高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义

精心整理第三章 空间向量与立体几何1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)(3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。

4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5.空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6.空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O ，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。

第3章 空间向量与立体几何空间向量的根本概念及运算【例的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________．[解析] 容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案] ③④1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的根本要求，解题时可结合和所求，根据图形，利用向量运算法那么表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．1.如图，ABCD ­A ′B ′C ′D ′是平行六面体．的34设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，那么α＋β＋γ＝________.32[连接BD ，那么M 为BD 的中点， MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量的坐标运算【例2】 (1)a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝2x －2a ，那么x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥c . ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值． (1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)[解] ①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.熟记空间向量的坐标运算公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，1．加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． 2．数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 3．向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. 4．向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，那么|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进展化简再运算．2．在空间直角坐标系中，点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，那么△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？假设存在，确定N 的位置；假设不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． [解] 以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如下图，那么B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，那么MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .利用空间向量证明空间中的位置关系1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． 3．线面平行：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示． 4．线面垂直：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行； (2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．3．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在BB 1，DD 1上，且AM ⊥A 1B ，AN ⊥A 1D .(1)求证：A 1C ⊥平面AMN .(2)当AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3时，问在线段AA 1上是否存在一点P 使得C 1P ∥平面AMN ，假设存在，试确定P 的位置．[解] (1)证明：因为CB ⊥平面AA 1B 1B ，AM ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CB ⊥AM ，又因为AM ⊥A 1B ，A 1B ∩CB ＝B ， 所以AM ⊥平面A 1BC ，所以A 1C ⊥AM ，同理可证A 1C ⊥AN ， 又AM ∩AN ＝A ，所以A 1C ⊥平面AMN .(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，那么C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0，解得t ＝13.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .利用空间向量求空间角【例4】 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′­BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2) (1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线〞法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．[解] (1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD . 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H . 因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD .所以∠A ′HO 为二面角A ′­CD ­B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302.所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′­CD ­B 的平面角的余弦值为155.用向量法求空间角的注意点1．异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．2．直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．3．二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，那么平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．4．在如下图的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC . (2)EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F ­BC ­A 的余弦值． [解] (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，那么OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC .以O 为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77，所以二面角F ­BC ­A 的余弦值为77.。

上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此
EG OG OE kOC kOA=k AC
k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
（3）在正方体 ABCD - A中1B，1C1必D1有
. AC = A1C1
（4）若空间向量 m,n满,p足
，m = n,n = p
则 m . p
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C）
A.1 B.2 C.3 D.4
数学 选修2-1
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数学 选修2-1
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
数学 选修2-1
证明加法结合律: O
a
A
C

必修2-1 第三章 空间向量与立体几何 知识点详解3.1 空间向量及其运算1．空间向量的概念空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．2．空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即；②结合律，即；③分配律，即及（其中均为实数）．3．空间向量的基本定理（１）共线向量定理：对空间向量的充要条件是存在实数，使．（２）共面向量定理：如果空间向量不共线，则向量c 与向量共面的充要条件是，存在惟一的一对实数，使．（３）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组x ，y ，z ，使．其中是空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p 都可以用一个基底惟一线性表示（线性组合）．4．两个向量的数量积两个向量的数量积是，数量积有如下性质： ①（e 为单位向量）；②； ③；④．数量积运算满足运算律：①交换律，即；②与数乘的结合律，即；③分配律，即． a +b =b+a (a ()()+=+a +b c a b+c ()λμλμ+a =a +a ()λλλ=+a +b a b λμ，，a b (0)≠，b a b ∥λλa =b ，a b a,b x y ，c =x y a +b x y z p =a +b +c {}，，a b c {}，，a b c cos <>，a b =a b a b cos <>，a e =a a e 0⇔a b a b =⊥2a a =a ab a b ≤a b =b a ()()λλa b =a b ()a +bc =a c +b c5．空间直角坐标系若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用表示；在空间选定一点O 和一个单位正交基底，可建立一个空间直角坐标系，作空间直角坐标系时，一般使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）．6．空间直角坐标系中的坐标运算给定空间直角坐标系O －xyz 和向量a ，存在惟一的有序实数组使，则叫作向量a 在空间的坐标，记作．对空间任一点A ，存在惟一的，点Ａ的坐标，记作分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标．7．空间向量的直角坐标运算律（1）若，则 ，，， ，．（2）若，则．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．8．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a ，在空间固定一个基点O ，作向量，则点A 在空间的位置被所惟一确定，称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量，则此向量方程称为动点P 对应直线l 的参数方程，向量a 称为直线l 的方向向量．3.2 立体几何中的向量方法1、直线、平面的法向量及向量在平面内的射影如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面（记作），向量a 叫做平面的法向量．法向量有两个相反的方向．法{}，，i j k {}，，i j k O xyz -O xyz -123a a a a =i +j +k 123()a a a ，，123()a a a ，，a =OA x y z =i +j +k ()A x y z x y z ，，，，，123123()()a a a b b b ，，，，，a =b =a +b 112233()a b a b a b =+++，，，-a b 112233()a b a b a b =---，，123()a a a λλλλ=，，a 112233()a b a b a b ，，a b =112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，a b ∥1122330a b a b a b ⇔++=a b ⊥111222()()A x y z B x y z ，，，，，212121()AB x x y y z z =---，，OA =a a a a AP t =a αααa ⊥α向量的具体应用方法，可以归结为：2．空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决（１）设a 、b 分别为直线的一个方向向量，那么； （２）设a 、b 分别为平面的一个法向量，那么； （３）设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为b ，那么．3．空间图形的平行关系包括直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究（１）设a 、b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a 、b ，那么．（２）直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来证明线面平行问题．（３）平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行．高.考-资.源-网4．在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角空间角主要有：①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；②线面角：直线AB 与平面所成角为，其中是平面的法向量；③面面角：二面角的大小为或，其中是两个半平面的法向量．斜线与平面所成角是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角（最小角定理）．与最小角定理联系密切的一个重要公式是，要注意其应用！5．立体几何中涉及的距离问题较多，如点与线的距离，点、线与面的距离，两异面直线的距离等，都是学习中的难点，若用向量来处理这类问题，则思路简单，解法固定 可利用实现距离与向量之间的转化．设e 是直线l 的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是，则有，由此可求点到线，点到面的距离问题．空间距离主要有：①点面距：设n 是平面的法向量，，则B 到的距离为；②线线距：设n 是两条异面直线的公垂线的向量，若A ，B分别是在上的任意一点，则的距离为；③线面距、面面距．与a b ，0a b ⇔⇔a b a b =⊥⊥αβ，0αβ⇔⇔⊥⊥a b a b =l α⇔⊥∥a b a b ⇔a b ∥∥αarcsinAB AB n n n αarccos m nm n arccosπ-m n m n ，m n 12cos cos cos θθθ=2AB AB AB =A B ''A B AB ''=e αA α∈αAB nn 12l l ，12l l ，12l l ，AB nn前面求法相同．。