于都实验中学2012-2013学年高三年级全县联考数学试卷(文科)

江西省赣州市于都中学高三数学上学期第6次周练试卷（文科）一选择题(本大题共12个小题,每一小题有且只有一个答案,每小题5分,共60分) 1.两不共线向量、a b ，若m n +a b 与 2-a b 共线，则n m等于 （ ） A ．2-； B ．2C ．21-D ．212.已知点A （3,2），B （-2,7），若直线3y ax =-与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4，则a 的值为 ( )A ．3B ．-3C ．9D ．-93．正项数列{}n a 中，已知对一切正整数n ，都有224n n n a a a ++=，若372,4a a ==，则15a = （ ） A ．8 B ．16 C ．32 D ．644.若0ω>，且函数()4sin cos22xxf x ωω=在[,]43ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( ) A. 3(0,]2B. 3(0,)2C. (0,2]D. [2,)+∞5.已知向量a ，b 满足||1a =，||3b =，,(31)a b +=,则||a b -=（ ）A ． 0B ．4C ．2D ．26.过点P （1，2）且与两坐标轴的截距的绝对值相等的直线有 （ ）A ． 1条B ．2条C ．3条D ．4条7.由下列条件解ABC ∆，其中有两解的是 （ ） A ．20,45,80b A C === B ．30,28,60a c B ===C ．14,16,45a c A ===D ．12,15,120a c A === 8.若函数()f x =A sin(ωx +φ)(ω＞0,A ＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示,则f (0) +f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2008)的值为（ ）.A.1B. 0C. 2D. -19.已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤242y y x x y ，则22222S x y x y =++-+，最小值是 ( )A 、59B 、2C 、3D 、2 10.函数()y f x =是圆心在原点的单位圆的两段圆弧（如图），则不等式()()f x f x x <-+的解集为（ ）A.{x|-552<x<0或552<x ≤1} B.{x|-1≤x<-552或552<x ≤1} C.{x|-1≤x<-552或0<x<552} D.{x|-552<x<552且x ≠0} 11.已知向量a =（αcos 2，αsin 2），b =（3cos β，3sin β），a 与b 的夹角为60o，则直线1cos sin 02x y αα-+=与圆221(cos )(sin )2x y ββ-++=的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.随βα，的值而定12.关于x 的不等式22cos lg(1)cos lg(1)x x x x +-<+-的解集为 （ ）A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)22ππ-- C ．(,)22ππ-D ．(0,1)二．填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)13. 在锐角三角形△ABC 中，已知| →AB |=4，| →AC |=1，△ABC 的面积为 3 ，则AB CA •的值为________ ___14. 函数sin cos (0)y a x b x ab =-≠的图像的一条对称轴为x ＝π4，则以(,)a a b =为方向向量的直线的倾斜角为15．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点， 则()PA PB PC +⋅的最小值是_____ ____． 16.给出下列命题：①若,αβ是第一象限角，且αβ>，则cos cos αβ<， ②函数2sin()32y x π=+是偶函数，OP CBA第15题图③若(,2),(103,5),,3a b a bλλλ==-->-且与的夹角为钝角则的取值范围是 ④函数a x x f y ==的图象与直线)(至多有一个交点，其中正确命题的序号是 。

于都二中2024年秋高三年级第一次月考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数，则（）C.2D.33若正数满足，则的最小值是（）A.6B.C. D.4.记为等差数列的前项和.若，则（）A.25B.22C.20D.155.在平行四边形中，，若，则（）A. B. C. D.16.已知（）A.1B.0C.D.7.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“”的否定是“”B.在上单调递减C.若为的导函数的一个零点，则为函数的一个极值点D.若是奇函数，则8.若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目{}{}355,3,1,0,2,3A x x B=-<<=--∣A B⋂={}1,0-{}2,3{}3,1,0--{}1,0,2-()i1iz=-z=,x y x y xy+=2x y+2+3+2+nS{}n a n264810,45a a a a+==5S=ABCD11,23BE BC AF AE==AF mAB nAD=+m n+=131256cos cos sinαβαβ+=+=()cosαβ-=1-12-20,1x x x∀>+>20000,1x x x∃>+<()2f x x-=()0,∞+x()y f x=x()f x()f x()00f=()32f x x bx cx d=+++()()20f x f x+-=x∈R()()22f x f x'<+'(),2∞--()0,∞+()(),20,∞∞--⋃+()2,0-要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）A. B.C.D.10.