差分方程数学建模分析

关 键词 差 分方程 ；数 学模 型 ；蛛 网模 型
中 图分 类号 ：０７ １
１利用差分方程建立数学模型的方法
在 实际 建立 差 分方 程 模 型时 ，要 将变 化过 程进 行 划分 ，划分 成 若 干时 段 ，根据 要 解决 问题 的 目标 ，对每 个 时段 引入 相应 的 变量 或
一
１—
Ｘｌ Ｘ＝ ＋ 一 ） ｎ— ｏ 等（ Ｙ ２ ＋
得 ： ¨ 一ｘ ： （ ｏ （ ｏ＋Ｙ —ａ ｘ一一Ｘ ） ２ ｏ １ ｏ ｙ 一 ｘ 一 ） ｏ （ １ ｏ 一 ｙ ）
ｇ 也是单调增加的对应关系， 因此可以建立差分方程：
ｘ ＝ｈｆ ｘ ） ［ （，］ ，
， ：
４
所以
＞８ ， 咒 ＜二 ＜一 ，此 时解 不稳 定 。 时 ： ２
ｃ ，１、 则 ２， 从解稳的 １： 时 １ 是定。 ８￣ ／ 时 ， ， ２ １ ： 而
下转 ５ 第７ 页曩
４ 一 ６
一
发 过程 中 出现 问题 ，重新 下发 参数 后 即可 。 当 然也 会存 在一 些 小范 围的 台 区挂 错现 象 ， 如 贺 兰 兰庭 花 园 ２ 变集 中器 ，由于 １ 号和 号 ８ ２ 号 楼 台 区挂 错 ，导致 ２ 变 集 中 器的 采集 ２ 号 率 在６ ％ 右 ，调 整后达 Ｎ９ ％。 ８左 ｏ ５ 采 集 成 功率在 ９％以上 的集 中器 ， ） ０ 这 类情 况就 是 处理 细节 问题 了 ，需要 调试 人 员下现 场仔 细 核查 ，点 对点 分析 ，一 般常 见 问题有 ：系统 内表 号和现 场 表号 不符 的 ，现 场 表 计 出现 故 障 的 ，表计 中 模 块 出 现 故 障 的 ，还 有 就是 可 能参数 有 问题 的 ，但 是参 数 问题 可能 性 比较 小 ，因为参 数一 般是 集 中下 发 ，也 不 排除 有 个 别问题 出现 。
Ｄ Ｉ ０ ３ ６ ／ ． ｓ ．０ １ ６ ７ ．０ ２ １ ． １ Ｏ ：１ ．９ ９ ｊｉ ｎ１ ０ － ９ ２ ２ １ ．４０ ２ ｓ
差分 方程 数学建模分析
徐新荣
哈 尔滨 商 业 大 学基 础 科 学 学 院 ，哈 尔滨 １０ ２ ０８ ８
摘 要 差 分方程 模 型作 为一 种 重要 的 数 学模 型 ，利 用差 分方程 建模 通 常 与 其 它数 学模 型 方法 结合 起 来使 用 ， 因为一 方 面建立 差 分方 程模 型 所 用的数 量 、等 式关 系的建 立都 需要 其他 的数 学分 支 ；另一 方 面 ，由 差 分方 程 获得 的结 果可 以进一 步进 行优 化 分析 、 满意度 分析 、 分类
这个结论与蛛网模型的分析结 果是一致 的。 模型推广 ：如果决策时考虑 到 与 ， 都有关系，则可假设 Ｙ 此 时数学模型为 ：Ｙ ＝ｆ ｘ） （
Ｘ＋ ｇ ｎ （ ｌ ） ．
对 此模 型 仍用 线性近 似关 系可 得 ：首先 求 出平 衡 点 ，即解 方程
由于 价 格 与 产 量 紧 密 相关 ，因此 可 以 用 一 个 确 定 的关 系来 表 现 ：即 设有 Ｙ ＝ｆ（， ， ｘ） ， ‘ 这 就是 需求 函数 ， 厂 单调减 少 的对应关 系 。 是
Ｙ ＝ｆ ｈｙ ） ［（ 】
