高等数学文科试卷01

高考数学（文科）试题及答案2套（一）第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．()()8811i i +--=A ．0B ．32iC ．-32D ．322．已知全集为R ，集合112x A x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|60B x x x =--<，则A ∩B=A ．{}0x x ≤B ．{}23x x -<<C ．{}|20x x -<≤D ．{}03x x ≤<3．某学校组织高三年级的300名学生参加期中考试，计划从这些考生中用系统抽样的方法选取10名学生进行考场状态追踪．现将所有学生随机编号后安排在各个考场，其中001～030号在第一考场，031～060号在第二考场，…，271～300号在第十考场．若在第五考场抽取的学生编号为133，则在第一考场抽到的学生编号为A ．003B ．013C ．023D ．0174．设变量x ，y 满足不等式组1010,||5,x y y -≤+≤⎧⎨≤⎩则23x y +的最大值等于 A ．15 B ．20 C ．25 D ．305．如图所示程序框图的功能为计算数列{2n-1}前6项的和，则判断框内应填A ．5i ≤?B ．5i >？C ．6i ≥?D ．6i >?6．函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是 A ．()25,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,22233k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+ 7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆22430x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为A ．233B ．3C ．2D ．63 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且23b c a b +=+，56a c a b +=+，则此三角形最大内角的余弦值为A ．32-B ．12- C ．22- D ．0 9．已知tan cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α= A ．0或1 B ．0或-1 C ．0 D ．110．已知x>y>z>0，设cosy a x=，cos y z b x z -=-，cos y z c x z +=+，则下列不等关系中正确的是 A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为A ．2865+．3065+C ．305+．6065+12．在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD=30°，AB 2+4BD 2=6，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 外接球的表面积是A ．4πB ．5πC ．6πD ．8π第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题13．已知函数()3f x x =在点P 处的切线与直线31y x =-平行，则点P 坐标为________．14．桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机拿起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为________．15．若,a b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b -在向量b 方向上的投影为________． 16．已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，M ，N 为C 上的点，点D(5，0)满足()0MD DN λλ=>，向量MN 的模等于实轴长的2倍，则△MNF 的周长为________．三、解答题17．下表列出了10名5至8岁儿童的体重x(单位kg)(这是容易测得的)和体积y(单位dm 3)(这是难以测得的)，绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系： 体重x 17.00 10.50 13.80 15.70 11.90 10.20 15.00 17.80 16.00 12.10体积y 16. 70 10.40 13.50 15.70 11.60 10.00 14.50 17.50 15.40 11.70(Ⅰ)求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+(系数精确到0.01)；(Ⅱ)某5岁儿童的体重为13.00kg ，估测此儿童的体积．附注：参考数据：101140.00i i x==∑，101137.00i i y ==∑，1011982.90i i i x y ==∑，10212026.08i i x ==∑， ()102166.08i i x x =-=∑，()102164.00i i y y =-=∑，137×14=1918.00．参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211n n i i i i i i n n i i i i x x y yx y nxy b x nx xx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-． 18．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和122n n S λ-=-．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设()22log 1n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．如图所示，已知在四棱锥P-ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，BC ⊥PC ，且112AD DC PA AB ====． (Ⅰ)求证：平面PBC ⊥平面PAC ；(Ⅱ)若点M 是线段PB 的中点，且PA ⊥AB ，求四面体MPAC 的体积．20．已知平面内一个动点M 到定点F(3，0)的距离和它到定直线l ：x=62． (Ⅰ)求动点M 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若直线l ：x+y-3=0与轨迹T 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线与T 交于C ，D 两点，试问A ，B ，C ，D 是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．21．已知函数()()()1ln 211f x m x m x =+-++．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若()()x F x e f x =-恰有两个极值点，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第1题计分．作答时请写清题号． 22．选修4-4：极坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线12cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)经过伸缩变换2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C 2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ)设曲线C 3的极坐标方程为2sin 33πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P(1，0)，求11||||PM PN +的值． 23．选修4-5：不等式选讲设不等式|1||2|3x x -++≤的解集与关于x 的不等式20x ax b +-≤的解集相同．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求函数y x a b x =-+-的最大值．参考答案（二）一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分。