函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ）A.B.为图象的一条对称轴C.可以等于5D.的最小值为211.已知函数的定义域均为为的导函数，且，若为奇函数，则（ ）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量.若，则__________.13.已知某扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________.14.已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.,,,a b c d 0a b c d >>>>2c cd <a c b d -<-ac bd <0c d a b->()()sin f x x ωϕ=+ππ22ϕ-<<()*s s ∈N ()y g x =()y g x =ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1ω=±π6x =-()f x s s ()(),f x g x (),g x 'R ()g x ()()()()1,43f x g x f x g x '+'=--=()g x ()22f =()()042g g '+=-'()()13f f -=-()()44g g '-='()()1,2,,2a b x x ==+ a ∥bx =120 2πcm 2cm {}n a 122311,3n n n n a S a a a a a a n +==++++ *n ∈N ()432n n S n λ+<+λ15.已知函数.（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）求函数在的最值及相应的的值.16.已知数列是递增数列，其前项和满足.（1）证明：是等差数列；（2）记数列的前项和为，求.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若.求二面角的大小.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.19.设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：（i ），（ii ）；（2）已知实数是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；（3）设.设函数是含谷函数，是它的一()()2cos cos 1,f x x x x x =-∈R ()f x ()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x {}n a n n S 22n n S a n =+{}n a 2,,n an nn b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n b n n T 2n T P ABCD -PD ⊥ABCD ABCD ,E F ,AB PD EF ∥PBC 4,AD PD PB PC ===E FC D --()()e xf x a a x =+-()f x 0a >()32ln 2f x a >+()y f x =R [],a b ()0,x a b ∈()y f x =[]0,a x []0,x b ()y f x =0x [],a b ()y f x =2y x =cos y x x =+()20,2ln 1m y x x m x >=---[2,4]m ()()432,,432p q h x x px qx p q x ∈=-+++--R ()y h x =[],a b个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.高三第一次月考参考答案（数学）一､选择题1-8.AACCB DBC8.解：由，则，即，故关于对称，又，则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故对，有，即，即，即，解得或，即不等式的解集为.二､多选题9.AD10.BD11.ABD11.已知函数的定义域均为，因为，可得，又因为为奇函数，则，可得，即为偶函数，则，即，可得，所以，可知的周期为8.对于选项A ：因为令，则，可得，故A 正确；对于选项B ：因为，令，可得，故B 正确；对于选项C ：因为，且为偶函数，则，令，可得，又因为，令，则，可得，可得，但由题设条件无法推出，故C 错误；对于选项D ：因为的周期为8，故，故D 正确；b a -(),L p q ()()12h h ≤()10h ≤(),L p q ()()20f x f x +-=()()20f x f x '--='()()2f x f x '=-'()f x '1x =()232f x x bx c =++'()f x '(),1∞-()1,∞+()()22f x f x '<+'1221x x -<+-121x x -<+22(1)(21)x x -<+()320x x +>0x >2x <-()()22f x f x '<+'()(),20,∞∞--⋃+()(),f x g x R ()()()()1,43f x g x f x g x '+'=--=()()42g x g x ''+-=-()g x ()()g x g x =--()()g x g x '='-()g x '()()42g x g x '+-=-'()()42g x g x '++=-'()()842g x g x '+++=-'()()8g x g x '=+'()g x '()()()()42,1g x g x f x g x +-=-'+'='2x =()()()()222,221g g f g '+=''-+=()()21,22g f =-='()()42g x g x ''+-=-0x =()()042g g '+=-'()()42g x g x ''+-=-()g x '()()42g x g x '-++=-'1x =-()()132g g '+=-'()()1f x g x +'=1,3x =-()()()()111,331f g f g -+-''=+=()()()()13132f f g g -++'-'+=()()134f f -+=()()13f f -=-()g x '()()44g g '-='三､填空题12.213.14.14.