高中数学压轴题系列——导数专题——超越不等式放缩

导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。

不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。

数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。

尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻! 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

命题角度构造函数命题角度放缩法命题角度切线法命题角度二元或多元不等式的证明思路命题角度函数凹凸性的应用在求解过程中, 力求“脑中有’形’，心中有’数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合,寻找临界.命题角度2 放缩法【典例2】(石家庄市2018届高三下学期4月一模考试)已知函数f(x) = (x+b)(e x-a)(b>0)，在(―1,f (―1))处的切线方程为(e-1)x +ey + e—1 =0.(1 )求a,b ；(2 )若m<0,证明：f(x)>mx2+x.【解析】(1)a =1，b =1 ；(2 )由(1)可知f(x) =(x + 1)(e x—1)，f(0) =0, f (―1) = 0，2由m < 0，可得X 二mx + X，〔借助于已知参数的范围放缩〕令g(x) =(x +1 X eX T )-x，贝y g'(x) =(x +2 )e^2，当x<—2 时，g(x)=(x +2)e x-2£-2c0.当X > _2时，设h(x) =g (x) =(x + 2 )e X — 2，贝U h'(x) = (x + 3怡％；>0 ,故函数g'(x)在(—2,畑)上单调递增,又g(0)=0，所以当X 巳亠,0)时，g'(x)c0，当X 巳0,母)时，g'(x)A0,所以函数g(x)在区间(亠,0 )上单调递减，在区间(0,母上单调递增故g(x) >g(0) =0，即(X +1 X e X -1 )> X > mx2+x .故f(X)>mx +x.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标【典例3】(成都市2018届高中毕业班二诊理科)已知函数f(x)=xl nx + ax + 1,a亡R.(1 )当XA O时，若关于X的不等式f(x)>0恒成立，求a的取值范围;(2)当n亡N时，证明:n2n+42 23 2 n 中1c ln 22+l n2+L +ln2n<n n+1【解析】(1) [―1,址); 〔a = -1时的不等式是下问放缩的途径〕(2)设数列{a n},{b n}的前n项的和分别为S n = n2n+4,r，则10( n =1 ),由于an f jj Sn - Sn」(n H 2),，解得an =(n+1 X n+2)同理’所以只需证明a n cin2n+1<bn= 1n(n+1)由(1 )知a = -1 时，有xln X >x-1，即Inx〔本问放缩的途径令X = —- >1，贝y ln n+1 1--- >nn+1〔观察结构，合理代换所以ln n+1 (n +1 f (n +1)( n+2) n+1 n+2所以In22 +ln23+L +ln2n 2 n+2 2n+42再证明In2凹V 一1一，亦即Inn n f n +1\1现证明 2ln X <x --(x >1 ).x1 2 1令 h(x ) = 2ln x —x +-(x >1 )，贝y h7x )=- -1一飞X X X所以函数h(x )在(1,畑)上单调递减，h (x )v h (1 )=0 ,1所以当X"时，2lnx<x-恒成立,x因为ln^l a mnn+1-nJ n + 1 V nn ，V n j n +1 V n j n +1所以只需证2ln 匡€归-迟,V n T n〔观察结构，构造函数, 合理代换〕令 ％=厝>1，则 2ln $nV nyJ n +1〔利用构造函数的单调性, 合理代换〕综上，——后口!(n +1)(n +2)n V n (n +1 )，2 n +11 n --- n j ,{b n }分别求前n 项的和，得 —n — <l n 22 +l n 23+L 2n +4 2 【思路总结】待证数列不等式的一端是一 2 n +1 n + ln -- < ---- . n +1 n 项之和(或积)的结构，另一端含有变量 n 时,可以将它们 分别视为两个数列的前 n 项的和(或积)， 从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系 2ln x + 2 【典例4】(安徽省安庆市 2018届重点中学联考)已知函数 f (x )= Xe (1)求函数f (X )的单调区间;2 2(2)证明：当 x>0时，都有 f '(x )ln (x +1)cW+吕.e e• "一 “ . 2(1 -X —xlnX【解析】(1) f (x ) =xxen +1 1 nV n j n +1，‘ 2耳<0,X当 0 C X <1 时，1 —X >0, —XIn X 》0，所以 g (x )>0, f '(X )A 0 , 当 X >1 时，1 _x <0, —xIn X <0，所以 g(x )<0, f '(x )<0 , 所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1,垃)上单调递减;2 2 / 1(2)要证明 f '(x )In (x +1)c*+^^，即证(1-x-xInx )In (x + 1)cl 1 + p (x , e e I e 丿令 g (X ) = 1 - x-xln X ，则 g '(x )=- 1一(In x +1 戸一2- In x , 〔拆分研究，逐个突破〕1 1当 0 c x < 2 时，g '(x )A 0，当 X A 2 时，g '(x )<0, e e 所以函数g (X 在〔0,丄〕上单调递增，在I e丿1 所以 1 —X —xIn X <1 +2 . ef 1 )要证(1-x -xInx )In (x +1)cl 1+右(x , I e 丿2 2 综上所述，当XA0时，都有f '(x )In (x +1)<W +令.e e【思路点睛】对于含有Inx 与e x型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征,灵活变形，脑中有"形”，注意重要不等式In x<x-1= eXXx + 1的合理代换.fq ,址〕上单调递减，g (x )< 1+三=1+4 , l e 丿 e ee只需再证ln (x + 1)c x 即可. 易证In x<x-1，当且仅当x=1时取等号(证明略)，所以 0<1 n (x + 1)v x ，。