全国1卷高考文科数学试题及答案一、选择题。

1. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x 5，那么f(-1)的值是多少？A. -6。

B. -4。

C. -2。

D. 0。

答案，C。

2. 若a+b=5，a-b=3，那么a的值是多少？A. 1。

B. 2。

C. 3。

D. 4。

答案，D。

3. 已知等差数列的前五项分别是1，4，7，10，13，那么这个等差数列的公差d是多少？A. 2。

B. 3。

C. 4。

D. 5。

答案，B。

4. 若正方形的边长为x，那么它的对角线长是多少？A. x。

B. x√2。

C. 2x。

D. 2x√2。

答案，B。

5. 若sinθ = 1/2，那么θ的值是多少？A. π/6。

B. π/4。

C. π/3。

D. π/2。

答案，A。

二、填空题。

1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x 1，那么f(2)的值是多少？答案，15。

2. 若a+b=7，a-b=1，那么a的值是多少？答案，4。

3. 若等差数列的前五项分别是2，5，8，11，14，那么这个等差数列的公差d是多少？答案，3。

4. 若正方形的边长为3，那么它的对角线长是多少？答案，3√2。

5. 若cosθ = 1/2，那么θ的值是多少？答案，π/3。

三、解答题。

1. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(-3)的值。

解，将x=-3代入函数中，得到f(-3) = (-3)^2 + 2(-3) + 1 = 9 6 + 1 = 4。

2. 若a+b=8，a-b=2，求a的值。

解，将a+b=8和a-b=2两个方程相加，得到2a=10，解得a=5。

3. 已知等差数列的前五项分别是3，7，11，15，19，求这个等差数列的公差d。

解，设等差数列的公差为d，根据等差数列的性质，可得到11-7=7-3=d，解得d=4。

4. 若正方形的对角线长为5，求它的边长。

解，设正方形的边长为x，根据勾股定理可得x^2 + x^2 = 5^2，解得x=5/√2。

一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 5B. 6C. 7D. 82. 若a，b是实数，且|a+b| ≤ 2，则|a-b|的最大值为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知向量a = (2, 3)，b = (1, -2)，则|a+b|的值为：A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知函数f(x) = log2(x+1)，则f(3)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第10项与第15项之和为：A. 14a1 + 19dB. 15a1 + 19dC. 14a1 + 20dD. 15a1 + 20d6. 已知等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则第5项与第8项之积为：A. b1q^4B. b1q^7C. b1q^5D. b1q^87. 若三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a+b+c=12，则三角形ABC的面积最大值为：A. 18B. 24C. 36D. 488. 已知函数f(x) = e^x，则f(x)在x=0处的导数为：A. 1B. eC. e^2D. e^39. 已知函数f(x) = sin(x)，则f'(π)的值为：A. 0B. 1C. -1D. sin(π)10. 若等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则第n项与第2n项之差的平方为：A. n^2d^2B. (n+1)^2d^2C. (2n-1)^2d^2D. (n-1)^2d^2二、填空题（每题5分，共20分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处的导数为0，则a+b+c=______。

12. 已知向量a = (2, 3)，b = (1, -2)，则a·b的值为______。

13. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=______。

14. 已知等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn=______。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。

