， 由正弦定理得√53=√15−26，解得c =30√3+12√511，则△ABC 的面积为S =12absinC =45√3+18√522. 若选条件①：a =3； ④c =2，由（1）B =π6， 则△ABC 的面积为S =12acsinB =32.若选条件②：b =2√2；④c =2，由（1）B =π6， 由余弦定理得(2√2)2=4+a 2−2×2a ×√32，解得a =√3+√7，则△ABC 的面积为S =12acsinB =12×2×(√3+√7)×12=√3+√72.若选条件③：cosC =−23；④c =2，由（1）B =π6，因为cosC =−23，0<C <π，所以sinC =√53，所以sinA =sin (π−B −C )=sinBcosC +cosBsinC =12×(−23)+√32×√53=√15−26， 由正弦定理得√53=√15−26，解得a =5√3−2√55， 则△ABC 的面积为S =12acsinB =12×2×5√3−2√55×12=5√3−2√510. 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(a −2c )cosB +bcosA =0． (1)求B ；(2)从以下条件中选择两个，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． ①若a =5；②b =3；③C =2π3；④△ABC 的周长为9．【答案】(1)B =π3； (2)选①④，面积为9√34．【解析】(1)因为(a −2c )cosB +bcosA =0，由正弦定理得(sinA −2sinC)cosB +sinBcosA =0， 2sinCcosB =sinAcosB +sinBcosA =sin(A +B)=sinC ， 三角形中sinC ≠0，所以cosB =12，B ∈(0,π)，所以B =π3； (2)因为B =π3，所以0<C <2π3，因此条件③不能确定三角形；若已知①②，则由正弦定理得sinA =asinB b=5sin π33=5√36>1，无解；若已知①④，即a =5，a +b +c =9，则b +c =4<a ，与三角形的性质矛盾，三角形不存在． 所以只有条件②④能确定三角形．b =3，a +b +c =9，则a +c =6，由（1）B =π3，b sinB=a sinA=c sinC=a+c sinA+sinC，即3sin π3=6sinA+sinC ，所以sinA +sinC =√3，sinA +sinC =sinA +sin(2π3−A)=sinA +sin 2π3cosA −cos2π3sinA =32sinA +√32cosA =√3sin(A +π6)=√3，sin(A +π6)=1，又A ∈(0,2π3)，所以A =π3，从而C =π3， △ABC 为等边三角形，唯一确定，面积为S =12×32×sin π3=9√34．。

y1 y2 (3 x 2) (2 x 1) x 1 ，构造函数 y x 1 .
∵ y x 1 在 2 x 0 上随着 x 的增大而增大， ∴ 当 x 0 时 ， 函 数 有 最 大 值 1， 当 x 2 时 ， 函 数 有 最 小 值 -1， 即
公共点，则称点 P 为关于图形 W 的“阴影点” ． （1）如图 1，已知点 A 1， 3 ， B 11 ， ，连接 AB ①在 P 1 1, 4 ， P 2 1, 2 ， P 3 2,3 ， P 4 2,1 这四个点中，关于线段 AB 的“阳光点”是； ②线段 A1 B1 P AB ； A1 B1 上的所有点都是关于线段 AB 的“阴影点” ，且当线段 A1 B1 向上或 向下平移时，都会有 A1 B1 上的点成为关于线段 AB 的“阳光点” ．若 A1 B1 的长为 4，且点 A1 在 B1 的上方，则点 A1 的坐标为___________________； （2）如图 2，已知点 C 1， 3 ，⊙C 与 y 轴相切于点 D ．若⊙E 的半径为
1 y 1 .
∴ 1 y1 y2 1 .----------3 分 即函数 y 3 x 2 与 y 2 x 1 在 2 x 0 上是“相邻函数”. （2） y1 y2 ( x 2 x) ( x a ) x 2 2 x a ，构造函数 y x 2 x a .
2
∵ y x 2 x a ( x 1) ( a 1) ,
2 2
∴顶点坐标为 (1, a 1) . 又∵抛物线 y x 2 x a 的开口向上，
2
∴当 x 1 时，函数有最小值 a 1 ，当 x 0 或 x 2 时，函数有最大值 a ，即