二次函数专题——求解析式

- 1 - 二次函数解析式的求法

二次函数是一种形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。要求二次函数的解析式，需要掌握以下几个步骤：

1. 求出a、b、c的值，这可以通过函数的已知点、导数或根的信息来确定。

2. 根据一般式y=ax+bx+c或顶点式y=a(x-h)+k，选择其中一种形式。

3. 将a、b、c的值代入选择的形式中，得到最终的解析式。

具体求法如下：

1. 已知点求解析式

如果已知二次函数通过两个点(x1,y1)和(x2,y2)，可以利用这两个点的坐标和函数的一般式来求解析式。

我们可以将两个点的坐标带入一般式中，得到以下两个方程：

y1=ax1+bx1+c

y2=ax2+bx2+c

将两个方程联立，消去c，得到：

a=(y2-y1)/(x2-x1)

b=(y1x2-y2x1)/(x2-x1)

将a、b的值带入一般式y=ax+bx+c中，得到最终的解析式。

2. 已知导数求解析式

二次函数的导数为y'=2ax+b，如果已知导数，可以通过求导数反推出a和b的值，然后代入一般式或顶点式中求解析式。 - 2 - 例如，当已知函数f(x)=2x+4x+1的导数为f'(x)=4x+4时，可以根据导数的定义得到a=2，b=4，然后代入一般式y=2x+4x+c中，用已知点的坐标求解c，得到最终的解析式。

3. 已知根求解析式

如果已知二次函数的两个根x1和x2，可以根据根的定义得到(x-x1)(x-x2)=0，将它展开得到x-(x1+x2)x+x1x2=0，然后用已知点的坐标求解a、b、c，最后代入一般式或顶点式中求解析式。

例如，当已知函数f(x)=x+2x-3的两个根为-3和1时，可以利用(x+3)(x-1)=0得到x+2x-3=0，根据二次函数的一般式得到a=1，b=2，c=-3，然后代入一般式y=x+2x-3中即可得到最终的解析式。

二次函数快速求解析式

二次函数是高中数学中一个重要的知识点，对于学生来说，掌握二次函数的求解方法是非常必要的。在学习二次函数时，我们需要掌握快速求解析式的方法，下面将详细介绍如何快速求解析式。

一、什么是二次函数？

二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中x为自变量，y为因变量。其中a、b、c为常数，且a不等于0。二次函数通常表示开口向上或开口向下的抛物线。

二、如何快速求解析式？

1.已知顶点坐标和另一点坐标

如果已知一个二次函数的顶点坐标和另一个点的坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k

（2）根据另一个点的坐标代入上式，并解出a

（3）将得到的a代入平移后的函数中即可得到原始函数

例如：已知y=ax²+bx+c经过点（1,-2），顶点坐标为（-1,3），则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+3

（2）代入已知点（1,-2）得到-2=a(1+1)²+3，解出a=-1/4

（3）将a=-1/4代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-1/4(x+1)²+3

2.已知两个点坐标和顶点坐标

如果已知一个二次函数的两个点坐标和顶点坐标，则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x-h)²+k

（2）根据另外两个点的坐标代入上式，并联立方程组解出a、h、k

（3）将得到的a、h、k代入平移后的函数中即可得到原始函数

例如：已知y=ax²+bx+c经过点（-2,7）、（0,3），顶点坐标为（-1,4），则可以通过以下步骤来快速求解析式：

（1）根据顶点坐标得到平移后的函数：y=a(x+1)²+4

（2）代入另外两个已知点得到如下方程组：

7=a(-2+1)²+4

3=a(0+1)²+4

联立方程组解出a=-2，h=-1，k=6

（3）将a=-2，h=-1，k=6代入平移后的函数中即可得到原始函数：y=-2(x+1)²+4

二次函数解析式三种经典求法，你都掌握了吗？

函数内容的学习一直是很多学生的重难点，甚至一些学生与理想的学校失之交臂，就是因为函数内容没学好，无法取得中考数学高分。

初中数学要学到函数一般有三种：一次函数（包含正比函数）、反比例函数、二次函数。其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。

任何与函数有关的数学问题，都需要先求出函数解析式，再结合函数的图象与性质进行解决。因此，一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。

今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式，在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

那么这三种形式有什么区别呢？在解决实际问题过程中，该如何选择呢？求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。

值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。

二次函数解析式求法与例题_题型归纳

小编整理了关于二次函数解析式求法与例题，希望对于同学们的二次函数解析式的求法有所了解，包括相关例题以供同学们呢练习和实践!

二次函数一般形式：y=ax2+bx+c (已知任意三点)

顶点式：y=a(x+d)2+h (已知顶点和任意除顶点以外的点) 有的版本教材也注 原理相同

例：已知某二次函数图像顶点(-2，1)且经过(1,0)，求二次函数解析式

解：设y=a(x+2)2+1 注意：y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标

由于 二次函数图像过点(1，0)

因此 a*3的平方+1=0 解得a=-1/9

所以所求作二次函数解析式为 y=-1/9(x+2)2+1

(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式)

两根式：已知函数图像与x轴两交点与另外一点 首先必须有交点(b2-4ac0)

y=a(x-x1)(x-x2) 其中x1,x2是图像与x轴两交点 并且是ax2+bx+c=0的两根

如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点 利用根与系数的关系

例：y=x2+4x+3与x轴的一个交点是(-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标

解：由根与系数的关系得：

x1+x2=-b/a=-4 则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3

所以与x轴的另一交点坐标为(-3,0)

另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得

y=a(x-2)2+b(x-2)+c

再向下平移2个单位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2

二次函数解析式求法与例题，仅供同学们参考，希望同学们的二次函数解析式学习有所帮助!