2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。

4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。

2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(甲卷)一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合 A 1,2,3,4,5,9 ， B |1x x A ，则A B =（）A. 1,3,4B. 2,3,4C.1,2,3,4 D.0,1,2,3,4,92、设z ,则z z （）A.-2C. D.23、若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y，则5z x y 的最小值为()A.12B.0C.52D.724、等差数列 n a 的前n项和为S n ，若9S 1 ，则37a a =（）A.-2B.73 C.1 D.295、甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.236、已知双曲线 2222C:10,0x y a b a b的左、右焦点分别为 1F 0,4、 2F 0,4 且经过点 P 6,4 ，则双曲线C 的离心率是（）A.135B.137C.2D.37、曲线 631f x x x 在 01 ，处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.2C.12D.28、函数2sin x x y x e e x 在区间 -2.82.8，的图像大致为()AB CD9、已知coscos sin a a a ，则tan 4a（）A.1B.1C.2D.1 10、已知直线20ax y a 与圆22C 410x y y ：交于A ，B 两点，则AB的最小值为（）A.2B.3C.4D.611、设 ， 为两个平面，m ，n 为两条直线，且m ，下述四个命题：①若//m n ，则//n 或//n ②若m n ，则n 或n ③若//n ，且//n ，则//m n ④若n 与 ，所成的角相等，则m n其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④12、在△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c,已知B 3，294b ac，则sin sinA C （）A.13 B.13C.2D.13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年普通高等学校招生全国统一测试文科数学考前须知：1 .答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在做题卡上.2 .答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把做题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号.答复非选择题时,将答案写在做题卡上.写在本试卷上无效.3 .测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.一、选择题：此题共 12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目 要求的. 1,集合 A 0,2, B 2, 1, 0,1, 2,那么 AI BA. 0, 2B, 1,2C. 0D. 2 , 1 , 0 , 1 , 22 .设 z 1-- 2i ,那么 z1 iA. 0B. 1C. 1D. 223.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图：那么下面结论中不正确的选项是 A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半y- 1的一个焦点为〔2,0〕,那么C 的离心率为 42/2D. jO 1 , 02,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,那么该圆柱的外表积为绝密★启用前2X 4.椭圆C:七 aC 2 C.5.圆柱的上、下底面的中央分别为6.7.8.9. A. 12 .. 2兀设函数f xA. y 2x在^ ABC中,3uurA. -AB3 uurC. 4 AB函数A.B.C.D.B. 12兀 D. 10711 x2 ax .假设f x为奇函数,那么曲线B. y xC. y 2xAD为BC边上的中线,E为AD的中点,那么1 uur-AC41 uur-AC 42 ・ 2 cl,f x 2cos x sin x 2,那么在点0,0处的切线方程为D. y x的最小正周期为的最小正周期为的最小正周期为的最小正周期为2 Tt,最大值为2 Tt,最大值为uurEB1 uuu 3 uuirB. -AB -AC4 41 uuu 3 uuirD. AB -AC4 4某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图. 圆柱外表上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱外表上的点N在左视图上的对应点为B,那么在此圆柱侧面上,从到N的路径中,最短路径的长度为A. 