这就 是 两个 差分 方程 ， 属一 阶非 线性 差分 方程 。
于是 ２．１ ｘ＋＋
即 ２． ＋ ｘ＋ ２
一＋ａ ， ＝（＋ａ ）ｏ ｌ ｐｘ １ ￣ Ｘ
＋＋ ｌ ：（＋ ）。 １
３几 何模 型 分析
为了表现出两个变量 Ｘ 和 的变化过程， 我们可以借助已有的函 数 ｆ 和 ｇ ， 过对应 关系 的几何表现 把点列 （ ， ，和 ｎ 在 通 Ｙ） ＋Ｙ） ｌ 坐标 系 中描 绘 出来 ，进而 分析 它们的变化规 律 、 势、找稳 定点． 中 趋 其 （ｎＹ ） Ｘ， （ ） Ｙ） Ｘ ｇ ＋ ） Ｘ ， ＝（ｎｆ ｘ） （ ， ：（ｎ （ ） 将 点 列 Ｐ（ Ｉ 。 Ｐ （２Ｙ）Ｐ （３Ｙ ）Ｐ （４Ｙ ） … 一 接起来 ， １Ｘ， ） ２Ｘ １ ３Ｘ ３ ｘ ，，… Ｙ， ， ， 连 就会形成 象蛛 一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。
蛛 网模 型 ２ １ 经 济背景 与 问题 ：在 自由市场 经 济 中 ，有 些商 品的 生产 、 ． 销 售呈 现 明显 的 周期 性 ． 业 产 品往 往 如 此 ，在 工业 生 产 中 ，许 多 农 商 品 的 生产 销 售 也 是 有 周 期性 的 ，表 现 在 ：商 品 的投 资 、销 售 价 格 、产 量 、销售 量在 一 定时 期 内是 稳定 的 ，因而 整 个某 个较 长的 时 期 内这 些经 济数 据表现 为离 散变 量 的形 式 。在这 些 因素 中 ，我们 更 关 心 的是 商 品的 销售价 格 与 生产 产 量这 两个 指标 ，它们 是整 个经 营 过 程 中的 核心 因素 ，要 想搞 好 经营 ，取 得 良好 的经 济效 益 ，就 必须 把 握 好 这两 个 因素 的规 律 作 好计 划 ． 分 析 市场 经 济 中 经营 者根 据 试 市场 经济 的规 律 ，如何 建立 数学 模 型来表 现和 分析 市场 趋势 。 ２ ２ 模 型假设 与模 型建 立 ． 将 市场 演变 模式 划分 为 若干 段 ，用 自然数 ｌ ｑ ＿ 来表 示 ；设 第ｎ 个时 段 商 品的数 量为 ｘ ，价 格为Ｙ ＝ｌ２ …… ｎ ，，
法：
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这 个 条件 比原来 的模 型 解的稳 定性 条件 放 宽 了 ，说 明决 策水 平提 高 了。 模 型２ 金 融 问题的 差分 方程 模型 １ 问题． 波现有一笔 Ｐ万元 的商业贷 款， ） ：
５现 场 问题解 决 办法
５ １终端 与 用 户关 联关 系错 误 ． 先 在 采 集 系 统 中 ，通 过 “ 除 电 表 关 去 联” 功能 去除 终 端 与电表 的关 联关 系 ，并 酌 情 进 行终 端初 始 化操 作 ，然 后 在营销 系统 中 通过 “ 护用 户采集 点关 系” 进行 添加和 删 维 除用 户操 作 。 集 中器进 行 添加 和删 除用 户时 ，如果 已 经 下发 电表参 数 ，则需要 点击 “ 数及数 据 参 区 初始 化”按 钮 对参 数 区进行 初始 化操 作 ， 如还 没 有下 发 电表 参 数 ， ０ 需要 进行 初始 不 化操 作 ；专 变终 端在 则 不需要 进行 初始 化操 作。 ５ ２用 户 档案 错误 如何处 理 ． １ ）用 户 基础 档案 错误 ：通过 变更 用 电 相 关流 程完 成 ； ２ ）用 户 与 电表对 应关 系错误 ：通 过 电 表 的非 周期 轮换 流程 修 改 ； ３ 用 户线 路 与 台 区档 案 错误 ：电表 非 ） 周 期轮 换流 程 的 归档环 节提 供 了用户线 路 台 区 档案 修改 功 能 ，可在 此环节 对线 路 台区档 案 进行 修改 。 ５ ３终 端 不在 线的处 理步 骤及 办法 ． １ ）再 次确 定 终端 通 信 参 数是 否 设 置正 确 ，通 常需 要 设 置主 站 地 址 、 主站 端 口、 ＡＰ Ｎ、终 端地 址 、行政 区划 码 ； ２ ）检查 终 端 信号 强 度 是 否满 足 要 求 及 Ｓ Ｍ卡是 否 为正 常 使用 状态 。调 试 时 ，最好 Ｉ 准 备一 张 确定 能使 用 的ＳＭ卡 作为 测试 卡 ， Ｉ 以 判断 所使 用 的ＳＭ卡是 否 存在 问题 ； Ｉ ３ ）部 分 终 端 存在 因工 作温 度 过 高而 停 止 工作 的现 象 ，需要 再 重启一 下 ，即对 终端 进 行断 电再 通 电操作 ； ４ ）检 查Ｇ Ｒ 通讯模 块是 否正 常 ； Ｐ Ｓ ５ ）如果 还 无 法 上线 ，则 联 系终 端 厂 家 判 定是 否为 终端 故障 。 ５ ４宽 带 抄表 失败 的核 实步骤 及处 理 方 ．
可以 设 想 ，这种 形式 可 作为 差分 方程 分 析与 求解 的 重要 手段 ， 它的主 要 数 学技 术是 图形 的 描绘 ，曲线上 点 列的 描绘 （ 法 由前 一 设 个点 的一 个坐 标 分量 来算 出下一 个 点的一 个 坐标 分量 ，并 确 认它 在
特征方程为
２ ＋ 觐 ＋０ ＝０
＝Ｙ — 一Ｘ ） ＞０ ｏ （ ｏ，
规 律 和运 算关 系等式 ，建 立起 差分 方 程 。 １２ 对事 物 系统进 行 划分 ，划分 成若干 子 系统 ，在 每个 子 系统 ． 中 引入恰 当的 变量 或 向量 ，然 后分析 建 立起 子过 程 间的这 种 量 的关 系等式 ，从而 建立 起 差分 方程 ， 着重 强调 的是在 此过 程 中 ，时段 或子 系统 的 划分方 式是 非 常非 常 重要 的 ，应 当结 合 已有 的信 息和 分 析条 件 ，从 多种可 选方 式 中挑 选 易于 分 析 、针对 性 强的 划分 ，同时 ，对 划 分后 的时 段或 子过 程 ，引入 哪些 变量 或 向量 都是 至关 重要 的 ，要 仔 细分 析 、选择 ，尽 量 扩大 对 过程 或 系统 的数 量感 知范 围 ，包 括对 已有的 、 已知的 若干 量 进行 结 合运 算 、取 最运 算等 处理 方式 ， 目的 是 建立 起 简洁 、深 刻 、易于 求解 分析 的 差分方 程 。 ２ 模 型 举 例
向量通 过适 当假设 。 １ １ 根据 事物 系统 的 实 际变化 规律 和数 量 相互 关 系 ，建 立每 两 ． 个相 邻时 段或 几个 相 邻时 段 ，或 者 相隔 某几 个时 段 的量 之 间的变 化