f ( x) 0成立
（3）难点在于合理拆分函数，寻找它们的斜率相等的公
切线隔板----以直代曲，
注：切线放缩的一般原则：（1）先对数后指数；（2）合理选用放缩
（一般用得最多指数对数加减）
技能拓展：常见超越不等式谱系图

≥1++
2

≤


以
2
换

以

换

以 −≥
1 换
1
2 证明：当 ≥ 时， ≥ 0.

注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
【题2】 2018 ∙ 新课标Ⅲ ∙ 文 已知函数 =
2 证明：当 ≥ 1时， + ≥ 0.
2 +−1

注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
课堂小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正（负）
--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，但是
有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
+）
注意事项：
g ( x) min g (0) 0,
（1）适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反的
问题（需合理拆成两个函数）----数形结合；
g ( x) 0,
（2）两函数有斜率相同的切线，通过引入一个中间量
又 等号不能同时取到
分别证明两个不等式成立，然后利用传递性就可以了；
切线放缩证明超越不等式
超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），

（1） 切线不等式（对于常见的 ex 和 lnx 1）
（2） 换元处理 （3） 分离函数比较(提取公因式，分离超越式)
例题分析
三角函数
例 1. 已知 f x e1x a cos x,a R (1) 若函数 y f x 在0, 存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围
(2)
若
f
2
0
，证明：对于
则有 a
2
sin(
x
4
)min
，因为在
0,
上所以
a
1
即可
对于第二问来说由
f
2
0
我
们不
难得到
a=0 ， 进 一 步 则 不 等 号 左 边 即 为
ex2 cosx 1 2e1x sin x cos xcosx 1 0
即
解析几何导数专题
cos
x
1 (ex2
2e1x
sin
x
cos
x)
非是去绝对值后进行求导探求极值点，但是这道题里面难点就在于 a 是参数且
求导后无法得出具体的极值点，结合之前讲的放缩技巧，我们可以先一步使用绝
对值不等式有 a cos2x a 1cos x 1 a cos x a 1cos x 1 ，此时还带着
三 角 函 数 ， 因 此 我 们 继 续 使 用 三 角 函 数 放 缩 即 可 当 a1 有
0
而又因为在
x
1,
1 2
上
cos
x
1
0
恒
成 立 所 以 即 证 (ex2 2e1x sin x cos x) 0 即 可 ， 即 e2x1 2
2
sin(x
4
)
在