2 17B. 2,5C. 3D. 210.在长方体ABCD A1B1c l D1中,AB BC 2, AC1与平面BB1c l e所成的角为30 ,那么该长方体的体积为A. 8 D. 8、311.角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点cos 2 2 i一,那么a3 B. r 2 5C. ------5D.12.设函数xW0x 1 f 2x的x的取值范围是A. B.,C. 1,0 D.、填空题〔此题共4小题,每题5分,共20分〕13 .函数f x log2x2a ,假设f 3 1 ,贝U a .x 2y 2w 014 .假设x, y满足约束条件x y 1 > 0 ,那么z 3x 2y的最大值为 .y w 015 .直线y x 1与圆x2y22y 3 0交于A, B两点,那么|AB .16 . △ ABC 的内角A, B , C 的对边分别为a, b, c,bsinC csin B 4asinBsinC , b2c2a28 , 那么^ ABC的面积为.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.〔一〕必考题：共60分.17 . 〔 12 分〕a.数列a n满足& 1 , na n 1 2 n 1 a n,设b n — . n〔1〕求 D , b2 , A ;〔2〕判断数列bn是否为等比数列,并说明理由；〔3〕求a n的通项公式.学,科网18 . 〔12 分〕如图,在平行四边形ABCM中,AB AC 3, /ACM 90 ,以AC为折痕将^ ACM折起,使点M 到达点D的位置,且AB ± DA .〔1〕证实：平面ACD,平面ABC ;22〕 Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP DQ - DA ,求三棱锥Q ABP的体积.319 . 〔12 分〕某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据〔单位：m3〕和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下：日用0, 0.1 0.1 , 0.2 0.2, 0.3 0.3, 0.4 0.4, 0.5 0.5, 0.6 0.6, 0.7 水量频数 1 3 2 4 9 26 5日用0 , 0.1 0.1, 0.2 0.2 , 0.3 0.3, 0.4 0.4 , 0.5 0.5, 0.6水量频数 1 5 13 10 16 5 (1)(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水？(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)20 . (12 分)设抛物线C：y22x,点A 2, 0 , B 2 , 0 ,过点A的直线l与C交于M , N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程；(2)证实：/ ABM / ABN .21 . ( 12 分)函数f x ae x ln x 1 .(1)设x 2是f x的极值点.求a,并求f x的单调区间；1(2)证实：当a>—时,fx>0. e(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.22 .［选彳4-4:坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y k x 2.以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为22 cos 3 0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)假设C1与C2有且仅有三个公共点,求G的方程.23 .［选彳4-5:不等式选讲］(10分)f x x 1 ax 1 .1)当a 1 时,求不等式 f x 1 的解集；(2)假设xC 0, 1时不等式f x x成立,求a的取值范围.绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一测试文科数学试题参考答案一、选择题1 . A 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D7. A 8. B 9. B 10. C 11 . B 12. D二、填空题13. -7 14. 6 15. 2 2 16.生3三、解做题17 .解：(1)由条件可得a n+i=2(n 1)a n将n=1代入得,a2=4a,而a1=1,所以,a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以,a3=12.从而b1=1, b2=2, b3=4.(2) ｛b n｝是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得-al±空L,即b n+1=2b n,又b1 = 1,所以｛b n｝是首项为1,公比为2的等比数歹U. n 1 n(3)由(2)可得包2n 1,所以a n=n- 2n-1. n18 .解：(1)由可得, BAC=90 , BA± AC .又BAL AD 所以AB1平面ACD又AB平面ABC所以平面ACD_平面ABC(2)由可得, DGCMAB=3, DA=3班.