４模型的差分方程分析
设点 Ｐ （ ，。满足 ：Ｙ ＝ｆ ｘ ） ＝ｈｙ ） 在 Ｐ 点附近取 函数 。 Ｙ ） 。 （。， ‰ （。， 。 ＿ ，（） 厂 ） ｘ 的一阶近似 ： （ ｈ
＝ ＋ｆ Ｙ 一Ｙ ） ＞０ ｏ ｌ ｏ （ ，
合 并 两式 司得 ：
“＝ ａ ｘ ＋ １ ￣ ）ｏ” … ． 一 ｐ ． （＋ Ｐ ｘ， ：ｌ ． ２ 这是关于 的一阶线性差分方程 ，当然它是 原来方程的近似模 型． 作为数学模 型， 本来 就是客观实际 问题的近似模拟 ， 现在为 了处理方便 ， 适 当取用其近似形式是合理的。
其中， 为ｆ 一 ｆ在 点处的切线斜率：１为ｇ 在 ｐ 点处切线的 （ 。
．
Ｐ
斜率 。 由方程 ＋：一 ｌ ０
＋ １ ａ ， ＝ｌ ，． ： （＋ ） １ ， ．可得 ＇ ２． ｌ
Ｘ＋＝（日 ）Ｘ＋ １ （ａ ）］ｏ ｎｌ 一 ” Ｉ 【一 － ｐ ”Ｘ
所以 Ｐ点 定 充 条 ： １１ ： ＜ 。 ， 。 稳 的 要 件是 ｌ ＜， 即
６ ）电表 参 数 和接 线 都 检 查 完毕 后 ，则 需要 携 带笔记 本 电脑 等工 具到 现场 按 照宽 带 集 中 器调试 办法 进行 调试 。 以 上步 骤都 核查 过后 ，还 无 法实 现抄 表 的 ，则联 系宽带 集 中器厂 家进 行 处理 。 ５ ５ 窄带 抄表 失败 的核 实步 骤及 处理 方 ．
易见 ：如果 点列 Ｐ （１ １’２ ，１Ｐ （３Ｙ ） ４ ３… … ． ， ） （ Ｙ） ３Ｘ ３， （ ， ） Ｙ Ｐ ， ｐ ． 最后收敛于点Ｐ ， 。 Ｎｘ ， Ｙ， Ｙ 。 并且 Ｐ 就足两条 曲线 的交 点， 。 从而稳定的。 这也表 明，市场在长 期运行之后 会保持一种稳 定的状态 ，说 明市场 处于饱和 状态。要想进 一步发展就必 须打破这种平衡 ，在决策机带和方 一 法 上有 所 改 进 ， 几 何上 的 进 一步 分析 表 明 ，如 果 曲线 Ｙ ， ）和 ＝ ＇ ， （ Ｙ＝ｇ ｘ 在交点 Ｐ 处切线的斜率的绝对值记为 ： ｋ 则当 ｋ ＜ｋ （） 。 ｋ ， ， 时 ，Ｐ 是稳定的；当 ｋ ＞ｋ 时 ，Ｐ 是不稳定的 。 ， 。 。
Ｙ ＝ｆ（０ ０ ｘ）
。：ｇ （ ） （ｏ ． ：ｇ Ｙ ） ２ｏ Ｙ）
又假设下一期的产量 是决策者根据这期的价格决定的，即： 设 ：ｈｙ ） 是单调增加的对应关系， 从而有关系： （ ，ｈ
Ｙ ＝ｇ ｘ＋ （ １ ）
ห้องสมุดไป่ตู้
贝有 ： ． ｌ ｇ ｙ ） （ ０ ＋ （ｏ＋Ｐ ｙ ＋
分析 、相 关分析等 。
哪 条 曲线上 ，就 可 以画 出这 个 点 ；有时 或者 可 由前 两个 点 决定 下一 个 点的一 个 坐标 分量 ） ，也 就是 通 过 直观 、几 何形 式 ，把 我们 关 心 的 变 量的 所 有 可能 取值 表 示 出 来 ． 里采 用 的 方 法是 ，引入 两 条 曲 这 线 ，因为在 曲线上 如果 知道 了一个 分 量 ，就 可 以 作 出另一 个分 量 。 可 见几 何形式 表示 有关 系 的变量 是 既方便 又有 意 义的 。