由，则，故，由，可得，设，则恒成立，故在）单调递减，当时，，即当时，，故.四､解答题15.，，由，得，故函数的最小正周期为，函数的对称轴方程为；（2）由（1）知，设，当时，，在上单调递增，在上单调递减，因此，当，即时，有最大值2；当，即时，有最小值.16.（1）当时，，解得，当时，，则，即，即3π1λ≤13n a n =+()()11113434n n a a n n n n +==-++++()111111114556344444n nS n n n n =-+-++=-=++++ ()432n n S n λ+<+()()()()()2324382,1433n n n n n n n n n n nλλ++++<+<=++++()()23803x f x x x x+=>+()()2223162403x x f x x x '---=<+()f x (0,∞+x ∞→+()0f x →n ∞→+238113n n n++→+1λ≤()()2π2cos cos 12cos 1cos cos22sin 26f x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=-+==+⎪⎝⎭2ππ2T ==ππ2π,62x k k +=+∈Z ππ,62k x k =+∈Z ()f x π()f x ππ,26k x k =+∈Z ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π26t x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2t =π6x =()f x 7π6t =π2x =()f x 1-1n =2111221S a a ==+11a =2n ≥21121n n S a n --=+-()22112221n n n n n a S S a n a n --=-=+-+-22121n n n a a a --+=()2211n n a a --=又数列为递增数列，所以，故，即，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（2）由（1）得，所以，则.17.解（1）证明：如图，取中点，连接，在中，分别为，的中点，所以且，在菱形中，因为且，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面.（2）解：因为平面平面，所以.连接，因为，且（或者证）所以，在菱形中，，即为正三角形，又因为为中点，所以，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为且.{}n a 1n a ≥11n n a a --=11n n a a --={}n a n a n =2,,n n n b n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数13212222422n n T n-=++++++ ()()1321222242n n -=+++++++ ()()21422142n n n-+=+-21212233n n n +=++-PC M ,FM BM PCD V ,M F PC PD MF ∥DC 12MF DC =ABCD AB ∥DC 12BE DC =BE ∥,MF BE MF =BEFM EF ∥BM EF ⊄PBC BM ⊂PBC EF ∥PBC PD ⊥,,,ABCD DB DC DE ⊂ABCD ,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥BD 222222,PB PD BD PC PD DC =+=+,PB PC =PDB PDC V V ≌BD DC =ABCD AB BD AD ==ADB V E AB DE DC ⊥D ,,DE DC DP ,,x y z D xyz -AB ∥DC DE AB ⊥又因为为正三角形且，所以，则，则，由平面，可得平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，可得，所以，所以，所以二面角的大小为.18.解（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；ADB V AD =3DE =()()()0,0,2,3,0,0,0,F E C ()()3,0,2,3,EF EC =-=-DE ⊥FCD FCD ()11,0,0n =EFC ()2,,n x y z = 2232030n EF x z n EC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2x =3y z ==()2n =1212121cos ,2n n n n n n ⋅===E FC D --60 ()()e xf x a a x =+-R ()e 1xf x a =-'0a ≤e 0x >e 0x a ≤()e 10xf x a =-<'()f x R 0a >()e 10xf x a =-='ln x a =-ln x a <-()0f x '<()f x (),ln a ∞--ln x a >-()0f x '>()f x ()ln ,a ∞-+0a ≤()f x R 0a >()f x (),ln a ∞--()f x ()ln ,a ∞-+()()ln 2min ()ln e ln 1ln af x f a a a a a a -=-=++=++()32ln 2f x a >+231ln 2ln 2a a a ++>+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a-=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在R 上单调递增，所以在.单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.18.