又BP DQ 2DA ,所以BP 272 .3作Qa AC,垂足为E,那么QE P 1 DC .3由及(1)可得DCL平面ABC所以QEL平面ABC QE=1.因此,三棱锥Q ABP的体积为V Q ABP - QE S A ABP -1-3 242sin45 1 . 3 3 2解：(1) (2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后 50天日用水量小于的频率为X +1 x + x +2X=,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于的概率的估计值为. (3)该家庭未使用节水龙头 50天日用水量的平均数为 - 1 __ _ / c/ CCC CCC _ cc cccc 、ccXI —(0.05 1 0.15 3 0.252 0.354 0.459 0.5526 0.655) 0.48 .50该家庭使用了节水龙头后 50天日用水量的平均数为 - 1,cc / C/ CC "CC "C "C 、ccX 2 —(0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5) 0.35 .50 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48 0.35) 365 47.45(m 3).20 .解：(1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2, 2)或(2, -2).所以直线BM 勺方程为y =lx 1或y 2x 1. 22(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 勺垂直平分线,所以/ ABIMZ ABN当 l 与 x 轴不垂直时,设 l 的方程为 y k(x 2)(k 0), M(x1,y1),N (x 2, y 2),那么 x 1>0, x 2>0.r y k(x 2) 一口 2一' 2由得 ky - 2y - 4k =0,可知 y 1+y 2=- , y 1y 2= - 4.y 3 2xk直线BM BN 的斜率之和为 y 2x 2y 1 x 1y 2 2( y 1 ① x 2 2(x 1 2)(x 2 2)比 2及y“y 2, y/2的表达式代入①式分子,可得 k2y 1y 2 4k(y 〔 y 2) 8 8 y 2) 0 • k k所以k BM +k BN =0,可知BM BN 的倾斜角互补,所以/ ABM/ABN 综上,/ ABM/ABN121 .解：(1) f (x)的定义域为(0,), f ' (x) =a e x --.x1由题设知,f(2) =0,所以a =—2 .2e当 0<x<2 时,f ' (x) <0;当 x>2 时,f ' (x) >0.2 V.1 V 1从而 f (x) =2e ln x 1, f(x) =-2e - .2e2e x19.k BMk BNx 1 2 将 X " 2 , x 2 k x 2y 1 x 1y 2 2( y 1所以f (x)在(0, 2)单调递减,在(2, +8)单调递增. x(2)当a>1 时,f (x) > 旦lnx 1 . e ex x .e e 1设g (x) =— In x 1 ,那么g (x) — e e x当0<x<1时,g' (x) <0;当x>1时,g' (x) >0.所以x=1是g (x)的最小值点.故当x>0 时,g (x) >g (1) =0.1因此,当a工时,f(x) 0. e22 .［选彳4-4 :坐标系与参数方程］(10分)解：(1)由x cos , y sin得C2的直角坐标方程为2 2(x 1) y 4.(2)由(1)知C2是圆心为A( 1,0),半径为2的圆.由题设知,C I是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为1I, y轴左边的射线为l2 .由于B在圆C2的外面,故C I与C2有且仅有三个公共点等价于1I与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且1I与C2有两个公共点.| k 2| 4当1I与C2只有一个公共点时, A到l1所在直线的距离为2 ,所以2 2 4 5 ,故k —或k 0 ..k 1 34 一一经检验,当k 0时,1I与C2没有公共点；当k —时,1I与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共3点.|k 2| 4当l2与C2只有一个公共点时, A到l2所在直线的距离为 2 ,所以T=2= 2 ,故k 0或k -.k 1 34 一经检验,当k 0时,1I与C2没有公共点；当k7时,l2与C2没有公共点.34 综上,所求G的万程为y -|x| 2 .323.［选彳4-5 :不等式选讲］(10分)2,x 1,解：(1)当a 1 时,f(x) | x 1| | x 1| ,即 f (x) 2x, 1 x 1,2,x 1.(2)当x (0,1)时|x 1| |ax 1| x成立等彳^于当x (0,1)时|ax 1| 1成立.假设 a 0 ,那么当x (0,1)时| ax 1| 1 ；2 2假设a 0, |ax 1| 1的解集为0 x —,所以—1,故0 a 2 .a a4故不等式f(x) 1的解集为{x|x 1}.5综上,a的取值范围为(0,2].。

