高中数学公式大全

1 高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:UxAxCA,UxCAxA.AA

2 集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n 个；真子集有21n个；非空子集有21n个；非空的真子集有22n个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式2()(0)fxaxbxca;

(2) 顶点式2()()(0)hfxaakx;（当已知抛物线的顶点坐标(,)hk时，设为此式）

(3) 零点式12()()()(0)fxaxxxax；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为12(,0),(,0)xx时，设为此式）

（4）切线式：02()()(()),0xkxdfxaxa。（当已知抛物线与直线ykxd相切且切点的横坐标为0x时，设为此式）

4 真值表： 同真且真，同假或假

5

常见结论的否定形式;

原结论 反设词 原结论 反设词

是 不是 至少有一个 一个也没有

都是 不都是 至多有一个 至少有两个

大于 不大于 至少有n个 至多有（1n）个

小于 不小于 至多有n个 至少有（1n）个

对所有x，成立 存在某x，不成立 p或q p且q

对任何x，不成立 存在某x，成立 p且q p或q

6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题 互逆 逆命题

若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

互 互

互 为 为 互

否 否

逆 逆

否 否

否命题 逆否命题

若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、pq，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；

（2）、pq，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；

(3)、p ≠> p ，且qp，则P是q的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的1212,,xxDxx且，都有

12()()fxfx成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的1212,,xxDxx且，都有

12()()fxfx成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 2 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

复合函数的单调性：

函数 单调 单调性

内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓

外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑

复合函数 ↑ ↑ ↓ ↓

等价关系：

(1)设1212,,,xxabxx那么

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；

1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.

(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.

8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）

奇函数：

定义：在前提条件下，若有()()()()0fxfxfxfx或，

则f（x）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .

偶函数：

定义：在前提条件下，若有()()fxfx，则f（x）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；

奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）

(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

9函数的周期性：

定义：对函数f（x），若存在T0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；

（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2mn ；

(3)、1()()fxmfx，此时周期为2m 。

10常见函数的图像： 3 k<0k>0y=kx+boyx a<0a>0y=ax2+bx+coyx 011y=axoyx 011y=logaxoyx

11 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy 的图象关于直线2bax对称.

12 分数指数幂与根式的性质：

(1)mnmnaa（0,,amnN，且1n）.

（2）11mnmnmnaaa（0,,amnN，且1n）.

（3）()nnaa.

（4）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0||,0nnaaaaaa.

13 指数式与对数式的互化式: logbaNbaN(0,1,0)aaN.

指数性质：

(1)1、1ppaa ； （2）、01a（0a） ； (3)、()mnmnaa

(4)、(0,,)rsrsaaaarsQ ； (5)、mnmnaa ；

指数函数：

(1)、 (1)xyaa在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)xyaa在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）

对数性质：

(1)、 logloglog()aaaMNMN ；（2）、 logloglogaaaMMNN ；

(3)、 loglogmaabmb ；(4)、 loglogmnaanbbm ； (5)、 log10a

(6)、 log1aa ； (7)、 logabab

对数函数：

(1)、 log(1)ayxa

在定义域内是单调递增函数；

（2）、log(01)ayxa在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

(3)、 log0,(0,1),(1,)axaxax或

(4)、log0(0,1)(1,)axax则 或 (1,)(0,1)ax则 4 14 对数的换底公式 :logloglogmamNNa (0a,且1a,0m,且1m, 0N).

对数恒等式：logaNaN(0a,且1a, 0N).

推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a, 0N).

15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)log()loglogaaaMNMN; (2) logloglogaaaMMNN;

(3)loglog()naaMnMnR; (4) loglog(,)mnaanNNnmRm。

16 平均增长率的问题（负增长时0p）：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xyNp.

17 等差数列：

通项公式： （1） 1(1)naand ，其中1a为首项，d为公差，n为项数，na为末项。

（2）推广： ()nkaankd

（3）1(2)nnnaSSn （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和： （1）1()2nnnaaS ；其中1a为首项，n为项数，na为末项。

（2）1(1)2nnnSnad

（3）1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）

（4）12nnSaaa （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 mnpqaaaa ；

注：若,mnpaaa是的等差中项，则有2mnpaaan、m、p成等差。

（2）、若na、nb为等差数列，则nnab为等差数列。

（3）、na为等差数列，nS为其前n项和，则232,,mmmmmSSSSS也成等差数列。

（4）、,,0pqpqaqapa则 ；

（5） 1+2+3+…+n=2)1(nn

等比数列：

通项公式：（1） 1*11()nnnaaaqqnNq ，其中1a为首项，n为项数，q为公比。

（2）推广：nknkaaq 5 （3）1(2)nnnaSSn （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）1(2)nnnSSan （注：该公式对任意数列都适用）

（2）12nnSaaa （注：该公式对任意数列都适用）

（3）11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 mnpqaaaa ；

注：若,mnpaaa是的等比中项，则有 2mnpaaan、m、p成等比。

（2）、若na、nb为等比数列，则nnab为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

19三角不等式：

（1）若(0,)2x，则sintanxxx.

(2) 若(0,)2x，则1sincos2xx.

(3) |sin||cos|1xx.

20 同角三角函数的基本关系式 ：22sincos1，tan=cossin，

21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

22 和角与差角公式

sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;

tantantan()1tantan.

sincosab=22sin()ab