函数与导数—导数中的放缩问题专题综述放缩法是解决函数不等式问题的利器，导数压轴题中的函数往往是指数、对数与其他函数综合，或者指对数并存的超越函数，有时直接构造出的函数难以直接求出最值，需要借助放缩解决.利用导数判断函数单调性、解决函数零点问题、不等式证明等问题中都会用到放缩法，使问题难度降低.常用的放缩方式有：①常用不等式放缩：指数放缩、对数放缩、三角放缩；②利用已知题目信息放缩；③根据已知参数范围或常识，减少变量，适当放缩；③利用单调性放缩；④利用基本不等式放缩： 若0a b >>，则211ln ln 2a b a bb ab a b a b-+<<<<-+；⑤由数值大小关系直接放缩，做题时灵活运用.本专题就前3种，重点探究.专题探究探究1：利用不等式放缩函数中有指数、对数、三角函数时，直接求导，导数不等式无法解出，根据函数结构，选择不等式进行放缩，使函数简单化. 常用不等式有：（1）三角函数放缩：①0,,sin tan 2x x x x π⎛⎫∀∈<< ⎪⎝⎭；②21sin 2x x x ≥-；③22111cos 1sin 22x x x -≤≤-（2）指数放缩：①1x e x ≥+；②x e ex ≥（1,y x y ex =+=为函数x y e =图象的两条切线）；③()101xe x x ≤≤-；④()10x e x x≤-< （3）对数放缩：①11ln 1x x x -≤≤-；②ln x x e ≤；③1ln x ex ≥-；（1,xy x y e =-=为函数ln y x =图象的两条切线）（4）指对放缩：()()ln 112xe x x x ->+--=(2021安徽省合肥市联考) 已知函数()(ln ),.xe f x a x x a R x=--∈（1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，函数1()()()x g x f x x e mx x =+++满足：对任意(0,)x ∈+∞，都有()1g x 恒成立，求实数m 的取值范围．【审题视点】第（2）问显化函数()g x ，恒成立问题回顾常用的方法（专题1.3.7）：分离参数、含参讨论单调性等方法，由解析式的具体结构确定方法与细节.【思维引导】分离参数以后，函数中有指、对结构，若直接通过求导判断单调性求最值，方法较困难，利用不等关系1x e x ≥+，得ln ln 1x x e x x +≥++，使难度大大降低.【规范解析】解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，22()(1)()x x x a xe e ax e x f x a x x x -+-'=--=，当0a >，0x >时，令()0f x '>，则1x <∴()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）当1a =-时，1()()()ln (1)x x g x f x x e mx xe x m x x=+++=-++，()()0,,1x g x ∀∈+∞≥即ln 1ln 1ln 11x x x x xe x e m x x++-+--=-，1.恒成立问题求参：分离参数构造函数求最值；2.构造的函数中有ln x 、ln x x e +，通过求导判断单调性求最值较困难，通过常用不等关系1xe x ≥+，进行放缩,是函数简单化.设()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-，令()0F x '>，则0x >∴()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减∴()(0)0F x F =，即1(x e x +当且仅当0x =时“=”成立)，故ln ln 1(x x e x x +++当且仅当ln 0x x +=时“=”成立)， ()ln G x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且11()10G e e=-<，(1)10G =>，故存在01(,1)x e∈使得ln 0x x +=成立，故ln 1ln 1ln (ln 1)112x x x e x x x x x++-+-++--=-（当且仅当0x x =时“=”成立），∴2m -，即m 的取值范围是[2,).-+∞【探究总结】常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简答化.但不等式1,,ln 1,ln xxx e x e ex x x x e≥+≥≤-≤，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.另外若是求参数取值范围问题，要考虑不等式中的等号能否取到.(2021山东省泰安市一模) 已知函数()()ln 2xf x e x k -=-，（k 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()1ln 1xx x g x e-+=,对任意0x >，证明：()()21x x x g x e e -+<+. 探究2：利用已证结论放缩1.对使用过得不等关系，构造函数证明成立；2.利用不等关系进行替换.恒成立求取值范围的问题，放缩以后，要确保不等式中等号能否取到解答题的上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论，为后续的证明提供放缩的依据.需证明的不等式为关于n 的多项式的和或不等式结构复杂，利用已证结论，进行放缩，使不等式化繁为简，便于构造函数求最值.(2021湖南省郴州市模拟) 已知函数()e (1)ln(1) 1.x f x x x =-++-（1）当0x >时，证明：()0f x >；（2）已知数列{}n a 的通项公式为1e 1nn n na n -=+，证明：12ln (1).n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 【审题视点】第（2）问，出现数列的前n 项和，且不能用常规的求和方法求和，借助第一问的结论对n a 的通项公式进行放缩，便于求和.