概率论知识归纳
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期望公式：E(x) =∫𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞−∞.
二维随机变量的期望求法：E(Z)=E(g(X,Y))=∫∫𝑔(𝑥,𝑦)𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦+∞−∞+∞−∞.
数学期望的性质：
（1） E(c)=c，其中c为常数.
（2） E(cX)=cE(X).
（3） E(𝑋1+𝑋2)=𝐸(𝑋1)+𝐸(𝑋2).
（4） E(∑𝑋𝑖𝑛𝑖=1)=∑𝐸(𝑋𝑖)𝑛𝑖=1
（5） 若随机变量X与Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)
（6） 若X和Y相互独立，g(X)与h(Y)分别为X和Y的函数则 E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]∙E[h(Y)]
方差：D(X)=E{[X−E(X)]2
计算公式：D(X)=E(𝑋2)−[𝐸(𝑋)]2
方差的性质：
1、 若C常数则它的方差为0
2、 若a，b为常数，X为随机变量，则 D(aX+b)=𝑎2𝐷(𝑋)
3、 若随机变量X和Y相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
4、如果随机变量X1，X2，X3，Xn相互独立，则D(∑𝑋𝑖)=∑𝐷(𝑋𝑖)𝑛𝑖=1𝑛𝑖=1
常见的随机变量的期望和方差
0-1分布的期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)
泊松分布参数为λ的泊松分布，期望E(X)= λ，方差D(X)= λ
几何分布的参数为p，期望E(X)=1/p，D(X)=q/p^2
均匀分布的期望E(X)=(a+b)/2，方差D(X)=(b-a)^2/12
指数分布参数为λ，E(X)=1/λ，D(X)=1/λ^2
正态分布的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2
X服从参数为n，p的二项分布，E(X)=np
离散型随机变量分布
二项分布，几何分布，巴斯卡分布，超几何分布，泊松分布
教材P36，P37，P38，P39（注意：几何分布的无记忆性）
几何分布含义：首次成功在第n次
巴斯卡分布含义：第r次成功发生在第k次
连续性随机变量
均匀分布，指数分布，正态分布，标准正态分布（教材P43—P47）
注意：指数分布与泊松分布的λ为一个参数。
注意：当n很大时，二项分布B(n , p)与泊松分布P(λ)( λ=np)几乎一样，可代替计算.
注意教材P51页的Γ分布
再生性：（可加性）：X与Y独立共同服从同种类型的分布，若X+Y仍服从相同类型的分布，该分布具有再生性.
具有再生性的：泊松分布，二项分布
不具有再生性的：贝努力分布，几何分布，指数分布，均匀分布.
注意教材P87的极大极小分布.
称随机变量X的k次方的数学期望
E(𝑋𝐾)为X的k阶原点矩
称X—E(X)的k次方的期望
E｛[X−E(X)]2}为X的k阶中心矩
注意：二阶中心矩是方差的定义
协方差Cov(X,Y)=E{[X—E(X)][Y—E(Y)]}
计算公式：Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)
协方差的基本性质
对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
Cov(X,X)=D(X)
若a，b为常数，则Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0
Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).
随机变量和的方差与协方差的关系：
D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)
注意教材P109页的相关系数及其性质
注意：Cov(X,Y)=0，等价于ρ=0，等价于不相关，等价于E(XY)=E(X)E(Y)，等价于D(X+Y)=D(X)+D(Y).（不相关是一个比独立要弱的概念）
P74求(X,Y)落在区域G上的概率：P((X,Y)ЄG=∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐺，是所有二维连续随机变量求概率的唯一公式.
求二维随机变量的密度函数教材P83
基本步骤：
1、 将Z用X和Y表示
2、 要求密度函数先写出分布函数 𝐹𝑍(𝑧)=𝑃(𝑍<𝑧)
3、 再将用X和Y表示好的Z带入上式，再根据区域G求概率公式求解。
注意：区域的分段和分类讨论（P85）