2024年高考全国甲卷数学（文）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（）A ．-i B ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B．2C ．12D．8．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B．C．D ．9．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．1B．1-C．2D．1-10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．14．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．2024年高考全国甲卷数学（文）参考答案一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,93．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=，即4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．29A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线22:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）7．曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B ．2C ．12D ．【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.8．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．9．已知cos sin ααα=-tan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1-CD ．1-是两个平面，是两条直线，且①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确；②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误；①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B CD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．已知1a >，8log log 42a a -=-，则=a ．【答案】6414．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．【答案】()2,1-【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.答案为：()2,1-三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；17．已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析18．设椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+中，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．222=+-+≥+-+=++-≥⨯= 22()()()()(1)326 a b a b a b a b a b a b。

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:四川、宁夏、内蒙古、青海、陕西）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设z =，则z z ⋅=（ ）A. 2−B.C.D. 22. 若集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ）A. {}1,3,4B. {}2,3,4C. {}1,2,3,4D. {}0,1,2,3,4,93. 若,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A.12B. 0C. 52−D. 72−4. 甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A.14B.13C.12D.235. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ） A. 2−B.73C. 1D.296. 已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4−，点()6,4−在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A. 4B. 3C. 2D.7. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A.16B.13C.12D.238. 函数()()2e esin xxf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的图象大致为（ ）A. B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1B. 1C.D. 110. 已知直线20ax y a ++−=与圆2241=0C x y y ++−：交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 611. 设αβ、为两个平面，m n 、为两条直线，且m αβ=.下述四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则n α⊥或n β⊥ ③若//n α且//n β，则//m n ④若n 与α,β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④12. 在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.13B.13C.2D.13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．14. 已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ，圆台的母线长分别为()212r r −,()213r r −，则圆台甲与乙的体积之比为______．15. 已知1a >且8115log log 42a a −=−，则=a ______． 16. 曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n S 的前n 项和.18. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：（1）填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产12.247≈）的附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++19. 如图，//,//AB CD CD EF ，2AB DE EF CF ====，4,CD AD BC ===，AE =M 为CD 的中点.（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M到ADE 的距离.20 已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． （1）求()f x 的单调区间；（2）当2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．..21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a .23. 已知实数,a b 满足3a b +≥． （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a −+−≥．的的参考答案1.【答案】D【详解】依题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选：D 2. 【答案】C【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =， 于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选：C 3. 【答案】D【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =− 即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选：D. 4. 【答案】B【详解】解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率81=243P =. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选：B 5. 【答案】D【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D 6. 【答案】C【详解】由题意，设()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选：C. 7. 【答案】A【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++−+⋅+'=，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++−+⨯+'==， 即该切线方程为13y x −=，即31y x ，令0x =，则1y =，令0y =，则13x， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯−=. 故选：A. 8. 【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D. 【详解】()()()()()22ee e e sin xx x x f x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故可排除D. 故选：B. 9. 【答案】B【详解】因为cos cos sin ααα=−所以11tan =−α，tan 13⇒α=−，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选：B .10. 【答案】C【详解】因为直线20ax y a ++−=，即()120a x y −++=，令10x −=，则x 1,y 2==−，所以直线过定点1,2，设()1,2P −， 将圆2241=0C x y y ++−：化为标准式为()2225x y ++=，所以圆心()0,2C −，半径r =，1PC = 当PC AB ⊥时，AB 的最小，此时24AB ===.故选：C 11. 【答案】A【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β， 当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确； 对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ， 同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β， 因为s ⊂平面α，m αβ=//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 12. 【答案】C 【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+−=， 即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==， 所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=. 故选：C. 13. 【答案】2【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦， 当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：2 14.【答案】4【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==−甲，)12h r r ==−乙，所以((212113143S S h r r V h V h S S h +−====++甲甲甲乙乙乙. 故答案为：4. 15. 【答案】64 【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a == 故答案：64.16.【答案】()2,1−详解】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−， 因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.为【故答案为：()2,1−17. 【答案】（1）153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）1553154324nn ⎛⎫⋅−−⎪⎝⎭ 【小问1详解】因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =， 故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S ⎡⎤⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−， 所以数列{}n S 的前n 项和23123355553233332nn n T S S S S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎡⎤−⎢⎝⎥⎢⎥⎣⎦ ⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭ 5513333155315522432413nnn n ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=⋅=⋅−− ⎪⎛⎫⎝⎭− ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦−. 18.【答案】（1）答案见详解 （2）答案见详解 【解析】 【小问1详解】 根据题意可得列联表：可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯−⨯===⨯⨯⨯， 因为3.8414.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=， 用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+ 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品优级品率提高了. 19. 【答案】（1）证明见详解； （2）13【解析】 【小问1详解】由题意得，//EF MC ，且EF MC =，所以四边形EFCM 是平行四边形，所以//EM FC ， 又CF ⊂平面,BCF EM ⊂/平面BCF ， 所以//EM平面BCF ； 【小问2详解】取DM 的中点O ，连接OA ，OE ，因为//AB MC ，且AB MC=， 所以四边形AMCB是平行四边形，所以AM BC ==又AD =，故ADM △是等腰三角形，同理EDM △是等腰三角形，可得,,3,OA DM OE DM OA OE ⊥⊥====又AE =222OA OE AE +=，故OA OE ⊥.又,,,OA DM OE DM O OE DM ⊥⋂=⊂平面EDM ，所以OA ⊥平面EDM ，的易知122EDMS=⨯=在ADE 中，cos4DEA ∠==，所以1sin 22DEADEA S ∠==⨯⨯=. 设点M 到平面ADE 的距离为d ，由M ADE A EDM V V −−=，得1133ADEEDMS d S OA ⋅=⋅，得13d =，故点M 到平面ADE 的距离为13.20. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x−'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；0a >时，()f x 的单调递增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=， 即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证21. 【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】 【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k kk =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k−+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x −⨯−⨯+−++++==−−2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.22. 【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】 【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩代入cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. 【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为22x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−=2==，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB ==2=，解得34a =23. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+， 因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+; 【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。