【思维引导】对第一问的不等式进行变形，观察n a 的结构，进行放缩，能够用已知方法求和.【规范解析】解：（1）由题意得 ()()ln(1)10x f x e x x '=-+->， 设()ln(1)1x g x e x =-+-，则1(1)1()11x xe x g x e x x +-'=-=++， 当0x >时， 1x e >，11x +>，则(1)1x e x +>则(1)1()01x e x g x x +-'=>+， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增，故()()00g x g >=，即()0f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0f x f >=，即()0f x >（2）由（1）知：当0x >时，()(1)ln(1)10x f x e x x =-++->，即1ln(1)1x e x x ->++ 令1x n=，则11ln()1nne n n n n -+>+，12231ln ln ln12n n a a a n++++>+++ 231ln()ln(1)12n n n+=⨯⨯⨯=+ ∴12ln (1)n a a a n ++⋅⋅⋅+>+【探究总结】函数中证明与n 有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用前一问的结论，或者解题过程中的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.(2021广东省东莞市联考) 已知函数()ln (1),(0)f x x a x a =-->（ 2.718e ≈即自然对数的底数）.（1）若函数()f x 在()1,+∞上是单调减函数，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当n N +∈时，证明：2311111111.2222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭探究3：利用已知参数范围或常识放缩函数解析中含有参数，且已知参数范围，证明不等式成立，可以从参数的范围入手，使参数取确定的值或利用单调性、其它不等关系，对不等式进行放缩，减少变量，使函数结构简单，易于判断单调性.(2021河北省石家庄联考) 已知函数()(2).x f x e k x =-+（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【审题视点】已知参数范围，证明不等式成立，且函数指对结构都有，若含参讨论难度大，可能要借助放缩，化繁为简.【思维引导】1.对已证不等式进行变形，变形为与n a 通项公式相似的结构；2.对自变量进行替换，得出新的不等式.利用不等式性质进行求和，实现放缩，证明结论.第（2）问不等式的证明，函数中有x e ，ln x ，构造函数求导，含参讨论解导数不等式较困难，可巧妙利用参数的范围，参数取确定的值，进行放缩，求不含参函数的最值较为简单.【规范解析】解：（1）由题意得 ()e .x f x k '=- ①当0k 时，()e 0x f x k '=->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②当0k >时，令()e 0x f x k '=-> 得ln x k >，则()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '= 当(0,1)x ∈时，()0g x '< 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>)0，10⎫->⎪⎭∴当0k e <<时，()(1ln )0.f x k x x ++->【探究总结】不等式的证明问题中含有参数，若直接构造函数含参讨论，难以解决的情况下，为避开讨论，可以在参数给定的范围内，结合不等式的结构进行第一步的放缩，达到消参的目的，转化为证明不含参的不等式.若不等式的结构依然复杂，在利用常用不等关系、已证结论等方法进一步放缩.(2021湖北省荆州市高三模拟) 已知函数()ln(2).x m f x e x -=-（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论()f x 的单调性； （2）当2m 时，证明：()ln 2.f x >-专题升华导数解答题中函数多以xe 、ln x 型的函数与其他函数结合的形式出现，考查零点问题、不等式证明问题、恒成立问题等方向时，如果利用常规方法处理时，因函数结构复杂求导判断单调性难度较大，通过放缩将难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理.放缩法较为灵活，要根据不等式的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，选择适当的方法是关键. 1.积累常见的不等结论：如探究1中提及的不等式，解题时需构造函数，证明其正确性，再进行放缩.利用不等式进行放缩，体现了数学中的化归与转化思想，也体现了处理数学问题时以直代曲、以曲代曲的方法.2.巧用已证不等式，顺水推舟：利用已证不等式(或结论) “服务”于后续问题的求解，这类题目最明显的“暗示”，即为证明一个类似于数列求和的不等式，需利用已证不等式进行逐项替换放缩.若题目的第一问证明不等式，在后续解题时，留意是否会利用已证结论.3.已知参数范围：含参不等式的证明时，若因为参数的存在使函数讨论非常复杂，可考虑结合参数范围及其它结论进行放缩.4.其他放缩方法：除了上述三种难度较大的放缩方法以外，单调性、已知结论、基本不等式等.如利用基本不等式进行放缩，化曲为直，()202x x +=≥；和积互化等.不仅仅应用于简化不等式，在解题过程中，也可能用放缩证明代数式的值.长干行·其一[唐]李白妾发初覆额，折花门前剧。