（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；()g a ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭2min 1()02g a g ==--=>()0g a >0a >()32ln 2f x a >+()e 1xh x x =--()e 1xh x '=-e xy =()e 1xh x '=-R ()00e l 0h =-='0x <()0h x '<0x >()0h x '>()h x (),0∞-()0,∞+()()00h x h ≥=e 1x x ≥+0x =()()2ln 22e e eln 1xxx af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-ln 0x a +=ln x a =-()32ln 2f x a >+23ln 12ln 2x a a x a +++->+21ln 02a a -->()()21ln 02g a a a a =-->()21212a g a a a a-=-='()0g a '<0a <<()0g a '>a >()g a ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭2min 1()02g a g ==--=>()0g a >0a >()32ln 2f x a >+2,022,0x x y x x x -<⎧==⎨≥⎩(],0x ∞∈-[)0,x ∞∈+2y x =0x =函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.（2）由题意可知函数在区间[2，4]内先减后增，且存在谷点，令，所以，设，所以，由可知恒成立，所以在区间上单调递增，若满足谷点，则有，解得，故的取值范围是.（3）因为，所以，若恒成立，则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；因此关于x 的方程有两个相异实根，即，设两根为且，因为，所以函数在区间上不为严格增，但是当时，为严格增，所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，同理，因为，所以，因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，从而函数的含谷区间必满足，cos y x x =+1sin 0y x =-≥'()22ln 1y x x m x =---()()22ln 1g x x x m x =---()221m g x x x =---'()()221m q x g x x x -'==--()22(1)m q x x =+-'0m >()220(1)mq x x '=+>-()g x '[]2,4()()2204603g m mg ⎧=-<⎪⎨=->⎪'⎩'218m <<m ()2,18()()432432h x x px qx p q x =-+++--()()()322334324324111442p p q h x x px qx p q x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++--=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦'233110442p p q x x ⎛⎫⎛⎫+-+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y h x =1x ≤1x ≥233110442p p q x x ⎛⎫⎛⎫+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Δ0>,αβαβ<()()100h h ≤=()y h x =(],1∞-{}min 1,,x αβ<()()0,h x y h x >='()y h x =(],1∞-1α<()()12h h ≤1β>()y h x =(],∞α-[]1,β[],1α[),β∞+()y h x =[],a b [][],,a b αβ⊆即，因为，由得，所以，由得，所以，所以，当时，，当时，，因此，当时成立.(),L p q βα=-===()()1143232,2168486482h p q p q p q h p q p q p =-+++--=--=-+++--=-+()()12h h ≤3282p q p --≤-+411p q +≥()10h ≤320p q --≤23p q +≥114,432,4p p q p p -≤⎧≥⎨->⎩4p ≤(),L p q ≥≥4p >(),L p q ≥≥(),L p q 4,5p q ==-。

三种卫星中，中轨道卫星离地最近，同步卫星离地最远现在正在服役的北斗一号卫星定位系统的三颗卫星都定位在距地
面36000km的地球同步轨道上. 目前我国的各种导航定位设备都要靠美国的GPS系统提供服务，而美国的全球卫星定位系
统GPS由24颗卫星组成，这些卫星距地面的高度均为20000km.则下列说法中正确的是A．北斗一号系统中的三颗卫星的动
图，则A．物体所受的合外力不变．物体的机械能不变
．物体所受重力的功率不变．物体的动能不变=30o和θ=45o时物块所受的摩擦力大小恰好相等，则物块与木板之间
的动摩擦因数大小
为（ ）
A．
B．C．
D．
17. 如图所示，一理想变压器原线圈可通过滑动触头P的移动改变其匝数，当P接a时，原副线圈的匝数比为5:1，为
（B）电流表A1（量程0．6A，内阻r1=0．2Ω）
（C）电流表A2（量程3．0A，内阻r2=0．2Ω）
（D）滑动变阻器R1（0～10Ω）
（E）滑动变阻器R2（0～1kΩ）
（F）定值电阻R3=10Ω
（G）定值电阻R4=100Ω
（H）电源（电动势E约为9V，内阻很小）
（I）单刀单掷开关两只S1、S2，导线若干。
燃烧的热化学方程式
（2）在一定条件下，利用苯胺与醋酸酐[(CH3CO)2O]反应可生成乙酰苯胺
[
]，其反应原理如下：
温度T1和T2时，乙酰苯胺的物质的量(n)与时间(t)的关系如图所示：
则正反应为
反应（填“放热”或“吸热”）。
②当该反应处于平衡状态时，下列措施中有利于提高苯胺平衡转化率的有 （填字母）
，F的化学式
。
