运筹学第7章最大流问题 PPT

THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。

第3页
问题的提出
v 如果我们把图看做输油管道网， s 为起点，vt为终点， 管道网络中每边的最大通过能力即容量是有限的，实际流 v1 , v2 , v3 , v4 为中转站，边上的数表示该管道的最 量也不一定等于容量，上述问题就是要讨论如何充分利用 装置的能力，以取得最好效果（流量最大），这类问题通 大输油能力，问应该如何安排各管道输油量，才能 常称为最大流问题。 使从 vs 到vt 的总输油量最大？
例7.5 用标号法求图所示网络的最大流。弧旁 的数是(cij,fij)
v2
(3,3)
(4,3) v4
(5,3)
(1,1)
(3,0)
vs
(5,1)
(1,1)
vt
(2,1)
v1 (2,2)
v3
第18页
1） 寻找增广链：
a) 先给 v s 标号（0，+∞）
v2
(3,3)
(4,3) v4
(5,3)
(1,1)
j i ij ij i j
(b)对v j 是vi发出的后向非零弧的起点， 即f ji 0, 令l(v )=min[l(v}, 标号为(vi , j )；否则不标号 j min{ f ji , i ),f ],标号(-v ,l(v ));否则不标号
j i ji i j
(3)重复(2)直到 若vt 未得到标号，说明不存在vs到vt的增广链； 否则按如下方法调整。 2.调整过程（增加流量）： fij θ 增广链上的前向弧 t （ ）令fij' fij θ 增广链上的后向弧 1 t f 不在增广链上 ij （2）去掉所有标号，回到第1步，对可行流f ' 重新标号。
9(9)
f n cn

第6页/共36页
(1)为了便于弧标号法的计算，首先需要将最大流 问题（譬如图10.3.1）重新改画成为图10.3.2的形式。
图10.3.2
第7页/共36页
在图10.3.2中，每条弧 上V标ij 有两个数字，其
中，靠近点 i 的是 ，c靠ij 近点 j 的是 。如c①ji
②表示5 从0①到②的最大通过量是5（百辆），从② 到①的最大通过量是0；② ③表示从2②到2③和 从③到②都可以通过2（百辆）；等等。
例如，在图10.3.11中，从①到⑦的最短路是①— ③—⑤—⑦，代价为7，在这条最短非饱和路上取P 3 后，③—⑤变成容量为零，在下一次选择最短路时 应将③—⑤视为断路来选取最短非饱和路。另外， 选取①—③—⑤—⑦路后，③—①，⑤—③，⑦— ⑤的弧成为容量大于零的弧，可分别标上它们的代 价值为-3，-3，-1，是①—③，③—⑤，⑤—⑦的相 反数。
转入步骤④，用原图中各条弧上发点与收点数
值减去修改后的图上各点的数值，将得到正负号
相反的两个数，将这个数标在弧上，并将从正到
负的方向用箭头表示,这样就得到最大流量图。例
如原来弧(3,6) 是③ 7 0 ⑥，现在是③ 2 5 ⑥，
相减为±5，③那边为正，我们就记作③ 5⑥。
这样，就得到图10.3.9，即最大流量图。依这样的
第12页/共36页
通过第1次修改，得到图10.3.3。
图10.3.3
返回步骤①，进行第2次修改。
第13页/共36页
第2次修改： 选定①—②—⑤—⑦，在这条路中，由
于 P c25，所3 以，将 改为2c12， 改为0，c25 改
为5，c5、7 、 改为c213。c5修2 改c后75 的图变为图
10.3.4。

第i年 价格 ai 使用寿命 费用 bi 1 11 0－1 b1 5 2 11 1－2 b2 6 3 12 2－3 b3 8 4 12 3－4 b4 11 5 13 4－5 b5 18
最短路径问题的应用

例 设备更新问题
把求总费用最小问题化为最短路径问题。用点 i (i=1,2,3,4,5)表示第 i 年买进一台新 设备。增设一点 6 表示第五年末。从i点到i+1,……, 6 各画一条弧，弧（i , j）表示在 第 i 年买进的设备一直使用到第 j 年年初（第 j －1年年末）。求1点到6点的最短路径。 路径的权数为购买和维修费用。 弧（i , j）的权数为第i年的购置费ai＋从第i年使用至第j-1年末的维修费之和。 从第i年使用至第j-1年末的维修费：b1+…+bj-i
1 1 2 3 4 5 2 16 3 22 16
（使用寿命为j-i年） 具体权数计算结果如下：
5 41 30 23 17 6 59 41 31 23 18
如：（2－4）权数为：a2+b1+b2=11＋5＋6=22
4 30 22 17
通过一个网络的最短路径

例 设备更新问题 ：
2 16 30 22 41 4 23

最大流问题
两个重要结论： 1、任何一个可行流的流量都不会超过任一截集的容量。 2、若对于一个可行流f *，网络中有一个截集（ V1*，V1*）， 使v（ f *）=C(V1*，V1 *)，则f *必是最大流，而（ V1*， V1 *）必是所有截集中容量最小的一个，即最小截集。
定理：可行流f *是最大流，当且仅当不存在关于f *的增广链。 于是有如下结论：最大流量最小截量定理：任一个网络中，从vs 到vt的最大流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。