2021年高考文科数学真题及答案全国卷 1一、选择题〔题型注释〕1．集合 M x|1 x 3,N x| 2 x 1，那么MIN 〔 〕A. (2,1)B. (1,1)C. (1,3)D. (2,3)【答案】B 【解析】试题分析：根据集合的运算法那么可得：考点：集合的运算MIN x| 1x 1，即选B ．2．假设tan 0，那么A.sin0B.cos0C.sin20D.cos20【答案】C 【解析】试题分析：由 tansin ，可得：sin ,cos同正或同负，即可排除 A 和B ，0 cos又由sin2 2sincos ，故 考点：同角三角函数的关系 3．设z1i ，那么|z|1 isin2 0.A.1B.2C.22【答案】B【解析】32D.2试题分析：根据复数运算法那么可得： z1 i i 1i i1i i 1 1i ，1(1i)(1i)22 2由模的运算可得： |z|(1)2( 1)2 2 .222考点：复数的运算4．双曲线x 2y 2 1(a 0)的离心率为 2，那么aa 23A.2B.6 C.5 D.122【答案】D【解析】试题分析：由离心率ec可得:e 2a 2 3 22，解得：a1．aa 2考点：复数的运算5．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论中正确的选项是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)| 是奇函数 D. |f(x)g(x)|是奇函数【答案】C 【解析】试题分析：由函数 f(x),g(x)的定义域为 R ，且f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，可得：|f(x)|和|g(x)|均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C ．考点：函数的奇偶性6．设D,E,F 分别为 ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，那么EBFCA.ADB.【答案】A【解析】1AD C. 1BCD.BC2 2试题分析：根据平面向量根本定理和向量的加减运算可得：在BEF 中，uuur uuur uuur uuur1 uuur ，同理 uuur uuur uuur uuur 1uuur， 那么EBEFFBEF2AB FCFEECFE AC2uuur uuur uuur1uuuruuur 1 uuur1uuur 1uuur1 uuur uuur uuur EBFC(EFAB)(FEAC)( ABAC)2 (AB AC)AD2 222．考点：向量的运算7．在函数①ycos|2x|，②y|cosx|，③ycos(2x),④y tan(2x4 )中，6最小正周期为 的所有函数为A.①②③B.①③④C.②④D. ①③【答案】A【解析】试题分析：①中函数是一个偶函数，2; ②中函数其周期与ycos2x 相同，T2y|cosx|的周期是函数ycosx 周期的一半，即T; ③T2 ;④T，22那么选A ．考点：三角函数的图象和性质8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，那么这个几何体是〔 〕A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】试题分析：根据三视图的法那么：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如以下列图所示．考点：三视图的考查9．执行右面的程序框图，假设输入的a,b,k分别为1,2,3，那么输出的M( )A.20B.3【答案】D 【解析】71615 C.5D.28试题分析：根据题意由13成立，那么循环，即M113,a2,b3,n2;又由22223成立，那么循环，即M228,a3,b8,n3;又由33成立，那么循环，3315815332315 ,n4;又由43不成立，那么出循环，输出M即M8,a,b8．2838考点：算法的循环结构C：y 2x的焦点为F,A x0,y05，那么x010．抛物线是C上一点，AF4x0〔〕 A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A 【解析】 试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：x1，那么有：|AF|x 0 1 ，即有x 01 5x 0，可解得x 0 1．444 4考点：抛物线的方程和定义11．函数f(x) ax 3 3x 2 1，假设f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0 0，那么a 的取值范围是〔A 〕2,〔B 〕1,〔C 〕,2〔D 〕,1【答案】C【解析】试题分析 ：根据题中函数特征，当 a0 时，函数f(x)3x 21显然有两个零点且一正一负;当a0时，求导可得： f'(x)3ax 2 6x3x(ax2)，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：x (,0)和x(2 )时函数单调递增;x2 ,(0，)时aa函数单调递减，显然存在负零点;当a 0时，求导可得：f'(x) 3ax 2 6x 3x(ax 2)，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：x(,2)和x (0,)时函数单调递减;x(2，0)时函数单调递增，欲要使得函aa22322数有唯一的零点且为正，那么满足：f(a ) 0，即得：a(a )3(a )1，可解f(0)得：a 24，那么a 2(舍去〕,a 2．考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用 ;3.分类讨论的运用12．设x ，y 满足约束条件x y a,x ay 的最小值为 7，那么ax y且z1,〔A 〕-5〔B 〕3〔C 〕-5或3〔D 〕5或-3【答案】B【解析】试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如以下列图所示，两直线交点坐标为：A(a1,a1) ，又由题中zxay 可知，当a0时，z有最小值：22a1a a1a 22a1 a 2 2a17，解得：a3;当a0时，zz22，那么22无最小值．应选B考点：线性规划的应用13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为________.2【答案】3【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其根本领件有：数1，数2，语;数1，语，数2;数2，数1，语;数2，语，数1;语，数2，数1;语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，那么其概率为：P42．63考点：古典概率的计算14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：A城市B城市C城市甲去过没去去过乙去过没去没去丙去过可能可能可以得出结论乙去过的城市为：A．考点：命题的逻辑分析e x1,x1,15．设函数 f x1那么使得 f x2成立的x的取值范围是________.x3,x1,【答案】( ,8]【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，那么当x1时，由e x12，可解得：x1ln2，1x23那么此时：x1;当x1时，由x32，可解得：8，那么此时：1x8，综合上述两种情况可得：x(,8]考点：1.分段函数;2.解不等式16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.山高BC100m，那么山高MN________m.【答案】150【解析】试题分析：根据题意，在ABC中，CAB450,ABC900,BC100，易得：AC1002;在AMC中，MAC750,MCA600,AC1002，易得：AMC450，由正弦定理可解得：AC AM，即：sin AMC sinACM100231003;在AMN中，已知AM222MAN600,MNA900,AM1003，易得：MN150m.考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用八、解答题17．a n是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根。