（2）写出反应②的化学方程式：
，若该反应消耗34gY，则转移的电子数为

南康中学高三第二次大考（于都中学联考）数学（文科）试卷本试卷共4页，分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、统考考号、座号和考试科目涂写在答题卡上。

2．第I 卷共12小题，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如要改动，必须用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

第II 卷则用黑色的钢笔（或水笔）按各题要求答在答题卡相应的位置上。

第I 卷 （ 选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．已知集合{}2,1,1-=A ，{}01|≥+=x x B ，则=⋂B A （ ） A ．{}2,1,1-B ．{}2,1C ．{}2,1-D ．{}22．若复数z 满足i z i 2)1(=+（i 为虚数单位），则复数z 虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．1-3．如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门4．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为21，且椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．1625422=+y xB ．12422=+y x C ．13422=+y x D ．1222=+y x 5．函数xxx x f cos )(2+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．偶函数)()(x x ae e x x f --=的图象在1=x 处的切线斜率为（ ）A ．e 2B ．eC ．e2D ．ee 1+7．已知等边ABC ∆内接于圆O ，D 为线段OA 的中点，则＝（ ） A ．6134- B ．6132+ C ．6532+-D ．3132+ 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，N M ,分别为11C D 和1CC 的中点，则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为（ ）A．5B．5CD9．设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，245S S =，则8325a a a 的值为（ ）A ．21±B ．2±C ．2±或－1D ．21±或－1 10．在四面体SABC 中，23,3,====⊥SC SA BC AB BC AB ,平面⊥SAC 平面BAC ，则该四面体外接球的表面积为（ ）ABC DA 1B 1C 1D 1MNA ．π8B ．π12C ．π16D ．π2411. 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)2,1(B ．),2(+∞C. )3,2( D ．)2,3(12．已知定义在R 上的函数)(x f y =对于任意的x 都满足)()1(x f x f -=+，当11<≤-x时，3)(x x f =，若函数||log )()(x x f x g a -=至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．),5(]51,0(+∞⋃ B ．),5[)51,0(+∞⋃ C ．)7,5(]51,71(⋃ D ．)7,5[)51,71(⋃第II 卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题后横线上）13．已知函数⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，则)]2([-f f 的值为 ．14. 若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥+-20302y x y x y x ，则y -x z 32=的最小值为 ．15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足),0(*2N n d d d a a n n ∈≠=-+为常数，且,,2,121==a a 且433221,,a a a a a a 成等差数列，则20S 等于 ．16．过曲线a x a x y -+-=||2上的点P 向圆O ：122=+y x 作两条切线PB PA ,，切点为B A ,,且060=∠APB ，若这样的点P 有且只有两个，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C b C a +=.(1)求角B 的大小；a(2)若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值.18．（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD 中，2,4,,AD AB E F ==分别为,AB AD 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，得四棱锥A BCDE - .(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FACE 的体积.19．（本小题满分12分）“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q 镇2009～2018年梅雨季节的降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题： (1)“梅实初黄暮雨深”.计算a 的值，并用样本平均数估计Q 镇明年梅雨季节的降雨量；(2) “江南梅雨无限愁”. Q 镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅,亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅这10年的亩产量（kg /亩）与降雨量的发生频数（年）如2×2列联表所示（部分数据缺失）.