高中数学必修四1.2.3三角函数的诱导公式(2)

三角函数的诱导公式

【学习目标】

1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(,2的正弦、余弦、正切)；

2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.

【要点梳理】

要点一：诱导公式

诱导公式一：

sin(2)sink，

cos(2)cosk，

tan(2)tank，其中kZ

诱导公式二：

sin()sin，

cos()cos，

tan()tan，其中kZ

诱导公式三：

sin[((21)]sink，

cos[(21)]cosk，

tan[(21)]tank，其中kZ

诱导公式四：

sincos2， cossin2．

sincos2， cossin2，其中kZ

要点诠释：

(1)要化的角的形式为90k(k为常整数)；

(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”； (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；

(4)sincoscos444xxx；cossin44xx.

要点二：诱导公式的记忆

诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．

诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．

因为任意一个角都可以表示为k·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90ko(k为常整数)的三角函数值：当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.

1 2016高中数学 1.3三角函数的诱导公式（2）作业A 新人教A版必修4

一．选择题

1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为 ( )

A．－12 B.12 C．－32 D.32

2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos 7π2－α等于( )

A．－12 B．12 C.32 D．－32

3．已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α的值等于( )

A．－13 B.13 C．－223 D.223

4．若sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则cos32π－α＋2sin(2π－α)的值为 ( )

A．－2m3 B.2m3 C．－3m2 D.3m2

5．已知cosπ2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )

A．－33 B.33 C．－3 D.3

6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 ( )

A.13 B．23 C．－13 D．－23

二．填空题

7．sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.

8．已知tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α＝___

_____.

三．解答题

9．求证：tan2π－αsin－2π－αcos6π－αsinα＋3π2cosα＋3π2＝－tan α

10．化简：sin4k－14π－α＋cos4k＋14π－α (k∈Z)．

2

11．已知sin－π2－α·cos－5π2－α＝60169，且π4

1 第2课时 诱导公式五、六

[核心必知]

1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P26～P27的内容，回答下列问题．

如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.

(1)P2点的坐标是什么？

提示：P2(y，x)．

(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？

提示：对称．sinπ2－α＝cos α，cosπ2－α＝sin α.

2．归纳总结，核心必记

(1)诱导公式五和公式六 2

(2)诱导公式的记忆

诱导公式一～六可归纳为k·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：

①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．

②“奇”、“偶”是对诱导公式k·π2±α中的整数k来讲的．

③“象限”指k·π2±α中，将α看成锐角时，k·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．

[问题思考]

(1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？

提示：是．

(2)在△ABC中，角A2与角B＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？

提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋C2，

∴sinA2＝sinπ2－B＋C2＝cosB＋C2，

cosA2＝cosπ2－B＋C2＝sinB＋C2.

[课前反思]

(1)诱导公式五： ；

(2)诱导公式六： . 3

知识点1 化简求值

讲一讲

1．已知f(α)＝sinπ－αcos2π－αcos－α＋3π2cosπ2－αsin()－π－α.

(1)化简f(α)；

(2)若α为第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值； 4 (3)若α＝－31π3，求f(α)的值．

常用得诱导公式有以下几组:

公式一:

设α为任意角,终边相同得角得同一三角函数得值相等:

sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)

公式二:

设α为任意角,π+α得三角函数值与α得三角函数值之间得关系:

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

公式三:

任意角α与 -α得三角函数值之间得关系:

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

公式四:

利用公式二与公式三可以得到π-α与α得三角函数值之间得关系:

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

公式五:

利用公式一与公式三可以得到2π-α与α得三角函数值之间得关系:

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα公式六:

π/2±α及3π/2±α与α得三角函数值之间得关系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

(以上k∈Z)