2021年全国高考数学卷文科卷 1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题〔题型注释〕1．集合M x|1 x 3,N x| 2 x 1，那么MIN 〔〕A. (2,1)B. (1,1)C. (1,3)D. (2,3)2．假设tan 0，那么A.sin0B.cos0C.sin20D.cos203．设z1i，那么|z| 1iA.1B.2C.3D.22224．双曲线x2y21(a0)的离心率为2，那么aa23A.2B.6C.5D.1 225．设函数f(x),g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论中正确的选项是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数6．设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点，那么EB FCA.ADB.1ADC.1BC 227．在函数①y cos|2x|，②y|cosx|正周期为的所有函数为D.BC，③y cos(2x),④y tan(2x)中，最小64A.①②③B.①③④C.②④D.①③8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，那么这个几何体是〔〕试卷第1页，总6页A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9．执行右面的程序框图，假设输入的a,b,k分别为1,2,3，那么输出的M()A.20B.7C.16D.1532585y2x的焦点为F,A x0,y0是C上一点，AF，那么x0〔〕10．抛物线C：4x0C.4D.811．函数f(x)ax33x21，假设f(x)存在唯一的零点x0，且x00，那么a的取值范围是〔A〕2,〔B〕1,〔C〕,2〔D〕,1试卷第2页，总6页二、填空题〔题型注释〕12．设x，y满足约束条件x y a,且z xay的最小值为7，那么ax y1,〔A〕-5〔B〕3〔C〕-5或3〔D〕5或-313．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，那么2本数学书相邻的概率为________.14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.15．设函数fx e x1,x1,x2成立的x的取值范围是________.1那么使得fx3,x1,16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.山高BC 100m，那么山高MN________m.三、解答题〔题型注释〕试卷第3页，总6页全国高考数学卷文科卷1试题及答案解析文档17．a n是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x 60的根。