请你完善2×2列联表，帮助老李排解忧愁，来年应种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？并说明理由.(参考公式：),))()()(()(22d c b a n d b c a d c b a bc ad n K +++=++++-=20．（本小题满分12分）在直角坐标系xoy 中，动圆P 与圆1)2(:22=+-y x Q 外切，且圆P 与直线1-=x 相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)设过定点)0,2(-S 的动直线l 与曲线C 交于B A ,两点，试问：在曲线C 上是否存在点M （与B A ,两点相异），当直线MB MA ,的斜率存在时，直线MB MA ,的斜率之和为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()ln ,f x x x f x ='为()f x 的导函数. (1)令()()2,g x f x ax -'=，试讨论函数()g x 的单调区间；(2)证明：()22x f x e -<．22.（本小题满分10分）直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线13:222=+y x C .(1)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求21,C C 的极坐标方程； (2)射线)0(3≥=ρπθ与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB .南康中学2019届高三寒假数学（文科）测试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．A 【解析】∵集合}2,1,1{-=A ，集合}1|{-≥=x x B ，∴集合}2,1,1{-=⋂B A ，故选．2．C 【解一】由i z i 2)1(=+得i i i i i i i z +=-+-⋅=+=1)1)(1()1(212，所以选择C ． 【解二】设),(R y x yi x z ∈+=，由i i yi x i z i 2)1()(2)1(=+⋅+⇒=⋅+，则⎩⎨⎧=+=-2y x y x ，解得1==y x ，所以i z +=1，所以选择C ．3．D 【解析】由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误．故选：D ． 4．C 【解析】依题意椭圆的离心率得21=a c ，椭圆C 的长轴长与焦距之和为6，622=+c a ， 解得1,2==c a ，则3=b ，所以椭圆的标准方程为：13422=+y x ，故选C ． 5．C 【解析】)(cos )(2x f xxx x f -=-+=-，则函数)(x f 为奇函数，故排除AD ， 当1=x 时，,0>1cos +1=)1(f 故排除B ，故选：C ．6．A 【解析】偶函数)()(xxae e x x f --=，可得)()(x f x f =-，即)()(x x x x ae e x ae e x ---=--，可得0)(1=---x x ae e x a ）（，对R x ∈恒成立，则1=a ，函数)()(x x e e x x f --=，x x x x e e e e x x f ---++=)()('，则e f 2)1(=．故选：A ．7．B 【解析】如图所示,．设BC 中点为E ， 则)(3131++=+=+= BC BA BC BA BA 6132213131+=⋅+-=．故选：B ．8．B 【解析】取1DD 的中点E ，则BN AE //,所以异面直线AM 与BNC 1D 1M所成角为EAM ∠，不妨设正方体的棱长为2，则3,2,5===AM EM AE ,在AEM ∆中，由余弦定理知：552532295cos =⨯⨯-+=∠∴EAM ， 故选：B9．D 【解析】设}{n a 的首项，公比分别为q a ,1由245S S =得qq a q q a --=--1)1(51)1(2141， 04524=+-q q ，解得2±=q 或1±=q ，因为1≠q ，所以2±=q 或1-=q ，因为qa a a 18325=，所以选择D ．10.D 【解析】取AC 中点D ，连接BD SD ,,,3,==⊥BC AB BC ABABC ∆∴为等腰直角三角形，则,23,=⊥AC AC BD 则SAC ∆为等边三角形，D 为AC 的中点,,223,==⊥∴DC AD AC SD 取SAC ∆外心O ，连接SO CO BO AO ,,,, 可知O 点即为四面体SABC 外接球球心 则有6232332=⨯⨯====SO CO BO AO 则外接球的表面积为ππ2464=⨯.故选D 11. B 【解析】易知点M 的横坐标为2c ，代入x ab y =得a bc y 2=，因为点M 在圆222c y x =+ 外，所以有2222244c ac b c >+，解得2>e ，所以选择B . 12．A 【解析】由)()1(x f x f -=+得)2()1(+-=+x f x f ， 因此)2()(+=x f x f ，即函数)(x f 是周期为2的周期函数． 函数||log )()(x x f x g a -=至少有6个零点可转化成)(x f f =与||log )(x x h a =两函数图象交点至少有6个， 需对底数a 进行分类讨论．若1>a ，则15log )5(<=a h ，即5>a . 若10<<a ，则15log )5(-≥=-a h ，即510≤<a . 所以a 的取值范围是),5(]51,0(+∞⋃．故选A .二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【解析】42)2()]2([2===-f f f14. 【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥+-20302y x y x y x ．