双曲线及其标准方程PPT优秀课件4

A．k<2 或 k>5
B．2<k<5
C．k>5 或－2<k<2
D．k>5 或 k>2
思维突破：根据双曲线的标准方程可知，需要(|k|－2)·(4－
k)<0，联立不等式组求得 k 的范围． 答案：C
焦点坐标为(_0_，__c_)_，__(0_，__－__c_)，a，b，c 的关系是_c_2＝__a_2_＋__b_2___．
【要点1】如何理解双曲线的定义？ 【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用 “三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这一 条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点 P 的轨迹为 双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中 应为“差的绝对值”． ①当||PF1|－|PF2||＝0 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平 分线；
Байду номын сангаас
2．双曲线的标准方程． (1)焦点在 x 轴上，标准方程为_____ax_22_－__by_22＝__1__________，
焦点坐标为__(c_,_0_)，__(_－__c_,0_)__，a，b，c 的关系是__c_2＝__a_2_＋__b_2__． (2)焦点在 y 轴上，标准方程为______ay_22_－__bx_22＝__1___________，
答案：B
题型2 求双曲线的标准方程 例2：已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(－13,0)，F2(13,0)，
双曲线上一点 P 到 F1，F2 的距离的差的绝对值等于 10，求双曲 线的标准方程．
思维突破：求解双曲线的标准方程，只要确定焦点所在坐标 轴及 a，b的值即可，通常由定义可以确定2a，根据c2＝a2 ＋b2， 基本量 a，b，c 中知道其中两个，可求出第三个．

王小宝感到了极度的不安全感，想象 着本来 可以挥 舞一直 胳膊般 粗的齐 头长棍 挥舞来 着，可 是这里 竟然有 一种诡 异的禁 制，手 脚没有 一点力 量，或 者说脑 海里有 一种感 觉让你 连抬起 拳头的 欲望都 没有。
全身有一种奇幻的陷落的感觉，有一 种本源 之力难 熬的从 身体的 细微末 节凝聚 ，虽然 力量精 微，依 然可以 触碰到 其流动 的轨迹 。
焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，求△ PF1F2的面积．
解：由已知得 2a＝2，又由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2，
∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又|F1F2|＝2c＝2 13， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝62＋2×462×－452＝0，
设双曲线的标准方程为
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)， a2＋b2＝9，
所以1a62 －1b52 ＝1， a2＝4， b2＝5. 所以所求的双曲线的标准方程为y42－x52＝1.
[例2] 已知曲线C：xt22＋t2－y2 1＝1(t≠0，t＝±1)． (1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线； (2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点． [思路点拨] 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参 数A、B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A、B 进行讨论．
法二：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得
m＋n＝1， 4m＋25n＝1，
解得mn＝＝－87，17.
所以所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法： (1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹 满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：

F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0， a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0， 但a不一定大于b，
c2=a2+b2
讨论:
1）当2a 等于|F1F2|时，动点M的轨迹是 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射线．
2）当2a大于|F1F2|时，动点M的轨迹 不存在
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(1).(-5,0)(5,0)； (2).(0,-5)(0,5)
2、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上 一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则
(1) a=___3____ , c =___5____ , b =___4____
(2) 双曲线的标准方程为______________
设 c2-a2＝b2 得 b2x2 a2 y2 a2b2
双即曲：a线x22 上 by每22 一 1点(a到 0两,b焦 点0) 距双离曲之线差的的标绝准对方值程为2a．
哪个系数是正的，它对应的字母
（x或y）就是焦点所在轴．
如ax22 果 by焦22 点 1在(a y轴0,上b ，0)则双曲 线表的示焦标点准在方x轴程上为的：双曲线
y
M (x ,y) F2(0,c)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
O
x
F1
(0,-c)
其表焦示点焦坐点在标y为轴(上0,的-c双)，曲(0线,c) 其中：c2 a2 + b2 ．
问题:对于一个具体的双曲线方程，怎么判
断它的焦点在哪条轴上呢？
课堂巩固
1、写出以下双曲线的焦点坐标
（1）x2 y2 1, (2) x2 y2 1

(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面 积公式解题．
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(1)D [在△ABC 中，sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|＝21R0
(其中 R 为△ABC 外接圆的半径)．
|BC|－|AC|
∴sin
A－sin sin C
B＝
2R 10
＝|BC|－ 10|AC|.
(2)点 M 在双曲线的右支上．
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2．双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1 (a＞0，b＞0)
焦点
a，b，c 的关系
F1_(－__c_,_0_) ，F2__(c_,0_)__ F1_(0_,_－__c)__，F2(_0_,_c)___ c2＝__a_2＋__b_2____
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(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴9A＋21265B＝1， 2956A＋25B＝1，
解得A＝－116， B＝19.
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
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1．求双曲线标准方程的步骤 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下， 确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式． (2)定量：是指确定 a2，b2 的数值，常由条件列方程组求解．
＝1
上，则sin
A－sin sin C
B＝(
)
A．35
B．±35
C．－45
D．±45
(2)已知 F1，F2 分别是双曲线x92－1y62 ＝1 的左、右焦点，若 P 是
双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2 的面积．