表示的可行域如图：由⎩⎨⎧=+=+-22y x y x 解得：)2,0(A ， y x z 32-=取得最小值为：6-.15．【解析】由433221,,a a a a a a 成等差数列，可得：4321322a a a a a a +=，),0(*2N n d d d a a n n ∈≠=-+为常数，且,,2,121==a ad d a a d d a a +=+=+=+=∴2,12413,）0(1)2)(1(2)1(22≠=⇒+++=+⨯⨯∴d d d d d 12=-∴+n n a a ．∴数列{}n a 的奇数项与偶函项分别成等差数列，公差为1，首项分别为1，2．1201291021012910110)()(2042193120=⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=+++++++=a a a a a a S ． 16．【解析】过点P 作圆:O 122=+y x 的两条切线，设切点分别为B A ,，且060=∠APB ， 则030=∠OPA ，则有2||2||==AO PO ，则P 的轨迹为422=+y x ，33,2||,,x a x ay x a x a x a x a -≥⎧=-+-=⎨-+<⎩当a x <时，曲线为)(0a x a y x <=-+，当a x ≥时，曲线为)(033a x a y x ≥=--， 当0<a 时，若这样的点P 有且只有两个，必有210|3|<a ， 即2103<-a ，解可得3102->a ， 当0=a 时，曲线为⎩⎨⎧<-≥=+=0,0,3||2x x x x x x y ，符合题意，当0>a 时，若这样的点P 有且只有两个，必有22||<a ，解可得22<a ， 则)22,3102(-∈a ；故答案为：)22,3102(-． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【解析】（1）因为cos sin b C b C a +=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得sin cos sin sin B C B C +sin A =.………………2分因为A B C π++=，所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+. 即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+. ………………………………4分因为sin 0C ≠，所以sin cos B B =. ………………………………………………………5分因为cos 0B ≠，所以tan 1B =. 因为()0,B π∈，所以4B π=.………………………6分（2）设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =.…………………………………………7分 因为4B π=，则14BD AD a ==，34CD a =.……………………………………9分所以AC ==，AB =.………………………………10分由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-=⋅5=-.所以cos A 的值为5-分18．【解析】(1)取线段AC 的中点M ，连接,MF MB ， ………………………………1分因为F 为AD 的中点，所以CD MF //，且12MF CD =， 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以CD BE //，且12BE CD =.…………………………………………………………2分所以BE MF //，且M F BE =,…………………………………………………………3分 所以四边形BEFM 为平行四边形，故BM EF //， …………………………………4分 又EF ⊄平面,ABC BM ⊂平面ABC ，所以EF // 平面ABC .…………………………………………………………………5分 (2) 在折叠前，四边形ABCD 为矩形，2,4,AD AB E ==为AB 的中点，所以,ADE CBE ∆∆都是等腰直角三角形，且2AD AE EB BC ====，所以45DEA CEB ∠=∠=，且DE EC ==又180,90DEA DEC CEB DEC ∠+∠+∠=∴∠=，………………………………7分 又平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE平面,BCDE DE CE =⊂平面BCDE ，所以CE ⊥平面ADE ，即CE 为三棱锥C EFD -的高. ……………………………9分 因为F 为AD 的中点，所以12121=⨯⨯⨯=∆AE AD S AEF ，………………………10分 所以四面体FACE 的体积3222213131=⨯⨯=⨯⨯=∆CE S V AEF .……………12分 19．【解析】(1)频率分布直方图中第四组的频率为1.0003.0004.0002.0100-1=++⨯）（ 所以001.0=a …………………………………………………………………………2分 所以用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量为）（mm 280=45+105+30=1.0×450+3.0×350+4.0×250+2.0×150……………5分(2)根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为7=004.0+003.0×100×10）（……………………………………………………………6分进而完善列联表如图.………………………………………………………………………………………………8分323.1270.1638064372512(10K 22<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=）………………………………………10分故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.……………………………11分 而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅。